高中数学 第四章 导数应用章末归纳总结课件 北师大版选修11.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修1 1 导数应用 第四章 章末归纳总结 第四章 1 函数y f x 在区间 a b 上的单调性与其导数的正负的关系 如果f x 0 那么函数在这个区间内单调递增 如果f x 0 f x 0 是函数f x 在此区间内为增 减 函数的充分不必要条件 如果出现个别点使得f x 0 不会影响函数f x 在包含这些特殊点的某个区间内的单调性 所以在已知函数的单调性 求参数的取值范围时 要注意等号是否可以取到 也就是导数值为零的点需要单独验证 以免出错 注意 当一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时 这些单调区间一般不能用 连接 而只能用 逗号 或 和 字隔开 3 1 一般地 如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大 那么函数在这个范围内变化得快 这时 函数的图像就比较陡峭 向上或向下 反之 函数的图像就平缓一些 2 f x0 的几何意义为曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线的斜率 在区间 a b 上 如果f x 0 则切线倾斜角为锐角 曲线呈向上增加状态 即函数f x 在区间 a b 上单调递增 如果f x 0 则切线倾斜角为钝角 曲线呈向下减少状态 即函数f x 在区间 a b 上单调递减 4 1 根据极值的定义可知 在可导函数中 若x0为极值点 则必有f x0 0 此结论常用来求参数 但f x0 0时 x0不一定为极值点 还要满足在此点附近左右两侧函数的单调性相反 单调性一致时 不能作为极值点 如函数f x x3可导 且在x 0处满足f 0 0 但x 0却不是极值点 2 求函数y f x 在区间 a b 上的最值时 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 3 如果函数y f x 的图像是区间 a b 上一条连续不断的曲线 且在 a b 上可导 则 f x 在 a b 上必有最值点 若函数y f x 在区间 a b 内只有一个导数值为0的点 且在这一点处取得极值 则该点一定是函数的最值点 4 有关函数零点个数的问题 可以根据函数的单调性 极值和最值 利用数形结合的思想方法 借助函数图像判断函数零点的个数 5 1 已知f x 在区间d上单调 求f x 中参数的取值范围的方法为分离参数法 通常将f x 0 或f x 0 的参数分离 转化为求函数的最值问题 从而求出参数的取值范围 2 对于证明f x 或 m恒成立的问题 可以转化为证明相应函数y f x 的最小值 或最大值 大于等于 或小于等于 m的问题 利用导数研究函数的单调性 2 由 1 知f x x3 3x2 9x 1 则f x 3x2 6x 9 3 x 3 x 1 令f x 0 解得x1 1 x2 3 当x 1 时 f x 0 故f x 在 1 上为增函数 当x 1 3 时 f x 0 故f x 在 3 上为增函数 由此可见 函数f x 的单调递增区间为 1 和 3 单调递减区间为 1 3 利用导数研究函数的极值和最值 1 应用导数求函数极值的一般步骤 1 确定函数f x 的定义域 2 求方程f x 0的根 3 检验f x 0的根的两侧f x 的符号 若左正 右负 则f x 在此根处取得极大值 若左负 右正 则f x 在此根处取得极小值 否则 此根不是f x 的极值点 2 求函数f x 在闭区间 a b 上的最大值 最小值的方法与步骤 1 求f x 在 a b 内的极值 2 将 1 中求得的极值与f a f b 相比较 其中最大的一个值为最大值 最小的一个值为最小值 特别地 当f x 在 a b 上单调时 其最小值 最大值在区间端点取得 当f x 在 a b 内只有一个极值点时 若在这一点处f x 有极大 或极小 值 则可以断定f x 在该点处取得最大 或最小 值 这里 a b 也可以是 解析 1 因为f x 3x x a 所以有 当a 0时 函数f x 的单调递增区间为 0 a 单调递减区间为 0 a 当a 0时 函数f x 的单调递增区间为 a 0 单调递减区间为 a 0 当a 0时 f x 3x2 0 所以函数f x 在区间 上递增 求参数的取值范围问题 已知函数的单调性求参数的取值范围时 可以有两种方法 一是利用函数单调性的定义 二是利用导数法 利用导数法更为简捷 在解决问题的过程中主要处理好等号的问题 因为f x 0 或f x 0 仅是一个函数在某区间上递增 或递减 的充分不必要条件 而其充要条件是 f x 0或 f x 0 且使f x 0的点仅有有限个 利用导数法解决取值范围问题时可以有两个基本思路 导数的实际应用 1 利用导数求实际问题的最大 小 值的一般方法 1 分析实际问题中各个量之间的关系 正确设定所求最大或最小值的变量y与自变量x 把实际问题转化为数学问题 即列出函数关系y f x 根据实际问题确定y f x 的定义域 2 求方程f x 0的所有实数根 3 比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小 根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值 2 利用导数求实际问题的最大 小 值时 应注意的问题 1 求实际问题的最大 小 值时 一定要从问题的实际意义去考查 不符合实际意义的值应舍去 2 在实际问题中 由f x 0常常仅得到一个根 若能判断函数的最大 小 值在x的变化区间内部得到 则这个根处的函数值就是所求的最大 小 值 答案 b 解析 f x 的定义域为 0 f x lnx 1 由f x0 2 得lnx0 1 2 解得x0 e 2 函数f x 2x3 3x2 12x 5在 0 3 上的最大值和最小值分别是 a 5 15b 5 4c 4 15d 5 16 答案 a 解析 由f x 6x2 6x 12 6 x 1 x 2 0得x 1或x 2 因为f 0 5 f 2 15 f 3 4 所以f 2 f 3 f 0 所以f x max f 0 5 f x min f 2 15 5 函数y ax3 1在 上是减函数 则a的取值范围是