高教版中职学校数学第一册 第六章 数列 教案.pdf

高教版中等职业学校数学第一册 数列 教案 磐石市职业教育中心 任志强1 第六章 数列第六章 数列 一 教学要求一 教学要求 数列作为一种特殊的函数 是反映自然规律的基本模型 在本章中 学生将通过 对日常中大量实际问题的分析 建立等差数列和等比数列这两种模型 探索并掌握它 们的一些基本数量关系 感受这两种数列模型的广泛应用 并利用它们解决一些实际 问题 1 了解数列的概念 理解数列的通项公式 了解数列的递归公式 2 理解等差数列的概念 掌握等差数列的通项公式 了解等差中项的概念 3 掌握等差数列的前 n 项和公式 4 会用等差数列前 n 项和公式或通项公式解决有关实际的问题 5 理解等比数列的概念 掌握等比数列的通项公式 了解等比中项的概念 6 掌握等比数列的前 n 项和公式 7 会用等比数列前 n 项和公式或通项公式解决有关实际的问题 二 课时安排建议二 课时安排建议 本章教学时间约 15 课时 6 1 数列的概念约 1 课时 6 2 等差数列及其通项公式约 2 课时 6 3 等差数列的前 n 项和约 2 课时 6 4 等差数列的应用约 1 课时 6 5 等比数列及其通项公式约 2 课时 6 6 等比数列的前 n 项和约 2 课时 6 4 等比数列的应用约 1 课时 小结约 2 课时 单元测验讲解约 2 课时 高教版中等职业学校数学第一册 数列 教案 磐石市职业教育中心 任志强2 6 16 1 数列的概念数列的概念 教学目标教学目标 知识与技能 知识与技能 理解数列及其有关概念 了解数列的通项公式 并会用通项公式写出数列的 任意一项 对于比较简单的数列 会根据其前几项写出它的个通项公式 了解数列的递推 公式 会根据数列的递推公式写出数列的前几项 理解数列的前 n 项和与的关系 n a 过程与方法 过程与方法 通过对一列数的观察 归纳 写出符合条件的一个通项公式 培养学生的观 察能力和抽象概括能力 情感态度与价值观 情感态度与价值观 通过本节课的学习 体会数学来源于生活 提高数学学习的兴趣 教学重点教学重点 数列及其有关概念 通项公式及其应用 根据数列的递推公式写出数列的前几项 教学难点教学难点 根据一些数列的前几项归纳数列的通项公式 理解递推公式与通项公式的关系 课型 课型 新授课 教学过程教学过程 课题导入课题导入 1 某杂技团表演罗汉时自上而下各层的人数是 3 2 1 1 1 2 找到一块正方形的地毯 然后把每条边分成三等分 于是原正方形便分成九个小正 方块 去掉中央的一个 剩下八个 接着对这八个小正方块的每一个 重复刚才的做 法 依这样的方法无限的做下去 最后剩下的图形就被称为塞尔平斯基地毯 在塞尔平斯基地毯的构造过程中 小正方块的总数 组成的数列为 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 82 83 84 3 1902 年斐波纳契提出一个兔子繁殖的问题 假定你有一雄一雌一对刚出生的兔子 它 们在长到一个月大小时开始交配 在第二月结束时 雌兔子产下另一对兔子 过了一个月 后它们也开始繁殖 如此这般持续下去 每只雌兔在开始繁殖时每月都产下一对兔子 假 定没有兔子死亡 在一年后总共会有多少对兔子 分析 在一月底 最初的一对兔子交配 但是还只有 1 对兔子 在二月底 雌兔产下一 对兔子 共有 2 对兔子 在三月底 最老的雌兔产下第二对兔子 共有 3 对兔子 在四月 底 最老的雌兔产下第三对兔子 两个月前生的雌兔产下一对兔子 共有 5 对兔子 如此这般计算下去 兔子对数分别是 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 讲授新课讲授新课 数列的定义数列的定义 按一定次序排列的一列数叫做数列数列 注意注意 数列的数是按一定次序排列的 因此 如果组成两个数列的数相同而排列次 序不同 那么它们就是不同的数列 高教版中等职业学校数学第一册 数列 教案 磐石市职业教育中心 任志强3 定义中并没有规定数列中的数必须不同 因此 同一个数在数列中可以重复出现 2 2 数列的项 数列的项 数列中的每一个数都叫做这个数列的项项 其中第 1 个数叫做这个数列的第 1 项 或首项 第2 个数叫做这个数列的第 2项 第个数叫做这个数列的第项 第项的 称为该项的序号 