数学建模五步法.doc

一个汽车制造商售出某品牌的汽车可获利1500美元,估计每100美元的折扣可以使销售量提高15%。多大的折扣可以使利润最高？利用五步方法及单变量最优化模型。对你所得的结果，求关于所做的15%假设的灵敏性。分别考虑折扣量和相应的收益。假设实际每100美元的折扣仅可以使销售量提高10%，对结果会有什么影响？如果每100美元的折扣的提高量为10%15%之间的某个值, 结果以如何.什么情况下折扣会导致利润的降低。运用五步法求解上面问题。提出问题(问题)选择建模方法(方法)推导模型的数学表达式求解模型回答问题。问题的提出1.具体问题多大的折扣可以使利润最高？利用五步方法及单变量最优化模型。对你所得的结果，求关于所做的15%假设的灵敏性。分别考虑折扣量和相应的收益。假设实际每100美元的折扣仅可以使销售量提高10%，对结果会有什么影响？如果每100美元的折扣的提高量为10%15%之间的某个值, 结果以如何.什么情况下折扣会导致利润的降低。2.符号的说明利润（美元）；折扣（美元）没有折扣时的销售量（量）打折后得销售量（辆）利润每100美元折扣提高的销售量3.模型的假设打折后每辆汽车的利润（1500-）（美元）；打折后得销售量（辆）；利润（美元）；折扣活动是一次性完成的，即厂家一次性降低美元,销售量就提高了。问题的分析根据题意，以目前的价格P，销售量为n，利润为，现厂家估计每100美元的折扣可以使销售量提高15%，我们假设折扣活动是一次性完成的，即厂家一次性降低美元,销售量就提高了，现需决定x的大小，使得厂商获取最大利润。模型的建立与求解1.提出问题根据题意，以目前的价格P，销售量为n，利润为，现厂家估计每100美元的折扣可以使销售量提高15%，我们假设折扣活动是一次性完成的，即厂家一次性降低美元,销售量就提高了，现需决定x的大小，使得厂商获取最大利润。所以目标时求利润的最大值。2.选择建模方法设在处是可微的，若在处达到极大或极小, 则。3.推导模型公式 记作为求最大值的目标变量，自变量，我们的问题就化为在集合上求下面函数的最大值4.利用第二步中确定的标准过程求解这个模型对在区间x0上求最大值。利用matlab软件作出的图像。程序：x=400:450;y=(1500-x).*(1+x./100*0.15);plot(x,y)图1 折扣x与利润的关系如图1可知关于x是二次的曲线图，易得，则在处。由f在区间上单升,而在区间上单减. 故点是整体最大值点.因为,从而点是f在整个实轴上的整体最大值点,也是区间x0上的最大值点。5.回答问题由第四步我们得到的答案是在打约416.7美元的折扣的时候，可以获得最大利润。只要第一步假设成立，这一结果就是正确的。对问题二进行粗灵敏度分析前面我们假定（辆/百美元），现在假设的实际值是不同的，对几个不同的值，重复前面的求解过程,我们会对问题的解关于r的敏感程度有所了解.即给定对求导，令，可得相应值，不同的值求出如表1。表1 所打折扣x关于销售量的增长速率r的灵敏性r0.10.110.120.130.140.15x250.00295.45333.33365.38392.86416.67P1562.501596.021633.331673.561716.071760.42将表1中的数据绘制在图2中。+图2 折扣x关于销售量的增长速率r的曲线根据图1我们可以看出折扣对参数是很敏感的.由第知折扣与参数之间的关系为，所以当每100美元的折扣仅可以使销售量提高10%，即时，折扣为250可以是利润最大，此时最大利润为1562.50。 将代入，可得利润，利用matlab软件做出的图2。程序如下：r=0.1:0.001:0.15;y=5625*r+25./r+750;plot(r,y,g*)结果如下：图3利润p关于销售量的增长速率r的曲线所以当每100美元的折扣的提高量为10%15%之间的某个值时,总利润随着这个值得增加而增加。 将初始销售量看成常量1，则不的打折利润为