八年级数学上册 第十二章 全等三角形同步授课课件 （新版）新人教版.pptVIP

第十二章全等三角形 12 1全等三角形 课前预习1 已知 abc def a 45 b 65 df 12cm 则 f ac 2 如下图 a b c 是由 abc绕点b旋转某一角度得到的 则试写出 a b c 和 abc中对应相等的边有 70 12cm a b ab b c bc a c ac 3 如下图所示 abc cda 并且ab cd 下列结论中错误的是 a 1 2b ac cac d bd ac bc4 若 abc def 且ab 8cm bc 6cm ac 7cm 那么df的长为 a 8cmb 6cmc 7cmd 5cm d c 课堂精讲知识点1 全等形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形 全等形关注的是两个图形的形状和大小 而不是图形所在的位置 看两个图形是否为全等形 只要把它们叠合在一起 看是否能够完全重合即可 例1 下列四个图形中 全等的图形是 a 和 b 和 c 和 d 和 解析 根据全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案 和 可以完全重合 因此全等的图形是 和 答案 d 变式拓展1 下面是5个全等的正六边形a b c d e 请你仔细观察a b c d四个图案 其中与e图案完全相同的是 c 知识点2全等三角形的概念和表示方法 1 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 2 全等三角形是特殊的全等形 全等三角形关注的是两个三角形的形状和大小是否完全一样 叠合在一起是否重合 与它们的位置没有关系 把两个全等的三角形重合在一起 重合的顶点叫做对应顶点 重合的边叫做对应边 重合的角叫做对应角 3 全等 用表示 读作 全等于 记两个三角形全等时 通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 例2 如右图 已知 abc ade 写出其对应顶点 对应边 对应角 解析 找对应元素 有一简便方法 先结合图形判断已知条件中的 abc ade 是否按照对应顶点的字母顺序写的 如果确认顺序正确 则可以按照以下顺序 写出它们的对应边 ab与ad bc和de ac与ae 类似地 可以写出它们的对应顶点 对应角 答案 对应顶点有a与a b 与d c与e 对应边有ab与ad bc与de ac与ae 对应角有 abc与 ade acb与 aed bac与 dae 变式拓展2 如下图所示 abc bad 且ac bd 写出这两个三角形的其他对应边和对应角 解 其他的对应边有ab ba bc ad 其他的对应角有 cab dba abc bad c d 知识点3全等三角形的性质 1 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等 2 运用全等三角形的性质可以证明两条线段相等 两个角相等 在运用这个性质时 关键是要结合图形或根据表达式中字母的对应位置 准确地找到对应边或对应角 牢牢抓住 对应 二字 例3 如下图 efg nmh 在 efg中 fg是最长边 在 nmh中 mh是最长边 f和 m是对应角 ef 2 1cm eh 1 1cm hn 3 3cm 1 写出其他对应边及对应角 2 求线段nm及线段hg的长度 解析 1 根据 efg nmh的对应关系写出其他对应边及对应角 2 因为线段nm和线段ef是对应边 所以nm ef 2 1cm 要求线段hg 可先求线段eg的长 而ge hn 3 3cm 解 1 efg nmh 最长边fg和mh是对应边 其他对应边是ef和nm eg和nh 对应角是 e和 n egf和 nhm 2 由 1 知nm ef 2 1cm ge hn 3 3cm hg ge eh 3 3 1 1 2 2 cm 变式拓展3 如下图 abc沿直线bc向右平移线段bc长的距离后与 ecd重合 则 abc 相等的边有 相等的角有 ecd ab ec bc cd ac ed abc ecd acb edc a e 随堂检测1 下列图形是全等形的是 2 已知 abc def a与d b与e c与f分别为对应顶点 若ab 7cm bc 5cm ac 8cm 则ef a 5cmb 6cmc 7cmd 8cm d a 3 如图 acb dce bce 30 则 acd的度数为 a 20 b 30 c 35 d 40 b 4 如图 abc与 bad全等 可表示为 c与 d是对应角 ac与bd是对应边 其余的对应角是 其余的对应边是 5 如图 abe acd ab 10cm a 60 b 30 则ad cm adc abc bad cba和 dab cab和 dba ab和ba cb和da 5 90 12 2三角形全等的判定12 2 1三角形全等的判定 sss 课前预习1 已知 abc与 def ab de ac df bc ef 那么这两个三角形的关系为 abc def 2 如右图 已知ab cd ad cb 则 abc cda的根据是 sss 3 在下图中 若点d为bc的中点 