高考数学大一轮复习 10.2排列与组合课件 理 苏教版.ppt

数学苏 理 10 2排列与组合 第十章计数原理 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分 1 排列与组合的概念 一定的顺序 2 排列数与组合数 1 排列数的定义 从n个不同元素中取出m m n 个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 用表示 2 组合数的定义 从n个不同元素中取出m m n 个元素的的个数 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 用表示 所有不同组合 3 排列数 组合数的公式及性质 n n 1 n 2 n m 1 1 n 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 所有元素完全相同的两个排列为相同排列 2 一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序 3 两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同 4 n 1 n n n 5 a na 6 kc nc 48 24 12 14 有1名女生 cc 8 解析 有2名女生 cc 6 不同的选派方案有8 6 14 种 例1有4名男生 5名女生 全体排成一行 问下列情形各有多少种不同的排法 1 甲不在中间也不在两端 题型一排列问题 解析 思维点拨 先考虑甲的排法或先考虑中间位置排法 例1有4名男生 5名女生 全体排成一行 问下列情形各有多少种不同的排法 1 甲不在中间也不在两端 题型一排列问题 解析 思维点拨 解方法一 元素分析法 先排甲有6种 其余有a种 故共有6 a 241920 种 排法 例1有4名男生 5名女生 全体排成一行 问下列情形各有多少种不同的排法 1 甲不在中间也不在两端 题型一排列问题 方法二 位置分析法 中间和两端有a种排法 包括甲在内的其余6人有a种排法 故共有a a 336 720 241920 种 排法 解析 思维点拨 方法三 等机会法 9个人的全排列数有a种 甲排在每一个位置的机会都是均等的 依题意 甲不在中间及两端的排法总数是a 241920 种 例1有4名男生 5名女生 全体排成一行 问下列情形各有多少种不同的排法 1 甲不在中间也不在两端 题型一排列问题 方法四 间接法 a 3 a 6a 241920 种 解析 思维点拨 例1有4名男生 5名女生 全体排成一行 问下列情形各有多少种不同的排法 2 甲 乙两人必须排在两端 解析 思维点拨 先排特殊元素 例1有4名男生 5名女生 全体排成一行 问下列情形各有多少种不同的排法 2 甲 乙两人必须排在两端 解析 思维点拨 解先排甲 乙 再排其余7人 共有a a 10080 种 排法 例1有4名男生 5名女生 全体排成一行 问下列情形各有多少种不同的排法 2 甲 乙两人必须排在两端 解析 思维点拨 思维点拨 解析 思维升华 例1有4名男生 5名女生 全体排成一行 问下列情形各有多少种不同的排法 3 男女相间 插空法 例1有4名男生 5名女生 全体排成一行 问下列情形各有多少种不同的排法 3 男女相间 思维点拨 解析 思维升华 例1有4名男生 5名女生 全体排成一行 问下列情形各有多少种不同的排法 3 男女相间 思维点拨 解析 思维升华 本题集排列多种类型于一题 充分体现了元素分析法 优先考虑特殊元素 位置分析法 优先考虑特殊位置 直接法 间接法 排除法 等机会法 插空法等常见的解题思路 例1有4名男生 5名女生 全体排成一行 问下列情形各有多少种不同的排法 3 男女相间 思维点拨 解析 思维升华 跟踪训练1由0 1 2 3 4 5这六个数字组成的无重复数字的自然数 求 1 有多少个含有2 3 但它们不相邻的五位数 解不考虑0在首位 0 1 4 5先排三个位置 