3 数列的一般形式数列的一般形式 或简记为 其中是数列的第项 321n aaaa n a n a 在塞尔平斯基地毯的构造过程中 小正方块的总数 组成的数列的第 100 项是 8100 第项是 8n n 4 数列的分类 数列的分类 有穷数列有穷数列 项数有限的数列 例如数列 1 2 3 4 5 6 无穷数列无穷数列 项数无限的数列 例如数列 1 2 3 4 5 6 数列的通项公式数列的通项公式 如果数列的第项能用 n 一个表达式来表示 则称这个表达式就为 n a 这个数列的通项公式 注意注意 并不是所有数列都能写出其通项公式 一个数列的通项公式有时是不唯一的 如数列 1 0 1 0 1 0 它的通项 公式可以是 也可以是 2 1 1 1 n n a 2 1 cos n an 数列通项公式的作用 求数列中任意一项 检验某数是否是该数列中的一项 数列的通项公式具有双重身份 它表示了数列的第项 又是这个数列中所有各项的 一般表示 通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系 给了数列的通项公式 这个数 列便确定了 代入项数就可求出数列的每一项 如数列 0 1 2 3 的通项公式为 1nnnan 1 1 1 通项公式为 1nnan 的通项公式为 4 1 3 1 2 1 1 1 nn n an 斐波纳契数列的各项之间有如下关系 1 1 21 2 32 3 53 5 8 5 8 138 13 2113 21 34 即 从第 3 项起 每一项是它前面两项的和 如果用表示斐波纳契数列的第项 则 n b 高教版中等职业学校数学第一册 数列 教案 磐石市职业教育中心 任志强4 且 nnn bbb 12 nn 1 1 21 bb 递推公式 如果一个数列的第项能用它前面若干项的表达式来表示 则把 nn 这个公式称为做这个数列的递归公式 递推公式 递推公式也是给出数列的一种方法 范例讲解范例讲解 例例 1 1 1 1 已知下述数列的通项公式 分别求出它的前 4 项 1 3 3 1 2 n a n bn 1 3 4 n n c 2 1 n d n n 1 1 解 略 例例 2 2 2 2 在下面各小题中分别选取一个数列 写出它的通项公式 使得它的前 4 项是所给的 4 个数 1 12 22 32 42 2 2 1 3 2 4 3 5 4 3 21 1 32 1 43 1 54 1 解 略 例例 3 3 3 3 写出写出斐波纳契数列的前 12 项 解 略 课堂练习课堂练习 课本 p285 286 练习 课时小结课时小结 本节课学习了以下内容 1 数列及有关定义 会根据通项公式求其任意一项 并会根据数列的前项求一些 简单数列的通项公式 2 通项公式反映的是项与项数之间的关系 而递推公式反映的是相邻两项 或n 项 之间的关系 课后作业课后作业 1 根据下面数列的前几项的值 写出数列的一个通项公式 1 3 5 9 17 33 2 3 2 15 4 35 6 63 8 99 10 3 0 1 0 1 0 1 4 2 6 12 20 30 42 2 根据各个数列的首项和递推公式 写出它的前五项 并归纳出通项公式 1 0 2n 1 1 a 1 n a n a nn 高教版中等职业学校数学第一册 数列 教案 磐石市职业教育中心 任志强5 2 1 1 a 1 n a 2 2 n n a a nn 板书设计板书设计 教学后记教学后记 高教版中等职业学校数学第一册 数列 教案 磐石市职业教育中心 任志强6 6 2 等差数列等差数列及其通项公式 一 及其通项公式 一 教学目标教学目标 知识与技能 知识与技能 了解公差的概念 能根据定义判断一个数列是等差数列 正确认识使用等差 数列的各种表示法 能灵活运用通项公式求等差数列的首项 公差 项数 指定的项 过程与方法 过程与方法 经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程 情感态度与价值观 情感态度与价值观 通过等差数列概念的归纳概括 培养学生的观察 分析资料的能力 积极思维 追求新知的创新意识 教学重点教学重点 等差数列的概念 等差数列的通项公式 教学难点教学难点 等差数列的通项公式的灵活运用 课型 课型 新授课 教学过程教学过程 课题导入课题导入 创设情境创设情境 观察 1 