若判定 abd acd需添加条件 边 理由是 ab ac sss 4 如下图 在 abc中 ab ac be ce 则由 sss 可以判定 a abd acdb bde cdec abe aced 以上都不对 c 课堂精讲知识点三角形全等的条件 边边边 sss 及其应用 1 判定 三边分别相等的两个三角形全等 简写成 边边边 或 sss 运用此法证两个三角形全等 应设法确定这两个三角形的三条边分别相等 同时这个判定也告诉我们 当三角形的三边确定后 其形状 大小也随之确定 书写格式 在列举两个三角形全等的条件时 应把三个条件按顺序排列 一般是把同一个三角形的三个条件放在等号的同一侧 并用大括号将其括起来 有些题目可以直接从已知中找出全等的条件 而有些题目的已知条件是隐含在题设或图形之中的 如公共边 公共角 对顶角等 解题时一定要认真读图 准确地把握题意 找准所需条件 2 sss 的应用 证明两个三角形中的角相等或线平行等 常通过证明两个三角形全等来解决 课堂精讲 例1 如图 在 abc和 efd中 ab ef ac ed 点b d c f在一条直线上 1 请你添加一个条件 由 sss 可判定 abc efd 2 在 1 的基础上 求证 ab ef 解析 1 根据条件可以得出由 sss 可判定 abc efd 就需要三组对边分别相等 而条件告诉了两组 只需要fd bc或fc bd 就可以得出结论 2 由 abc efd就可以得出 b f 进而得出ab ef 解 1 当fc bd时 abc efd 理由 fc bd fc cd bd cd 即bc df 在 abc和 efd中 abc efd sss 2 abc efd b f ab ef 例2 如右图 abc是一个风筝架 ab ac ad是连接点a与bc中点d的支架 求证 ad bc 解析 要证ad bc 根据垂直定义 需证 1 2 而 1 2可由 abd acd求得 证明 d是bc的中点 bd cd 在 abd和 acd中 ab ac bd cd ad ad abd acd sss 1 2 全等三角形的对应角相等 1 2 180 平角的定义 1 2 90 ad bc 垂直的定义 课堂精讲知识点三角形全等的条件 边边边 sss 及其应用变式拓展1 如下图 ab cd 若添加条件 则可根据 边边边 公理证得 abc cda bc ad 2 如下图 四边形abcd中 ab cd ad bc 求证 a c 证明 在 abd和 cdb中 ab cd ad cb bd db abd cdb sss a c 全等三角形的对应角相等 随堂检测1 如图 在 ace和 bdf中 ae bf ce df 要利用 sss 证明时 需增加的一个条件可以是 a ab bcb dc bcc ab cdd ac bc b 2 如图 已知ab dc 若要用 sss 判定 abc dcb 应添加条件是 3 如图 ae df ce bf ab cd 得 从而根据 得 ace dbf ac db ac bd sss 4 已知 如图 ab cd ac bd 则 abc abc dcb dab 5 如图 ab df ac de be fc 问 abc与 dfe全等吗 请说明你的理由 解 abc与 dfe全等 理由如下 be fc 已知 be ec fc ec 即bc fe 在 abc和 dfe中 abc dfe sss 12 2 2三角形全等的判定 sas 课前预习1 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 用字母表示简写成 2 如右图 只要 则 abc adc a ab ad b db ab ad acb acdc bc dc bac dacd ab ad bac dac sas d 3 如下图 ab与cd相交于点o ao co 只需添加一个条件 就可用三角形全等的条件 边角边 证明 aod cob do bo 课堂精讲知识点三角形全等的条件 边角边 sas 及其应用 1 判定 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 简写成 边角边 或 sas 此方法包含 边 和 角 两种元素 必须是两边夹一角才行 而不是两边及一边对角分别相等 一定要注意元素的 对应 关系 书写格式 此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一 易和 边边角 ssa 相混淆 误将 sas 的条件写成 ssa 来证明两个三角形全等 在应用时 一定要按 边一角一边 的顺序排列条件 不能出现 边一边一角 的错误 因为 边边角 不能保证两个三角形全等 如图所示 在 abc和 abd中 ab ab ac ad b b 但 abc与 abd不全等 2 sas 的应用 证明分别属于两个三角形中的角相等或线段相等等问题 常用到证明两个三角形全等来解决 例1 在 abc和 def中 下列给出的条件 能用 sas 判定这两个三角形全等的是 a ab de bc df a db ab ef ac df a dc ab bc de ef b ed bc ef ac df c f解析 根据选项中所给的条件结合sas定理分别进行分析 