跟踪训练1由0 1 2 3 4 5这六个数字组成的无重复数字的自然数 求 2 有多少个数字1 2 3必须由大到小顺序排列的六位数 例2某市工商局对35种商品进行抽样检查 已知其中有15种假货 现从35种商品中选取3种 1 其中某一种假货必须在内 不同的取法有多少种 题型二组合问题 解析 思维点拨 可以从特殊元素出发 考虑直接选取或使用间接法 例2某市工商局对35种商品进行抽样检查 已知其中有15种假货 现从35种商品中选取3种 1 其中某一种假货必须在内 不同的取法有多少种 题型二组合问题 解析 思维点拨 从余下的34种商品中 选取2种有c 561 种 某一种假货必须在内的不同取法有561种 例2某市工商局对35种商品进行抽样检查 已知其中有15种假货 现从35种商品中选取3种 1 其中某一种假货必须在内 不同的取法有多少种 题型二组合问题 解析 思维点拨 例2某市工商局对35种商品进行抽样检查 已知其中有15种假货 现从35种商品中选取3种 2 其中某一种假货不能在内 不同的取法有多少种 解析 思维点拨 可以从特殊元素出发 考虑直接选取或使用间接法 例2某市工商局对35种商品进行抽样检查 已知其中有15种假货 现从35种商品中选取3种 2 其中某一种假货不能在内 不同的取法有多少种 解析 思维点拨 某一种假货不能在内的不同取法有5984种 例2某市工商局对35种商品进行抽样检查 已知其中有15种假货 现从35种商品中选取3种 2 其中某一种假货不能在内 不同的取法有多少种 解析 思维点拨 例2某市工商局对35种商品进行抽样检查 已知其中有15种假货 现从35种商品中选取3种 3 恰有2种假货在内 不同的取法有多少种 解析 思维点拨 可以从特殊元素出发 考虑直接选取或使用间接法 例2某市工商局对35种商品进行抽样检查 已知其中有15种假货 现从35种商品中选取3种 3 恰有2种假货在内 不同的取法有多少种 解析 思维点拨 恰有2种假货在内的不同的取法有2100种 例2某市工商局对35种商品进行抽样检查 已知其中有15种假货 现从35种商品中选取3种 3 恰有2种假货在内 不同的取法有多少种 解析 思维点拨 例2某市工商局对35种商品进行抽样检查 已知其中有15种假货 现从35种商品中选取3种 4 至少有2种假货在内 不同的取法有多少种 解析 思维点拨 可以从特殊元素出发 考虑直接选取或使用间接法 例2某市工商局对35种商品进行抽样检查 已知其中有15种假货 现从35种商品中选取3种 4 至少有2种假货在内 不同的取法有多少种 解析 思维点拨 至少有2种假货在内的不同的取法有2555种 例2某市工商局对35种商品进行抽样检查 已知其中有15种假货 现从35种商品中选取3种 4 至少有2种假货在内 不同的取法有多少种 解析 思维点拨 例2某市工商局对35种商品进行抽样检查 已知其中有15种假货 现从35种商品中选取3种 5 至多有2种假货在内 不同的取法有多少种 思维点拨 解析 思维升华 可以从特殊元素出发 考虑直接选取或使用间接法 例2某市工商局对35种商品进行抽样检查 已知其中有15种假货 现从35种商品中选取3种 5 至多有2种假货在内 不同的取法有多少种 思维点拨 解析 思维升华 例2某市工商局对35种商品进行抽样检查 已知其中有15种假货 现从35种商品中选取3种 5 至多有2种假货在内 不同的取法有多少种 至多有2种假货在内的不同的取法有6090种 思维点拨 解析 思维升华 组合问题常有以下两类题型变化 1 含有 或 不含有 某些元素的组合题型 含 则先将这些元素取出 再由另外元素补足 不含 则先将这些元素剔除 再从剩下的元素中去选取 例2某市工商局对35种商品进行抽样检查 已知其中有15种假货 现从35种商品中选取3种 5 至多有2种假货在内 不同的取法有多少种 思维点拨 解析 思维升华 2 至少 或 至多 含有几个元素的组合题型 解这类题必须十分重视 至少 与 至多 这两个关键词的含义 谨防重复与漏解 用直接法和间接法都可以求解 