二次函数导学案(全章).doc

靖远县第七中学九年级数学导学案（教师版）授课班级 上课时间 姓名 第1课时 二次函数的概念【学习目标】1经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系；2探索并归纳二次函数的定义；3能够表示简单变量之间的二次函数关系。【学习重点】掌握二次函数的概念并能利用概念解答相关的题型。【课时类型】概念课【学习过程】一、学习准备1函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量。2一次函数的关系式为y= (其中k、b是常数，且k0)；正比例函数的关系式为y (其中k是 的常数)；反比例函数的关系式为y= (k是 的常数)。二、解读教材数学知识源于生活3某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有 棵橙子树，这时平均每棵树结 个橙子，如果果园橙子的总产量为y个，那么y= 。4如果你到银行存款100元，设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。那么你能写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)吗？ 。5能否根据刚才推导出的式子y=-5x2+100x+60000和y=100x2+200x+100猜想出二次函数的定义及一般形式吗？一般地，形如yax2+bx+c(a，b，c是常数，a0)的函数叫做x的二次函数。它就是二次函数的一般形式，理解并熟记几遍。注意：(1)关于x的代数式一定是整式，其中a，b，c为常数且a0；(2)等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项哟！例1 下列函数中，哪些是二次函数？(1) (2)(3) (4)(5) (6)即时练习：下列函数中，哪些是二次函数？(1) (2) (3) (4) (5) (6) 三、挖掘教材6对二次函数定义的深刻理解及运用例2 若函数 是二次函数，求k的值。分析：x的最高次数等于2，即k2-3k+2=2，求出k的值即可。解：即时练习：若函数是二次函数，则k的值为 。四、反思小结1我们通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。2定义：一般地，形如y=ax+bx+c(a，b，c是常数，a0)的函数叫做x的二次函数。3二次函数y=ax+bx+c(a，b，c是常数，a0)的几种不同表示形式：(1) y=ax (a0)； (2) y=ax+c (a0且c0)； (3) y=ax+bx (a0且b0)。4二次函数定义的核心是关键字“二”，即必须满足自变量最高次项的指数为_，且_项系数不为_的整式。【达标测评】1下列函数不属于二次函数的是（ ）Ay=(x1)(x+2) By=(x+1)2 Cy=2(x+3)22x2 Dy=1x22在边长为6 cm的正方形中间剪去一个边长为x cm(x0）,y随x的增大而 ；在对称轴的右侧（x0x0)y=ax2(a0时，y随x的增大而增大，求m的值。10已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8），（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上；（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。四、反思小结二次函数的yax2（a0）的图象与性质：五个方面理解： ， ， ， ， 。【达标测评】1抛物线y=2x2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，在 侧，y随着x的增大而增大；在 侧,y随着x的增大而减小。当x= 时，函数y的值最小,最小值是 。抛物线y=2x2的图象在 方（除顶点外）。2函数yx2的顶点坐标为 ，若点（a，4）在其图象上，则a的值是 。3函数yx2与 y-x2的图象关于 对称，也可以认为y-x2 是函数yx2的图象绕 旋转得到的。4求出函数y=x+2与函数yx2的图象的交点坐标 。5若a1，点（a-1，y1），（a，y2），（a+1，y3）都在函数yx2的图象上，判断y1，y2，y3的大小关系是 。教学后记第3课时 二次函数yax2+k的图象与性质【学习目标】1会用描点法作出函数yax2+k的图象，能根据图象认识和理解二次函数yax2+k的性质； 2理解二次函数yax2+k中a和k对函数图象的影响； 3理解二次函数yax2与yax2+k的关系。【学习重点】理解二次函数yax2+k的性质。【学习难点】理解二次函数yax2与yax2+k的关系。【学习过程】一、学习准备1画出两条抛物线的草图并填空。