可选出答案 只有bc ef ac df c f可以利用sas证明 abc和 def全等 答案 d 例2 已知 如下图 ab ac ad ae 求证 b c 解析 利用sas证明两个三角形全等 a是公共角 证明 在 abe和 acd中 ab ac a a ae ad abe acd sas b c 全等三角形的对应角相等 变式拓展1 如下图 在 abc和 def中 已知ab de bc ef 根据 sas 判定 abc def 还需的条件是 a a db b ec c fd 以上三个均可以 b 2 如下图 ae ac ab ad eab cad 求证 b d 证明 eab cad eab bad cad bad 即 ead cab 在 abc和 ade中 ab ad 已知 cab ead 已证 ac ae 已知 abc ade sas b d 全等三角形的对应角相等 随堂检测1 在 adf和 bce中 若ad bc a b 能直接利用 sas 证明 adf bce的条件是 a ae bfb df cec af bed ceb dfa2 如图 ab ad ac ae bac dae 下列结论错误的是 a b db c ec bc ded bc ae c d 3 如图 在 abc和 def中 ab de可以推出 加上条件ab de和 可得到 abc def 根据是 b def bc ef sas 4 如图 cd ca 1 2 ec bc 求证 de ab 证明 1 2 2 eca 1 eca 即 ecd bca 在 ecd和 bca中 ecd bca sas de ab 5 已知 如图 ae cf ad bc ad cb 问 adf与 cbe全等吗 请说明理由 证明 全等 ad bc a c 在 adf和 cbe中 adf cbe 12 2 3三角形全等的判定 asa或aas 课前预习1 已知ab a b a a b b 则 abc a b c 的根据是 a sasb ssac asad aas2 根据下列已知条件 能判定 abc a b c 的是 a ab a b ac a c c c b a a b c ab a b c abc的周长等于 a b c 的周长d a a c c ac a c c d 3 下图中两个三角形全等的理由是 4 如下图 已知ab cd abc cda 则由 aas 直接判定 aas abc cda 课堂精讲知识点1 三角形全等的条件 角边角 asa 及其应用 1 判定 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 简写成 角边角 或 asa 2 用 asa 来判定两个三角形全等 一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等 证明时要加强对夹边的认识 3 书写格式 如图所示 在 abc和 a b c 中 注意 在书写两个三角形全等的条件时 一般把夹边相等写在中间 以突出边角的位置关系 4 asa 的应用 在证明两个三角形中的角相等或线段相等常通过三角形全等来解决 例1 如图 点a d c e在同一条直线上 ab ef ab ef b f ae 10 ac 7 则cd的长为 a 5 5b 4c 4 5d 3解析 先证明 abc efd 得出ac ed 7 再求出ad ae ed 3 即可得出cd ac ad 4 解 ab ef a e 在 abc和 efd中 abc efd asa ac ed 7 ad ae ed 10 7 3 cd ac ad 7 3 4 答案 b 变式拓展1 如下图 o是ab的中点 a b aoc与 bod全等吗 为什么 解 全等 在 aoc与 bod中 a b 已知 oa ob 线段中点的定义 aoc bod 对顶角相等 aoc bod asa 课堂精讲知识点2 三角形全等的条件 角角边 aas 及其应用 1 判定 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等 简写成 角角边 或 aas 这一结论很容易由 asa 推得 将这一结论与 asa 结合起来 即可得出 两个三角形如果具备两角和一条边对应相等 就可判定其全等 书写格式 如图所示 在 abc和 a b c 中 注意 1 有两角和一边分别相等的两个三角形全等 这句话正确吗 不一定正确 这是因为 假设这条边是两角的夹边 则根据角边角可知正确 假设一个三角形的一边是两角的夹边 而与另一个三角形相等的边是其中一等角的对边 则两个三角形不一定全等 2 有三个角对应相等的两个三角形不一定全等 如图所示 de bc 则 ade b aed c a a 但 ade和 abc不全等 2 aas 的应用 证明角相等或线段相等可用三角形全等来解决问题 例2 已知 如下图 abc a b c ad a d 分别是 abc和 a b c 的高 求证 ad a d 解析 已知 abc a b c 相当于已知它们的对应边相等 对应角相等 在证明过程中 可根据需要 选取其中的一部分相等关系 证明 abc a b c ab a b b b 全等三角形的对应边 对应角相等 ad a d 分别是 abc a b