从小到大排成的正奇数如下 1 3 5 7 9 11 13 2 国际奥林匹克运动会早期 撑杆跳高的记录近似地由下表给出 请同学们仔细观察一下 看看以上二个数列有什么共同特征 共同特征 从第二项起 每一项与它前面一项的差等于同一个常数 即等差 我们给具有 这种特征的数列一个名字 等差数列等差数列 讲授新课讲授新课 1 1 1 1 等差数列 等差数列 如果一个数列从第二项起 每一项与它前一项的差等于同一个常数 这个数 列就叫做等差数列 这个常数就叫做等差数列的公差 常用字母 d 表示 公差 d 一定是由后项减前项所得 而不能用前项减后项来求 对于数列 若 d 与无关的数或字母 2 则此 n a n a 1 n a nn 数列是等差数列 d 为公差 2 2 2 2 等差数列的通项公式 等差数列的通项公式 dnaan 1 1 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得 若一等差数列的首项是 公 王新敞 n a 1 a 差是 d 则据其定义可得 daa 12 年份1900190419081912 高度 m 3 333 533 733 93 高教版中等职业学校数学第一册 数列 教案 磐石市职业教育中心 任志强7 daa 23 daa 34 daa nn 21 daa nn 11 把上述 1 个等式的左右两边分别相加 得 dnaan 1 1 由此得出 dnaan 1 1 这就是等差数列的通项公式 一个数列的第一项称为首项 已知一数列为等差数列 则只要知其首项和公差 d 1 a 便可求得其通项 n a 范例讲解范例讲解 例例 1 1 1 1 求等差数列 12 8 4 0 的通项公式与第 10 项 解 由4128 12 1 da nnan4164 1 12 2410416 10 a 例例 2 2 2 2 等差数列 1 2 5 8 的第几项是 152 解 3 1 2 1 1 da 因此从通项公式得出 3 1 1152 n 解得 52 即第 52 项是 152 例例 3 3 已知一个等差数列的第 4 项是 7 第 9 项是 22 求它的第 20 项 解 由已知根据通项公式得 22 7 94 aa 高教版中等职业学校数学第一册 数列 教案 磐石市职业教育中心 任志强8 2219 714 1 1 da da 解得3 2 1 da 因此 5531202 20 a 即第 20 项是 55 课堂练习课堂练习 课本 p291a 练习 1 2 3 4 b 1 2 课时小结课时小结 通过本节学习 首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式 d n a 1 n a 2 其次 要会推导等差数列的通项公式 并掌握其基本 nn dnaan 1 1 应用 课后作业课后作业 1 求等差数列 3 7 11 的第 4 项与第 10 项 2 求等差数列 10 8 6 的第 20 项 3 100 是不是等差数列 2 9 16 的项 如果是 是第几项 如果不是 说明 理由 4 20 是不是等差数列 0 3 7 的项 如果是 是第几项 如果不是 2 1 说明理由 板书设计板书设计 教学后记教学后记 高教版中等职业学校数学第一册 数列 教案 磐石市职业教育中心 任志强9 6 2 等差数列等差数列及其通项公式 二 及其通项公式 二 教学目标教学目标 知识与技能 知识与技能 明确等差中项的概念 进一步熟练掌握等差数列的通项公式应用 过程与方法 过程与方法 通过等差数列通项公式 等差中项的运用 渗透方程思想 情感态度与价值观 情感态度与价值观 通过对等差数列的研究 使学生明确等差数列与一般数列的内在联系 从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点 教学重点教学重点 等差数列的通项公式 等差中项的理解与应用 教学难点教学难点 灵活应用通项公式 等差中项解决一些相关问题 课型 课型 新授课 教学过程教学过程 课题导入课题导入 首先回忆一下上节课所学主要内容 1 1 1 1 等差数列 等差数列 如果一个数列从第二项起 每一项与它前一项的差等于同一个常数 即 d 2 n 这个数列就叫做等差数列 这个常数就叫做等差数列的 n a 1 n a 公差 常用字母 d 表示 王新敞 2 2 2 2 等差数列的通项公式 