抛物线yx2y-x2开口方向对称轴增减性在对称轴左侧， y随x的增大而 。在对称轴右侧， y随x的增大而 。顶点坐标最值当x=0时，ymax= 。xyOxyO二、解读教材 2用描点法作出二次函数y2x2+1的图像。x0y2x2+1小结：y2x2+1的图像是 ，且开口向 。对称轴是 ，在对称轴左右的增减性分别是：在对称轴左侧，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，y随x的增大而 。顶点是：( ， )，且从图像看它有最 点，则函数y有最 值，即当x= 时y有最 值是 。xyO3在同一直角坐标系中，作出二次函数y-x2，y-x2+2，y-x2-2的图像。xy-x2y-x2+2y-x2-2小结：抛物线yax2+k的开口方向由 决定，当 时，开口向上；当 时，开口向下。对称轴是 ，当a0时，在对称轴左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 。 且函数y当x=0时ymin= 。当a0时，y随x的增大而 。当x= 时，y有最 值为 。 三、挖掘教材-抛物线yax2+k可以由抛物线yax2经过向上（k0）或向下(k0)y=ax2(a0)y=ax2+k (a0）或向 (k0；由得0；考虑时0，所以有0；考虑时0，所以有0；考虑时0，所以有0，同理时，0；图象与x轴有两个交点，所以0。例2 如图是二次函数图像的一部分，图像过点A，对称轴，给出四个结论：，其中正确的结论是（ ）A、 B、 C、 D、分析：由图象可以知道0；抛物线与x轴有两个交点，0，即；又对称轴，即，0；，均为负数，；当时，抛物线有最高点，0；综上，正确的是，故选B。例3 如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是_。分析：由图象可知：0；当时，即，但是0，故。三、巩固训练1抛物线如图所示，则（ ）A、0，0，0 B、0，0，0 C、0，0，0 D、0，0，02已知二次函数的图像如图所示，下列结论中正确的个数是（ ）0，0，0，A、4个 B、3个 C、2个 D、1个3已知函数的部分图像如图所示，则c 0，当x_时，y随x的增大而减小。第3题第2题第1题4已知一次函数的图像过点，则关于抛物线的三条叙述：过定点；对称轴可以是；当0时，其顶点的纵坐标的最小值为3，其中正确叙述的个数是（ ）A、0 B、1 C、2 D、35已知二次函数的图象如图所示，当y0时，x的取值范围是（ ）A、1x3 B、x3 C、x-1 D、x3或x-16抛物线的图象与x轴的一个交点是，顶点是，下列说法中不正确的是（ ）A、抛物线的对称轴是 B、抛物线开口向下C、抛物线与x轴的另一个交点是 D、当时，y有最大值是37已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）-3yxO-13xyO-13xyO1-2-1123A、 B、C、 D、第5题第6题第7题8在直角坐标系中画一个二次函数y=ax2+bx+c的图象，且满足b0，c0 B、a+b+cab-ac D、4ac-b20xyO1-1xyOxyOxyO112若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则直线y=abx+c不经过 象限。第9题第12题第11题第10题第9课时 求二次函数的解析式（一）【学习目标】1掌握已知三点，会用一般式求函数的表达式；2掌握已知顶点及一点或对称轴或函数的最值，用顶点式求函数的表达式。3掌握已知两根及一点，用两根式求函数解析式。【学习重点】用一般式、顶点式求函数的表达式。【学习难点】用顶点式和两根式求函数的表达式。【学习过程】一、学习准备：1已知一次函数经过点（1，2），（-1，0），则一次函数的解析式为 。2二次函数的一般式为 ，二次函数的顶点式 ，二次函数的两根式（或交点式）为 。二、方法探究（一）已知三点，用一般式求函数的表达式。3例1 二次函数的图象经过（0，2），（1，1），（3，5）三点，求二次函数的解析式。4即时练习 已知抛物线经过A（-1，0），B（1，0），C（0，1）三点，求二次函数的解析式。三、方法探究（二）已知顶点及一点或对称轴或函数的最值，用顶点式求出函数的解析式。5例2 已知抛物线的顶点坐标为（-2，3），且经过点（-1，7），求函数的解析式。解：设抛物线的解析式为。 把顶点（2，3）,即h=-2 , k=3 代入表达式为 再把（1，7）代入上式为解得所以函数解析式为即6即时练习 （1）抛物线经过点（0，8），当时，函数有最小值为9，求抛物线的解析式。（2）已知二次函数，当时，函数有最大值2，其过点(0，2)，求这个二次函数的解析式。四、方法探究（三）已知两根及一点或对称轴或函数的最值，用两根式求出函数的解析式。