c 的高 已知 adb a d b 90 在 abd和 a b d 中 b b adb a d b ab a b abd a b d aas ad a d 全等三角形的对应边相等 变式拓展2 如图所示 ad为 abc的中线 且cf ad于点f be ad 交ad的延长线于点e 求证 be cf 证明 ad为 abc的中线 bd cd be ad cf ad bed cfd 90 bed cfd aas be cf 随堂检测1 下列判断中错误的是 a 有两角和一边对应相等的两个三角形全等b 有两边和一角对应相等的两个三角形全等c 有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等d 有一边对应相等的两个等边三角形全等 b 2 如图 要量湖两岸相对两点a b的距离 可以在ab的垂线bf上取两点c d 使cd bc 再作出bf的垂线de 使a c e在一条直线上 这时可得 abc edc 用于判定全等的是 a sssb sasc asad aas c 3 已知 如图 b def ab de abc def 1 若以 acb dfe得出 abc def 依据是 2 若以bc ef得出 abc def 依据是 3 若以 a d得出 abc def 依据是 aas sas asa 4 如图 abc中 d是边bc的中点 延长ad到点e 且ce ab 求证 abd ecd 证明 ce ab b ecd d为bc中点 bd dc 在 adb和 edc中 abd ecd asa 5 如图 在 abc中 ab ac bac 90 过点a作任一直线an bd an于d ce an于e 证明 de bd ce 证明 bd an ce an bda aec 90 bad eac 90 eac ace 90 bad ace 在 abd和 cae中 bd ae ad ce de ae ad bd ce 12 2 4三角形全等的判定 hl 课前预习1 如下图 点p是 bac内一点 且p到ab ac的距离pe pf 则 pea pfa的理由 a hlb aasc sssd asa a 2 如右图 abc与 edf中 b d 90 a e b f c d在同一直线上 再添上下列条件 不能判断 abc edf的是 a ab edb ac efc ac efd bc df c 3 如下图 ae bd于点c ab ed ac ec 求证 abc edc 证明 ae bd acb和 ecd是直角 在rt abc和rt edc中 ab ed ac ec rt abc rt edc 课堂精讲知识点斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 可以简写成 斜边 直角边 或 hl 1 hl 定理是直角三角形所独有的 对于一般三角形不成立 2 书写格式 如下图所示 在和中 3 判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等全部适用 至此我们可以根据sss sas asa aas和hl五种方法去判定两个直角三角形全等 在用一般方法证明时 因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件 故只需找另外丽个条件即可 在实际证明中可根据条件灵活选用不同的方法 例1 如下图 已知ab ac ae af ae ec af bf 垂足分别是点e f 求证 1 2 解析 由hl可证rt aec rt afb 得 baf cae 都减去 bac 从而 1 2 证明 ae ec af bf aec afb为直角三角形 ae af ab ac 已知 rt aec rt afb hl eac fab eac bac fab bac 即 1 2 例2 如下图所示 有两个长度相等的滑梯 即bc ef 左边滑梯的高度ac与右边滑梯的水平方向的长度df相等 则 abc dfe 解析 由hl可得两个直角三角形全等 把要求的两角之和转化为一个直角三角形的两锐角之和 解 由现实意义及图形提示可知ca bf ed bf 即 bac edf 90 又因为bc ef ac df 可知rt abc rt def 得 dfe acb 因为 acb abc 90 故 abc dfe 90 答案 90 变式拓展1 如下图 已知ac bd c d 90 求证 rt abc rt bad 证明 c d 90 abc与 bad都是直角三角形 在rt abc与rt bad中 ab ba ac bd rt abc rt bad hl 2 如右图 有一正方形窗架 盖房时为了稳定 在上面钉了两个等长的木条gf与ge e f分别是ad bc的中点 可证得rt age 理由是 于是g是的中点 rt bgf hl ab 随堂检测1 下列条件中 能使两个直角三角形全等的条件是 a 两直角边对应相等b 一锐角对应相等c 两锐角对应相等d 斜边相等2 已知 如图 a d 90 be cf ac de 则 abc a dfe 3 如图 已知 a d 90 e f在线段bc上 de与af交于点o 且ab cd be cf 求证 rt abf rt dce 