通常用直接法分类复杂时 考虑逆向思维 用间接法处理 例2某市工商局对35种商品进行抽样检查 已知其中有15种假货 现从35种商品中选取3种 5 至多有2种假货在内 不同的取法有多少种 思维点拨 解析 思维升华 跟踪训练2从10位学生中选出5人参加数学竞赛 1 甲必须入选的有多少种不同的选法 解学生甲入选 再从剩下的9人选4人 故甲必须入选的有c 126 种 不同选法 2 甲 乙 丙不能同时都入选的有多少种不同的选法 解析没有限制条件的选择方法有c 252种 甲 乙 丙同时都入选有c 21种 故甲 乙 丙不能同时都入选的有252 21 231 种 不同的选法 例34个不同的球 4个不同的盒子 把球全部放入盒内 1 恰有1个盒不放球 共有几种放法 题型三排列与组合的综合应用问题 解析 思维点拨 把不放球的盒子先拿走 再放球到余下的盒子中并且不空 例34个不同的球 4个不同的盒子 把球全部放入盒内 1 恰有1个盒不放球 共有几种放法 题型三排列与组合的综合应用问题 解析 思维点拨 为保证 恰有1个盒不放球 先从4个盒子中任意取出去一个 问题转化为 4个球 3个盒子 每个盒子都要放入球 共有几种放法 即把4个球分成2 1 1的三组 然后再从3个盒子中选1个放2个球 其余2个球放在另外2个盒子内 由分步乘法计数原理 共有ccc a 144 种 放法 例34个不同的球 4个不同的盒子 把球全部放入盒内 1 恰有1个盒不放球 共有几种放法 题型三排列与组合的综合应用问题 解析 思维点拨 例34个不同的球 4个不同的盒子 把球全部放入盒内 2 恰有1个盒内有2个球 共有几种放法 解析 思维点拨 把不放球的盒子先拿走 再放球到余下的盒子中并且不空 例34个不同的球 4个不同的盒子 把球全部放入盒内 2 恰有1个盒内有2个球 共有几种放法 解析 思维点拨 恰有1个盒内有2个球 即另外3个盒子放2个球 每个盒子至多放1个球 也即另外3个盒子中恰有一个空盒 因此 恰有1个盒内有2个球 与 恰有1个盒不放球 是同一件事 所以共有144种放法 例34个不同的球 4个不同的盒子 把球全部放入盒内 2 恰有1个盒内有2个球 共有几种放法 解析 思维点拨 思维点拨 解析 思维升华 例34个不同的球 4个不同的盒子 把球全部放入盒内 3 恰有2个盒不放球 共有几种放法 把不放球的盒子先拿走 再放球到余下的盒子中并且不空 例34个不同的球 4个不同的盒子 把球全部放入盒内 3 恰有2个盒不放球 共有几种放法 思维点拨 解析 思维升华 例34个不同的球 4个不同的盒子 把球全部放入盒内 3 恰有2个盒不放球 共有几种放法 思维点拨 解析 思维升华 排列 组合综合题目 一般是将符合要求的元素取出 组合 或进行分组 再对取出的元素或分好的组进行排列 其中分组时 要注意 平均分组 与 不平均分组 的差异及分类的标准 例34个不同的球 4个不同的盒子 把球全部放入盒内 3 恰有2个盒不放球 共有几种放法 思维点拨 解析 思维升华 跟踪训练3 1 将标号为1 2 3 4 5 6的6张卡片放入3个不同的信封中 若每个信封放2张 其中标号为1 2的卡片放入同一信封 则不同的放法共有 种 18 跟踪训练3 2 2014 重庆改编 某次联欢会要安排3个歌舞类节目 2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序 则同类节目不相邻的排法种数是 解析先安排小品节目和相声节目 然后让歌舞节目去插空 安排小品节目和相声节目的顺序有三种 小品1 小品2 相声 小品1 相声 小品2 和 相声 小品1 小品2 对于第一种情况 形式为 小品1歌舞1小品2 相声 有aca 36 种 安排方法 同理 第三种情况也有36种安排方法 对于第二种情况 三个节目形成4个空 其形式为 小品1 相声 小品2 有aa 48 种 安排方法 故共有36 36 48 120 种 安排方法 跟踪训练3 2 2014 重庆改编 某次联欢会要安排3个歌舞类节目 