高考数学总复习 29函数与方程课件 理 新人教B版.ppt

第九节函数与方程 一 函数的零点1 定义一般地 如果函数y f x 在实数 处的值 即 则 叫做这个函数的零点 2 函数有零点的几个等价关系方程f x 0有实根 函数y f x 的图象与x轴有交点 函数y f x 有零点 等于零 f 0 二 函数零点所在区间的判断如果函数y f x 在一个区间 a b 上的图象不间断 并且在它的两个端点处的函数值 即 则这个函数在这个区间上 至少有一个零点 即存在一点x0 a b 使f x0 0 如果函数图象通过零点时穿过x轴 则称这样的零点为变号零点 如果没有穿过x轴 则称这样的零点为不变号零点 三 二分法用二分法求函数y f x 零点近似值的步骤第一步 确定区间 a b 验证 第二步 求区间 a b 的中点x1 第三步 计算f x1 和f a 并判断 异号 f a f b 0 f a f b 0 如果 则x1就是函数的零点 如果 则令b x1 此时零点x0 a x1 如果 则令a x1 此时零点x0 x1 b 第四步 判断是否达到精确度 否则重复第二 三 四步 f x1 0 f a f x1 0 f a f x1 0 四 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 疑难关注 1 函数的零点 1 函数的零点不是点 是方程f x 0的根 2 函数零点的存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点 而不能判断函数的不变号零点 而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件 而不是必要条件 2 零点存在定理的零点个数 1 在 a b 上存在零点 此处的零点不仅指变号零点 个数不定 若仅有变号零点 则有奇数个 2 若函数在 a b 上有零点 不一定有f a f b 0 3 相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 1 课本习题改编 函数f x lnx x 2的零点位于区间 a 0 1 b 1 2 c 2 3 d 3 4 解析 由f x lnx x 2知f 1 10 f 3 ln3 1 0 f 4 ln4 2 0 根据函数的零点存在性定理可知 f x 的零点在 1 2 内 选b 答案 b 2 2012年高考天津卷 函数f x 2x x3 2在区间 0 1 内的零点个数是 a 0b 1c 2d 3解析 先判断函数的单调性 再确定零点 因为f x 2xln2 3x2 0 所以函数f x 2x x3 2在 0 1 上递增 且f 0 1 0 2 10 所以有1个零点 答案 b 3 课本习题改编 函数y f x 在区间 2 2 上的图象是连续的且方程f x 0在 2 2 上仅有一个实根0 则f 1 f 1 的值 a 大于0b 小于0c 等于0d 无法确定解析 因为f x 在 2 2 有一个零点 不能说明f 2 f 2 的符号 如f x x2 更不能判断f 1 f 1 的值 故选d 答案 d 4 2013年怀化模拟 在用二分法求方程x3 2x 1 0的一个近似解时 已知一个根在区间 1 2 内 则下一步可断定该根所在的区间为 5 已知函数f x x2 x a在区间 0 1 上有零点 则实数a的取值范围是 解析 函数f x x2 x a在 0 1 上有零点 又 f x x2 x a在区间 0 1 上单调递增 f 0 f 1 0 即a a 2 0 解得 2 a 0 答案 2 0 答案 b 1 2013年唐山模拟 设f x ex x 4 则函数f x 的零点位于区间 a 1 0 b 0 1 c 1 2 d 2 3 解析 f x ex x 4 f x ex 1 0 函数f x 在r上单调递增 对于a项 f 1 e 1 1 4 5 e 10 a不正确 同理可验证b d不正确 对于c项 f 1 e 1 4 e 30 f 1 f 2 0 故选c 答案 c 考向二二分法 例2 2013年济南模拟 若函数f x x3 x2 2x 2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算 其参考数值如下 那么方程x3 x2 2x 2 0的一个近似根 精确度0 1 为 解析 通过参考数据可以得到 f 1 375 0 2600 且1 4375 1 375 0 0625 0 1 所以 方程x3 x2 2x 2 0的一个近似根为1 4375 答案 1 4375 答案不唯一 2 2013年锦州模拟 用二分法求方程x3 2x 5 0在区间 2 3 上的近似解 取区间中点x0 2 5 那么下一个有解区间为 答案 2 2 5 考向三函数零点的应用 例3 已知a是实数 函数f x 2ax2 2x 3 a 如果函数y f x 在区间 1 1 上有零点 求a的取值范围 解析 若a 0 则f x 2x 3 显然在 1 1 上没有零点 所以a 0 解析 f x 在区间 1 2 内单调递增 由已知条件知f 1 f 2 0 即 2 2 a 4 1 a 0 即a a 3 0 解得0 a 3 思路导析 由f x g x 有公共点转化为方程f x g x 的根的问题 然后变形方程分a 0 a 0讨论求解来判断 答案 b 思维升华 函数与方程思想即体现函数问题方程化 方程问题函数化的转化思维 本题的关键点是将两函数图象有公共点转化为方程有根问题 其难点是得到方程后且已知方程根 没有分解意识 如将ax3 bx2 1分解为a x x1 2 x x2 导致推理进行不下去 半途而废 答案 b 2 2012年高考湖北卷 函数f x xcosx2在区间 0 4 上的零点个数为 a 4b 5c 6d 7 答案 c 3 2011年高考辽宁卷 已知函数f x ex 2x a有零点 则a的取值范围是 解析 函数f x ex 2x a有零点 即方程ex 2x a 0有实根 即函数g x