等差数列的通项公式 dnaan 1 1 3 3 计算公差 计算公差 d d 的方法 的方法 d d n a 1 n a 1 1 n aan 讲授新课讲授新课 问题问题 如果在与中间插入一个数 d 使 d 成等差数列 那么d 应满足什么条件 abab 由定义得 d d 即 ab 2 ba d 反之 若 则 d d 2 ba d ab 由此可可得 成等差数列 2 bda ba d 如果 d 成等差数列 那么 d 称为与的等差中项等差中项 d 称为与的等差中项ababab 当且仅当 d 是与的算术平均数 ab 如果三个数成等差数列 通常设等差中项为 a 公差为 d 从而这三个数分别为 a d a a d 高教版中等职业学校数学第一册 数列 教案 磐石市职业教育中心 任志强10 范例讲解范例讲解 例例 4 4 如果直角三角形的 3 个内角的度数成等差数列 求它的两个锐角各为多少度 解 略 例例 5 5 已知三个数成等差数列 它们的和为 21 积为 168 求这三个数 解 略 例例 6 6 数列 的通项公式是 试问 数列 是不是成等差数 n a14 nan nn n a 列 如果是 它的首项与公差是多少 解 略 由例 6 得如果 那么这个数列是等差数列 bknan 课堂练习课堂练习 课本 p291a 4 5 b 3 4 5 6 课时小结课时小结 本节课学习了以下内容 1 成等差数列bda ba d 2 2 如果 那么这个数列是等差数列 bknan 课后作业课后作业 1 已知三个数成等差数列 它们的和为 15 积为 210 求这三个数 2 在等差数列中 为公差 若且 n ad nqpnm qpnm 求证 qpnm aaaa 3 在等差数列中 若求 n amaa 8365 aa 板书设计板书设计 教学后记教学后记 高教版中等职业学校数学第一册 数列 教案 磐石市职业教育中心 任志强11 6 6 3 3 等差数列的前等差数列的前 n n 项和 一 项和 一 教学目标教学目标 知识与技能 知识与技能 掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路 会用等差数列的前 n 项和公式解 决一些简单的与前 n 项和有关的问题 过程与方法 过程与方法 通过公式的推导和公式的运用 使学生体会从特殊到一般 再从一般到特殊 的思维规律 初步形成认识问题 解决问题的一般思路和方法 对学生进行思维灵活性与 广阔性的训练 发展学生的思维水平 情感态度与价值观 情感态度与价值观 通过公式的推导过程 展现数学中的对称美 教学重点教学重点 等差数列 n 项和公式的理解 推导及应用 教学难点教学难点 灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题 课型 课型 新授课 教学过程教学过程 课题导入课题导入 小故事小故事 高斯是伟大的数学家 天文学家 高斯十岁时 有一次老师出了一道题目 老师说 现 在给大家出道题目 1 2 100 过了两分钟 高斯站起来回答说 1 2 3 100 5050 教师问 你是如何算出答案的 高斯回答说 因为 1 100 101 2 99 101 50 51 101 所以 101 50 5050 这个故事告诉我们 1 这是求等差数列 1 2 3 100 前 100 项和 2 高斯的解法是 前 100 项和 2 1001 100 100 s 讲授新课讲授新课 一般地 我们把等差数列 前 n 项的和 记作 即 n a n s nnn aaaaas 1321 从上述求前 100 个正整数的和的方法受到启发 我们可得等差数列的前项和公式n 1 等差数列的前项和公式 1 n 2 1n n aan s 高教版中等职业学校数学第一册 数列 教案 磐石市职业教育中心 任志强12 证明 nn aaaa 11 nnn aadadaaa 1112 nnn aadadaaa 1123 22 nnn aadnadnaaa 1121 22 nnn aadnadnaaa 111 11 然后把这 n 个等式的左右两边分别相加 得 2 1nn aans 由此得出 2 1n n aan s 即等差数列前 n 项的和等于首 末两项和的一半与项数的乘积 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 