全国通用高考数学复习导数与函数的单调性极值最值问题训练.docx

专题一 函数与导数、不等式 第3讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题训练 文一、选择题1.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A.f(b)f(c)f(d)B.f(b)f(a)f(c)C.f(c)f(b)f(a)D.f(c)f(b)f(d)解析由f(x)的图象知，xa，c时，f(x)0，f(x)为增函数，cba，f(c)f(b)f(a).答案C2.若函数f(x)kxln x在区间(1，)上单调递增，则k的取值范围是()A.(，2 B.(，1C.2，) D.1，)解析由于f(x)k，f(x)kxln x在区间(1，)上单调递增f(x)k0在(1，)上恒成立，由于k，而01，所以k1.即k的取值范围为1，).答案D3.(2016四川卷)已知a是函数f(x)x312x的极小值点，则a()A.4 B.2 C.4 D.2解析f(x)x312x，f(x)3x212，令f(x)0，则x12，x22.当x(，2)，(2，)时，f(x)0，则f(x)单调递增；当x(2，2)时，f(x)0，则f(x)单调递减，f(x)的极小值点为a2.答案D4.已知函数f(x)x3ax23x1有两个极值点，则实数a的取值范围是()A.(，) B.(，)C.(，) D.(，)(，)解析f(x)x22ax3.由题意知方程f(x)0有两个不相等的实数根，所以4a2120，解得a或a.答案D5.(2016全国卷)若函数f(x)xsin 2xasin x在(，)上单调递增，则a的取值范围是()A.1，1 B.C. D.解析法一(特殊值法)：不妨取a1，则f(x)xsin 2xsin x，f(x)1cos 2xcos x，但f(0)110，不具备在(，)单调递增，排除A，B，D.故选C.法二(综合法)：函数f(x)xsin 2xasin x在(，)上单调递增，f(x)1cos 2xacos x1(2cos2x1)acos xcos2xacos x0，即acos xcos2x在(，)上恒成立.当cos x0时，恒有0，得aR；当0cos x1时，得acos x，令tcos x，f(t)t在(0，1上为增函数，得af(1)；当1cos x0时，得acos x，令tcos x，f(t)t在1，0)上为增函数，得af(1).综上，可得a的取值范围是，故选C.答案C二、填空题6.已知函数f(x)4ln xax26xb(a，b为常数)，且x2为f(x)的一个极值点，则a的值为_.解析由题意知，函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax6，f(2)24a60，即a1.答案17.已知函数f(x)mx2ln x2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是_.解析f(x)mx20对一切x0恒成立，m.令g(x)，则当1时，函数g(x)取最大值1.故m1.答案1，)8.若函数f(x)2x2ln x在其定义域内的一个子区间(k1，k1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是_.解析f(x)的定义域为(0，)，f(x)4x.由f(x)0，得x.据题意得解得1k.答案三、解答题9.设函数f(x)(aR).(1)若f(x)在x0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若f(x)在3，)上为减函数，求a的取值范围.解(1)对f(x)求导得f(x)，因为f(x)在x0处取得极值，所以f(0)0，即a0.当a0时，f(x)，f(x)，故f(1)，f(1)，从而f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y(x1)，化简得3xey0.(2)由(1)知f(x).令g(x)3x2(6a)xa，由g(x)0，解得x1，x2.当xx1时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为减函数；当x1xx2时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为增函数；当xx2时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为减函数.由f(x)在3，)上为减函数，知x23，解得a，故a的取值范围为.10.已知函数f(x)xln x.(1)求函数f(x)的单调区间和最小值；(2)若函数F(x)在1，e上的最小值为，求a的值.解(1)因为f(x)ln x1(x0)，令f(x)0，即ln x1ln e1，所以xe1，所以x.同理令f(x)0，可得x.所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.由此可知f(x)minf.(2)F(x)，当a0时，F(x)0，F(x)在1，e上单调递增，F(x)minF(1)，所以a0，)，舍去.当a0时，F(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增.当a(1，0)，F(x)在1，e上单调递增，F(x)minF(1)a，所以a(1，0)，舍去.若ae，1，F(x)在1，a上单调递减，在a，e上单调递增，所以F(x)minF(a)ln(a)1，ae，1；若a(，e)，F(x)在1，e上单调递减，F(x)minF(e)1，所以a(，e)，舍去.综上所述a.11.(2016洛阳统考)设函数f(x)k(k为常数，e2.718 28是自然对数的底数).(1)当k0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点，求k的取值范围.解(1)函数yf(x)的定义域为(0，).f(x)k.由k0可得exkx0，所以当x(0，2)时，f(x)0，函数yf(x)单调递减，x(2，)时，f(x)0，函数yf(x)单调递增.所以f(x)的单调递减区间为(0，2，单调递增区间为2，).(2)由(1)知，k0时，函数f(x)在(0，2)内单调递减，故f(x)在(0，2)内不存在极值点；当k0时，设函数g(x)exkx，x0，).因为g(x)exkexeln k，当0k1时，当x(0，2)时，g(x)exk0，yg(x)单调递增.故f(x)在(0，2)内不存在两个极值点；当k1时，x(0，ln k)时，g(x)0，函数yg(