7例3 已知抛物线经过（1，0），（3，0），且过（2，6）三点，求二次函数的表达式。解：设抛物线的解析式为把抛物线经过的（1，0），（3，0）两点代入上式为：再把（2，6）带入上式为解得所以函数的解析式为即8即时练习 已知抛物线经过A（-2，0），B（4，0），C(0，3)，求二次函数的解析式。五、反思小结求二次函数解析式的方法1已知三点，求二次函数解析式的步骤是什么？2用顶点式求二次函数的解题思路是：已知顶点及一点或对称轴或函数的最值，用顶点式求解析式比较简单。3用两根式求二次函数的解题思路是：已知两根及一点或对称轴或函数的最值，用两根式求解析式比较简单。【达标测评】求下列二次函数的解析式：1图象过点（1，0）、（0，-2）和（2，3）。2当x=2时，y=3，且过点（1，-3）。3图象与x轴交点的横坐标分别为2和-4，且过点(1，-10)教学后记第10课时 求二次函数的解析式（二）【学习目标】1了解二次函数的三种表示方式；2会灵活地运用适当的方法求二次函数的解析式。【学习重点】灵活地运用适当的方法求二次函数的解析式。 【学习过程】一、学习准备1函数的表示方式有三种： 法， 法， 法。2二次函数的表达式有： 、 ， 。二、典型例题用适当的方法求出二次函数的表达式3例1 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标是1，3，顶点坐标是（1，2），求函数的解析式（用三种方法）4即时练习：用适当的方法求出二次函数的解析式。一条抛物线的形状与相同，且对称轴是直线，与y轴交于点（0，1），求抛物线的解析式。5例2 已知如图，抛物线与轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C。直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标；当点CO=时，求抛物线的解析式。6即时练习：已知直线y=2x-4与抛物线y=ax2+bx+c的图象相交于A（-2，m），B(n，2)两点，且抛物线以直线x=3为对称轴，求抛物线的解析式。三、反思小结求二次函数解析式的方法1已知三点或三对x、y的对应值，通常用。2已知图象的顶点或对称轴，通常用。3已知图象与x轴的交点坐标，通常用。四、巩固训练1已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，该二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A点的坐标为(4,0)。（1）求B点的坐标（2）求这个二次函数的关系式；AOxyBFC2如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过三点。（1）求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标。（2）在抛物线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由。教学后记第11课时 利用二次函数求最大利润【学习目标】1能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，体会数学“建模”思想，并感受数学的应用价值；2并能运用公式当x=时，y最大（小）值=解决实际问题。【学习重点】用“数形结合”的思想理解公式，并能运用公式解决实际问题。【学习难点】分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系。【学习过程】一、学习准备1二次函数y=ax2+bx+c的图像是一条_，它的对称轴是直线x=，顶点是_。2二次函数y=-2x2+3x-1的图象开口_，所以函数有最_值，即当x= 时，ymax =_。二、解读教材3例1 某商经营T恤衫，已知成批购买时的单价是5元。根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是15元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售200件。问销售价是多少时，可以获利最多？分析：若设销售单价为x(x15)元，所获利润为y元，则：(1)销售量可以表示为_；(2)销售额可以表示为_；(3)销售成本可以表示为_；(4)所获利润可表示为y=_。 解：设 根据题意得关系式：y=_，即y= 。 a= 0，则当x=-时，y( )= ；若a0，则当x= 时，y( )= 。2在二次函数y=2x2-8x+9中当x= 时，函数y有最 值等于 。这是一个二级图形哟！公式：3如图，在边BC长为20cm，高AM为16cm的ABC内接矩形EFGH，并且它的一边FG在ABC的边BC上，E、F分别在AB、AC上，若设EF为xcm，请用x的代