2 等差数列的前等差数列的前项和公式项和公式2 2 n 2 1 1 dnn nasn 用上述公式要求必须具备三个条件 n s n aan 1 但代入公式 1 即得 dnaan 1 1 2 1 1 dnn nasn 此公式要求必须已知三个条件 有时比较有用 n sdan 1 范例讲解范例讲解 例例 1 1 1 1 求前 1000 个正数的和 解 略 例例 2 2 2 2 已知一个等差数列的首项为 12 第 30 项为 18 求它的前 30 项的和 解 略 例例 3 3 已知一个等差数列的首项 a1 5 公差 d 3 求它的前 20 项的和 解 略 例例 4 4 求前 n 个正奇数的和 解 略 高教版中等职业学校数学第一册 数列 教案 磐石市职业教育中心 任志强13 课堂练习课堂练习 课本 p295a 组练习 课时小结课时小结 本节课学习了以下内容 1 1 等差数列的前等差数列的前项和公式项和公式 1 1 n 2 1n n aan s 2 2 等差数列的前等差数列的前项和公式项和公式 2 2 n 2 1 1 dnn nasn 课后作业课后作业 1 已知等差数列 an 1 a1 d sn 5 求 n 与 an 6 5 6 1 2 a1 4 s8 172 求 a8和 d 2 1 等差数列 an 中 a5 a16 30 则 s20等于 2 在 9 和 3 之间插入 n 个数 使这 n 2 个数组成和为 21 的等差数列 则 n 3 等差数列 an 的前 m 项和为 30 前 2m 项和为 100 则它的前 3m 项和 为 3 求在小于等于 1000 的自然数中 被 7 除余 2 的所有自然数之和 板书设计板书设计 教学后记教学后记 高教版中等职业学校数学第一册 数列 教案 磐石市职业教育中心 任志强14 6 6 3 3 等差数列的前等差数列的前 n n 项和 二 项和 二 教学目标教学目标 知识与技能 知识与技能 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式 并会用它们解决一些 相关问题 过程与方法 过程与方法 经历公式应用的过程 情感态度与价值观 情感态度与价值观 让学生进一步巩固所学的知识 加深对所学定理的理解 提高创新能 力 进一步培养学生研究和发现能力 让学生在探究中体验愉悦的成功体验 教学重点教学重点 熟练掌握等差数列的求和公式 教学难点教学难点 灵活应用求和公式解决问题 课型 课型 新授课 教学过程教学过程 课题导入课题导入 首先回忆一下上一节课所学主要内容 1 1 等差数列的前等差数列的前项和公式项和公式 1 1 n 2 1n n aan s 2 2 等差数列的前等差数列的前项和公式项和公式 2 2 n 2 1 1 dnn nasn 讲授新课讲授新课 范例讲解 例例 5 5 5 5 在等差数列 an 中 a5 6 a12 15 求 s60 解 略 例例 6 6 等差数列 1 2 5 6 的前多少项的和是 125 解 略 例例 7 7 设数列的前 n 项为 试求它的通项公式 是不是等差数列 n annsn 2 2 n a 如果是 它的首项与公差分别是什么 解 略 由例 7 得与与之间的关系之间的关系 n s n a 由的定义可知 当 n 1 时 当 n 2 时 n s 1 s 1 a n a n s 1 n s 高教版中等职业学校数学第一册 数列 教案 磐石市职业教育中心 任志强15 即 n a 2 1 1 1 nss ns nn 如果数列 an 前 n 项和 那么这个数列是等差数列bnansn 2 这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法 已知前 n 项和 可求出通项 n s 用这种数列的来确定的方法对于任何数列都是可行的 而且还要注意不一定满足由 n s n a 1 a 求出的通项表达式 所以最后要验证首项是否满足已求出的 1nnn ssa 1 a n a 课堂练习课堂练习 课本 p294 b 组练习 课时小结课时小结 与与之间的关系之间的关系 即 n s n a n a 2 1 1 1 nss ns nn 课后作业课后作业 1 一个等差数列前 4 项的和是 24 前 5 项的和与前 2 项的和的差是 27 求这个等差数列 的通项公式 2 一个等差数列的前 10 项和为 