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正弦定理 正弦定理 正弦定理 在rt abc中 各角与其对边 角a的对边一般记为a 其余类似 的关系 不难得到 c b a a b c 在非直角三角形abc中有这样的关系吗 所以ad csinb bsinc 即 同理可得 过点a作ad bc于d 此时有 若三角形是锐角三角形 如图1 且 仿 2 可得 若三角形是钝角三角形 且角c是钝角如图2 此时也有 交bc延长线于d 过点a作ad bc 正弦定理 即 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 思考 你能否找到其他证明正弦定理的方法 r为 abc外接圆半径 另证1 证明 作外接圆o 过b作直径bc 连ac 在锐角三角形中 由向量加法的三角形法则 在钝角三角形中 a b c 剖析定理 加深理解 1 正弦定理可以解决三角形中的问题 已知两角和一边 求其他角和边 已知两边和其中一边的对角 求另一边的对角 进而可求其他的边和角 剖析定理 加深理解 2 一般地 把三角形的三个角a b c和它们的对边a b c叫做三角形的元素 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形 剖析定理 加深理解 3 正弦定理的变形形式 4 正弦定理 可以用来判断三角形的形状 其主要功能是实现三角形边角关系的转化 定理的应用 例1 在 abc中 已知c 10 a 45 c 30 解三角形 精确到0 01 已知两角和任意边 求其他两边和一角 例2 已知a 16 b a 30 解三角形 已知两边和其中一边的对角 求其他边和角 解 由正弦定理 得 所以 60 或 120 c 90 c 30 当 120 时 变式 a 30 b 26 a 30 解三角形 由于154 30 300 1800 故b只有一解 如图 c 124 30 课堂小结 2 正弦定理应用范围 已知两角和任意边 求其他两边和一角 已知两边和其中一边的对角 求另一边的对角 注意解的情况 1 正弦定理 已知两边和其中一边的对角 求其他边和角时 三角形什么情况下有一解 二解 无解 课后思考 变式 a 30 b 26 a 30 解三角形 所以 25 70 c 124 30 a b a b 三角形中大边对大角 已知两边和其中一边的对角 求其他边和角 1 根据下列条件解三角形 1 b 13 a 26 b 30 b 90 c 60 c 2 b 40 c 20 c 45 练习 注 三角形中角的正弦值小于 时 角可能有两解 无解 例 在 abc中 已知a 2 b a 45 求b和c 变式1 在 abc中 已知a 4 b a 45 求b和c 变式2 在 abc中 已知a b a 45
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