2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序 则同类节目不相邻的排法种数是 120 典例 有20个零件 其中16个一等品 4个二等品 若从20个零件中任意取3个 那么至少有1个一等品的不同取法有 种 易错分析 解析 温馨提醒 易错警示系列15排列 组合问题计算重 漏致误 易错分析 解析 温馨提醒 典例 有20个零件 其中16个一等品 4个二等品 若从20个零件中任意取3个 那么至少有1个一等品的不同取法有 种 易错警示系列15排列 组合问题计算重 漏致误 典例 有20个零件 其中16个一等品 4个二等品 若从20个零件中任意取3个 那么至少有1个一等品的不同取法有 种 易错警示系列15排列 组合问题计算重 漏致误 易错分析 解析 温馨提醒 典例 有20个零件 其中16个一等品 4个二等品 若从20个零件中任意取3个 那么至少有1个一等品的不同取法有 种 易错警示系列15排列 组合问题计算重 漏致误 易错分析 解析 温馨提醒 1136 1 排列 组合问题由于其思想方法独特 计算量庞大 对结果的检验困难 所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则 如特殊元素 位置优先原则 先取后排原则 易错分析 解析 温馨提醒 典例 有20个零件 其中16个一等品 4个二等品 若从20个零件中任意取3个 那么至少有1个一等品的不同取法有 种 易错警示系列15排列 组合问题计算重 漏致误 1136 先分组后分配原则 正难则反原则等 只有这样我们才能有明确的解题方向 同时解答组合问题时必须心思细腻 考虑周全 这样才能做到不重不漏 正确解题 易错分析 解析 温馨提醒 典例 有20个零件 其中16个一等品 4个二等品 若从20个零件中任意取3个 那么至少有1个一等品的不同取法有 种 易错警示系列15排列 组合问题计算重 漏致误 1136 2 至少 至多 型问题不能利用分步计数原理求解 多采用分类求解或转化为它的对立事件求解 易错分析 解析 温馨提醒 典例 有20个零件 其中16个一等品 4个二等品 若从20个零件中任意取3个 那么至少有1个一等品的不同取法有 种 易错警示系列15排列 组合问题计算重 漏致误 1136 方法与技巧 1 对于有附加条件的排列 组合应用题 通常从三个途径考虑 1 以元素为主考虑 即先满足特殊元素的要求 再考虑其他元素 2 以位置为主考虑 即先满足特殊位置的要求 再考虑其他位置 3 先不考虑附加条件 计算出排列数或组合数 再减去不合要求的排列数或组合数 方法与技巧 2 排列 组合问题的求解方法与技巧 1 特殊元素优先安排 2 合理分类与准确分步 3 排列 组合混合问题先选后排 4 相邻问题捆绑处理 5 不相邻问题插空处理 6 定序问题排除法处理 7 分排问题直排处理 8 小集团 排列问题先整体后局部 9 构造模型 10 正难则反 等价条件 失误与防范 求解排列与组合问题的三个注意点 1 解排列与组合综合题一般是先选后排 或充分利用元素的性质进行分类 分步 再利用两个原理做最后处理 2 解受条件限制的组合题 通常用直接法 合理分类 和间接法 排除法 来解决 分类标准应统一 避免出现重复或遗漏 1 2014 四川改编 六个人从左至右排成一行 最左端只能排甲或乙 最右端不能排甲 则不同的排法共有 种 解析第一类 甲在最左端 有a 5 4 3 2 1 120 种 方法 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 第二类 乙在最左端 有4a 4 4 3 2 1 96 种 方法 所以共有120 96 216 种 方法 216 2 将2名教师 4名学生分成2个小组 分别安排到甲 乙两地参加社会实践活动 每个小组由1名教师和2名学生组成 不同的安排方案共有 种 解析分两步 第一步 选派一名教师到甲地 另一名到乙地 共有c 2 种 选派方法 第二步 选派两名学生到甲地 另外两名到乙地 共有c 6 种 