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成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 必修1 指数函数和对数函数 第三章 第三章 4对数 4 1对数及其运算 对数 logarithm 一词是纳皮尔首先创造的 意思是 比数 他最早用 人造的数 来表示对数 俄国著名诗人莱蒙托夫是一位数学爱好者 传说有一次他在解答一道数学题时 冥思苦想没法解决 睡觉时做了一个梦 梦中一位老人提示他解答的方法 醒后他真的把此题解出来了 莱蒙托夫把梦中老人的像画了出来 大家一看竟是数学家纳皮尔 这个传说告诉我们 纳皮尔在人们心目中的地位是多么地高 那么 对数 到底是什么呢 学完本节内容就明白了 1 对数的有关概念 1 一般地 如果ab n a 0 且a 1 那么数b叫作 记作 其中a叫作对数的 n叫作 2 以10为底的对数叫作 n的常用对数记作 3 以e为底的对数叫作 n的自然对数记作 以a为底n的对数 logan b 底数 真数 常用对数 lgn 自然对数 lnn 零和负数 n 0 loga1 0 1 logaa 1 logam logan logam logan n logam n 5 2014 陕西高考 已知4a 2 lgx a 则x 对数式与指数式的互化 对数的基本性质 求下列各式中的x 1 log8 log5 log2x 0 2 log2 log3 log2x 1 解析 1 由log8 log5 log2x 0得 log5 log2x 1 log2x 5 x 25 32 2 由log2 log3 log2x 1得 log3 log2x 2 log2x 32 9 x 29 利用对数的运算性质化简求值 思路分析 1 对数的运算实质是把积 商 幂的对数运算分别转化为对数的加 减 乘的运算 2 对于含有对数式的多项式运算问题 可以将式中真数的积 商 幂 方根运用运算性质化为对数的和 差 积 然后化简求值 可以将式中的对数的和 差 积化为真数的积 商 幂 方根 然后化简求值 规律总结 1 在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义 应避免出现lg 5 2 2lg 5 等形式的错误 同时应注意对数性质的逆用在解题中的应用 譬如在常用对数中 lg2 1 lg5 lg5 1 lg2的运用 2 对于底数相同的对数式的化简 常用的方法是 收 将同底的两对数的和 差 收成积 商 的对数 拆 将积 商 的对数拆成对数的和 差 3 对数的化简求值一般是正用或逆用公式 对真数进行处理 选哪种策略化简 取决于问题的实际情况 一般本着便于真数化简的原则进行 对数恒等式 解方程 log2 9x 5 log2 3x 2 2 错解 原方程化为log2 9x 5 log2 4 3x 2 所以9x 5 4 3x 2 即32x 4 3x 3 0 所以 3x 3 3x 1 0 解得x 1或x 0 辨析 本题错在将对数方程log2 9x
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