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1 6 1微分方程的基本概念 定义 例 偏微分方程 常微分方程 2 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之为微分方程的阶 一阶微分方程 高阶微分方程 注意 注意 3 线性与非线性微分方程 4 微分方程的解 等式的函数称之为微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒 5 微分方程的解的分类 1 通解 微分方程的解中含有任意常数 且独立任 意常数的个数与微分方程的阶数相同 2 特解 不包含任何任意常数的解 6 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题 过定点的积分曲线 一阶 二阶 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线 初始条件 用来确定任意常数的条件 通解的图象 微分方程的积分曲线族 解的图象 微分方程的积分曲线 7 解 8 所求特解为 9 注意 10 思考题解答 中不含任意常数 故为微分方程的特解 思考题 11 6 2一阶微分方程 12 一 可分离变量的微分方程 则称原微分方程为可分离变量的微分方程 可分离变量的微分方程 13 解法 14 例1求微分方程 解 分离变量 两端积分 15 例2 解 16 二 齐次方程 定义 的微分方程称为齐次方程 17 解法 令 代入原方程 得 可分离变量的微分方程 18 例3求解微分方程 微分方程的解为 解 19 例4求解微分方程 解 微分方程的解为 20 三 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程的标准形式 1 称为齐次方程 1 称为非齐次方程 例如 线性的 非线性的 21 1 先求线性齐次方程的通解 一阶线性微分方程的解法 齐次方程的通解为 用分离变量法 22 2 再求线性非齐次方程的通解 讨论 非齐次方程通解形式 23 只要在齐次方程的通解中 积分得 24 故一阶线性非齐次微分方程的通解为 称为常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法 25 解 例1 26 解 两边求导得 27 代入方程 得 故所求曲线为 28 伯努里 Bernoulli 方程的标准形式 方程为线性微分方程 方程为非线性微分方程 解法 需经过变量代换化为线性微分方程 四 伯努里方程 Bernoulli 1654 1705 瑞士 29 代入上式 得 30 解 例3 31 例4用适当的变量代换解下列微分方程 解 代入原方程 得 故原方程的通解为 32 解 所求通解为 33 1 分离变量法步骤 1 分离变量 2 两端积分 隐式通解 小结 2 齐次方程 3 线性非齐次方程 4 伯努里方程 34 6 3可降阶的二阶微分方程 35 解 36 37 解 38 39 例3 解1 40 解2 41 例4 解1 解2 故通解为 42 解3 两边积分 得 故通解为 43 6 4二阶线性微分方程 二阶线性微分方程的一般形式 方程为齐次方程 方程为非齐次方程 n阶线性微分方程 44 一 二阶线性微分方程解的性质与通解的结构 问题 1 二阶齐次方程解的结构 定理1 齐次方程解的叠加原理 45 证 证毕 46 定义 例如 线性无关 线性相关 47 定理2 证明略 推论 例如 线性无关 线性无关 线性无关 48 定理3 齐次线性方程通解结构 证 49 2 二阶非齐次线性方程的解的结构 定理4 非齐次线性方程通解的结构 证 50 51 定理5 非齐次方程解的叠加原理 证明略 52 二 二阶常系数线性齐次方程的解法 二阶常系数线性齐次方程的标准形式 53 特征根法 54 1 特征方程有两个不相等的实根 55 2 特征方程有两个相等的实根 此时 只得到方程 1 的一个特解 0 0 56 3 特征方程有一对共轭复根 57 58 59 解 特征方程为 解得特征根 故所求通解为 例1 解 特征方程为 解得特征根 故所求通解为 例2 60 解 61 二阶常系数线性非齐次方程 对应齐次方程 非齐次方程通解结构 关键 方法 待定系数法 三 二阶常系数线性非齐次方程的解法 62 代入原方程得 63 综上所述 64 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入原方程 得 故原方程通解为 例1 65 作辅助方程 66 67 注意 68 解 作辅助方程 代入 得 例2 对应齐次方程的通解 取虚部 原方程的特解为 原方程通解为 69 例3 解1 对应齐次方程的通解 作辅助方程 代入辅助方程 得 70 原方程的特解为 原方程通解为 取实部 71