江西省南昌市湾里区第一中学高中数学 3.1函数的单调性与极值课件 北师大版选修11.ppt_第1页
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文档简介

函数的单调性与极值 一 函数的单调性 二 函数的极值 三 函数的最值 一 函数的单调性 从几何图形上来分析 可见 函数的单调性可以用导数的符号来判定 同样 当时 曲线在内是下降 我们有如下定理 注意 1 将定理中的闭区间换成其他各种区间定理的结论仍成立 考察函数 考察函数 例1判定函数的单调性 解的定义域是 例2求函数的单调区间 解的定义域是 令 得 它们将定义域 当时 当时 所以的单调增加区间是和 单调递减区间是 例3确定函数的单调区间 解的定义域是 分成三个区间 令 得 又处导数不存在 这两点将分成三个区间 列表分析在各个区间的符号 二 函数的极值 设函数在点的某邻域内有定义 1定义 函数的极大值和极小值统称为极值 极大值点和 极小致点统称为极值点 注意 极值是局部性的 因而 函数可以有许多个极大值和极小值 并且极大值不一定大于极小值 2极值存在的必要条件和充分条件 定理2指出 可导函数的极值点必定是驻点 使的点称为函数得驻点 反过来 驻点不一定是极值点 考察函数 另一方面 函数不可导的点也可能是极值点 考察函数 定理3 极值的第一充分条件 设函数 在点连续 且在点的某一空心邻域 内可导 例4求函数的极值 解的定义域是 令 得驻点 当时 当时 当时 在处取得极小值 例5求函数的极值 令 得驻点 而时不存在 由定理3知 在处取得极大值 因此函数只可能在这两点取得极值 列表讨论如下 不存在 函数的图形如图 函数在驻点处二阶导数存在时 还可以用函数的二阶导数判定函数是否有极值 1 如果 则在取得极大值 2 如果 则在取得极小值 例6求函数的极值 解的定义域是 令 得到两个驻点 为函数的极小值 又 函数的极值是局部性概念 而最值是一个全局性概念 注意下述三种情况 1 如果在上是单调函数 三 函数的最值 1闭区间 a b 上的连续函数 解 解如图设小正方形的边长为x 则盒底的边长为 令 得 舍去 又 所以函数在处取得唯一极大值 此极大值就是最大值 因此 当截去的正方形的边长等于所给正方形铁皮边长的时 所做的方盒容积最大 方盒的容积为 解如图 设容器的底面半径为 高为 则表面积为 所以 得驻点 由已知 得 故 所以 所做容器的高和底直径相等时 所用材料最省 s有唯一驻点 而实际容器存在最小表面积 因此求得的驻点为最小值点 此时 解设 则 解利润为 令 得驻点 的
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