证明 be cf be ef cf ef 即bf ce a d 90 abf与 dce都为直角三角形 在rt abf和rt dce中 rt abf rt dce hl 4 如图 在 abc中 ac bc 直线l经过顶点c 过a b两点分别作l的垂线ae bf e f为垂足 ae cf 求证 acb 90 证明 如图 在rt ace和rt cbf中 rt ace rt cbf hl eac bcf eac ace 90 ace bcf 90 acb 180 90 90 三角形全等复习课 课堂精讲知识点 判定两个三角形全等常用的思路和方法 例1 如图 已知 1 2 则不一定能使 abd acd的条件是 a bd cdb ab acc b cd bad cad解析 利用全等三角形判定定理asa sas aas对各个选项逐一分析即可得出答案 a 1 2 ad为公共边 若bd cd 则 abd acd sas b 1 2 ad为公共边 若ab ac 不符合全等三角形判定定理 不能判定 abd acd c 1 2 ad为公共边 若 b c 则 abd acd aas d 1 2 ad为公共边 若 bad cad 则 abd acd asa 答案 b 例3 在四边形abcd中 abc adc 90 be ac于e df ac于f cf ae bc da 求证 rt abe rt cdf 解析 根据全等三角形的判定定理hl证得rt adc rt cba 在该全等三角形的对应边相等 dc ba 然后再由hl来证得rt abe rt cdf 证明 如图 在rt adc与rt cba中 rt adc rt cba hl dc ba 又 be ac于e df ac于f aeb cfd 90 在rt abe与rt cdf中 rt abe rt cdf hl 变式拓展1 如图 已知ad bc 若用hl判定 abd acd 只需添加的一个条件是 ab ac 2 2015南宁模拟 如图 ab cd相交于点o ab cd 1 请你添加一个条件使得 aob cod 2 证明你的结论 解 1 添加条件 a c 2 证明 在 aob和 cod中 aob cod aas 3 2015晋江市一模 如图 ab cd ab cd 点e f在ad上 且ae df 求证 abe dcf 证明 ab cd a d 在 abe和 dcf中 abe dcf sas 随堂检测1 如图 在下列条件中 不能证明 abd acd的条件是 a b c bd dcb adb adc bd dcc b c bad cadd bd dc ab ac a 2 如图 bd ac ce ab 垂足分别为d e be cd 则 理由是 bec cdb hl 3 已知 如图 点e c d a在同一条直线上 ab df ed ab e cpd 求证 abc def 证明 ab df b cpd a fde e cpd e b 在 abc和 def中 abc def asa 4 如图 a b c d四点在同一条直线上 ab cd ec df ec df 求证 ace bdf 证明 ab cd ab bc cd bc 即ac bd 又 ec df ace bdf 在 ace与 bdf中 ace bdf sas 5 如图所示 已知ac bd cab dba 求证 1 cab dba 2 cao dbo 证明 1 在 cab和 dba中 cab dba sas 2 由 1 可知 cab dba c d 在 cao和 dbo中 cao dbo aas 12 3角的平分线的性质 课前预习1 在用尺规作图得一个角的平分线时 是用下列哪种方法证明三角形全等的 a sasb asac aasd sss2 如下图 ad平分 bac 点p在ad上 若pe ab pf ac 则pe d pf 3 如下图 已知ad是 bac的角平分线 de ab于e 且de 3cm 则点d到ac的距离是 a 2cmb 3cmc 4cmd 6cm b 4 如下图 pd ab pe ac 且pd pe 连接ap 则 bap cap 课堂精讲知识点1 画角的平分线的方法作已知角的平分线的方法有很多 主要有折叠法和尺规作图法 尺规作图法是常用的方法 尺规作图法的步骤归纳如下 1 以点o为圆心 oa为半径画孤 交ob于b 2 分别以点a 点b为圆心 以ab ba为半径作孤 两孤相交于点d 3 则射线od为所求 例1 利用尺规平分如下图的钝角 aob 并写出作图步骤 解 作法 1 以o为圆心 适当长为半径画弧 交oa于d 交ob于e 2 分别以d e为圆心 大于de的长为半径画弧 两弧在 aob的内部交于点c 3 射线oc即为所求 如下图 d 变式拓展1 如下图 先作 的邻补角 再画该邻补角的平分线 知识点2 角的平分线的性质 1 内容 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2 书写格式 如图所示 om是 aob的平分线 c是om上一点 ce oa于点e cf ob于点f ce cf 3 运用角平分线的性质时应注意以下3个问题 这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长 该性