选派方法 由分步计数原理得不同的选派方案共有2 6 12 种 12 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 10名同学合影 站成了前排3人 后排7人 现摄影师要从后排7人中抽2人站前排 其他人的相对顺序不变 则不同调整方法的种数为 420 解析从后排抽2人的方法种数是c 前排的排列方法种数是a 由分步计数原理知不同调整方法种数是ca 420 2 4 5 6 7 8 9 10 1 3 4 某台小型晚会由6个节目组成 演出顺序有如下要求 节目甲必须排在前两位 节目乙不能排在第一位 节目丙必须排在最后一位 该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 种 解析分两类 第一类 甲排在第一位时 丙排在最后一位 中间4个节目无限制条件 有a种排法 2 3 5 6 7 8 9 10 1 4 2 3 5 6 7 8 9 10 1 4 答案42 5 如图所示 要使电路接通 开关不同的开闭方式有 种 2 3 4 6 7 8 9 10 1 5 所以共有14 7 21 种 方式 21 6 a b c d e五人并排站成一排 如果b必须站在a的右边 a b可以不相邻 那么不同的排法共有 种 2 3 4 5 7 8 9 10 1 6 解析可先排c d e三人 共a种排法 剩余a b两人只有一种排法 由分步计数原理知满足条件的排法共有a 60 种 60 7 2013 北京 将序号分别为1 2 3 4 5的5张参观券全部分给4人 每人至少1张 如果分给同一人的2张参观券连号 那么不同的分法种数是 解析将5张参观券分成4堆 有2个连号有4种分法 每种分法再分给4人 各有a种分法 不同的分法种数共有4a 96 96 2 3 4 5 6 8 9 10 1 7 8 用1 2 3 4这四个数字组成无重复数字的四位数 其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为 解析先把两奇数捆绑在一起有a种方法 再用插空法共有a c a 8个 8 2 3 4 5 6 7 9 10 1 8 9 某商店要求甲 乙 丙 丁 戊五种不同的商品在货架上排成一排 其中甲 乙两种必须排在一起 而丙 丁两种不能排在一起 不同的排法共有 种 解析甲 乙排在一起 用捆绑法 丙 丁不排在一起 用插空法 不同的排法共有2a a 24种 2 3 4 5 6 7 8 10 1 9 24 10 有9名学生 其中2名会下象棋但不会下围棋 3名会下围棋但不会下象棋 4名既会下围棋又会下象棋 现在要从这9名学生中选出2名学生 一名参加象棋比赛 另一名参加围棋比赛 共有多少种不同的选派方法 解设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合a 3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合b 4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合c 则选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 由分类计数原理 选派方法数共有6 12 8 12 38种 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 1 计划展出10幅不同的画 其中1幅水彩画 4幅油画 5幅国画 排成一列 要求同一品种的画必须连在一起 并且水彩画不放在两端 那么不同的排列方式的种数为 解析先把3种品种的画看成整体 而水彩画受限制应优先考虑 不能放在头尾 故只能放在中间 又油画与国画有a种放法 再考虑国画与油画本身又可以全排列 故排列的方法有aaa 5760种 5760 2 我国第一艘航母 辽宁舰 在某次舰载机起降飞行训练中 有5架舰载机准备着舰 如果甲 乙两机必须相邻着舰 而丙 丁不能