100 前 100 项和为 10 求它的前 110 项和 王新敞 3 已知 求及 1 1 a nn ans 2 1 n n a n s 4 已知一个等差数列前 10 项的和是 310 前 20 项的和是 1220 由这些条件能确定这 n a 个等差数列的前 n 项和的公式吗 5 已知数列的前 n 项为 求这个数列的通项公式 这个数列是等差数列 n a 2 1 2 n snn 吗 如果是 它的首项与公差分别是什么 板书设计板书设计 教学后记教学后记 高教版中等职业学校数学第一册 数列 教案 磐石市职业教育中心 任志强16 6 46 4 等差数列的应用等差数列的应用 教学目标教学目标 知识与技能 知识与技能 初步体会等差数列的知识在解决实际问题应用 过程与方法 过程与方法 感受建立数学模型的过程和方法 体会等差数列在现实生活中的重要性 情感态度与价值观 情感态度与价值观 通过有关内容在实际生活中的应用 使学生感受数学源于生活 又服 务于生活的实用性 引导学生要善于观察生活 从生活中发现问题 并用数学解决问题 教学重点 教学重点 运用等差数列数学模型解决一些实际问题 教学难点 教学难点 将实际问题转变为数学模型 课型 课型 新授课 教学过程教学过程 课题导入课题导入 一个音乐厅里共有 30 排座位 第一排有 28 个座位 从第二排起 每一排都比前一排多 2 个座位 你能算出这个音乐厅里一共有多少个座位吗 分析见教材 讲授新课讲授新课 范例讲解 例例 1 1 1 1 如图 一个堆放铅笔的 v 型架的最下面一层放一支铅笔 往上每 一层都比它下面一层多放一支 最上面一层放 120 支 这个 v 形架上 共放着多少支铅笔 解 根据题意 v 形架上共放着 120 层铅笔 且自下而上各层的铅笔 成等差数列 记为 其中 根据等差数列前 n n a120 1 1201 aa 项和的公式 得 7260 2 1201 120 120 s 答 v 形架上共放着 7260 支铅笔 王新敞 例例 2 2某租车公司提供的汽车每天租金为 300 元 行驶每千米的附加费 0 8 元 某天老张向 公司租了一辆车 行驶了 200km 试问老张应付给租车公司多少钱 解 略 例例 3 3 2000 年 11 月 14 日教育部下发了 关于在中小学实施 校校通 工程的统治 某市 据此提出了实施 校校通 工程的总目标 从 2001 年起用 10 年时间 在全市中小学建成 不同标准的校园网 据测算 2001 年该市用于 校校通 工程的经费为 500 万元 为了保证 工程的顺利实施 计划每年投入的资金都比上一年增加 50 万元 那么从 2001 年起的未来 10 年内 该市在 校校通 工程中的总投入是多少 先阅读题目 引导学生提取有用的信息 构件等差数列模型 写这个等差数列的首项和公差 并根据首项和公差选择前 n 项和公式进行求解 高教版中等职业学校数学第一册 数列 教案 磐石市职业教育中心 任志强17 解 根据题意 从 2001 2010 年 该市每年投入 校校通 工程的经费都比上一年增加 50 万元 所以 可以建立一个等差数列 表示从 2001 年起各年投入的资金 其中 n a d 50 1 500a 那么 到 2010 年 n 10 投入的资金总额为 万元 1010 1 10 500507250 2 n s 答 从 2001 2010 年 该市在 校校通 工程中的总投入是 7250 万元 课堂练习课堂练习 课本 p297a b 组练习 课时小结课时小结 等差数列在解决问题 需要我们认真分析问题 把实际问题构建成数学模型去解决 这一点是非常重要的 课后作业课后作业 1 某市出租车的计价标准为 1 2 元 km 起步价为 10 元 即最初的 4km 不含 4 千米 计 费 10 元 如果某人乘坐该市的出租车去往 14km 处的目的地 且一路畅通 等候时间为 0 需要支付多少车费 2 梯子最高一级宽 33cm 最低一级宽为 110cm 中间还有 10 级 各级的宽度成等差数列 计算中间各级的宽度 王新敞 3 一个物体做自由落体运动 第 1 秒下落 4 9m 以后的每 1 秒多下落 9 8m 求 第 10 秒下落多少米 10 秒内下落多少米 板书设计板书设计 授后记授后记 高教版中等职业学校数学第一册 数列 教案 磐石市职业教育中心 任志强18 6 56 5 等比数列及其等比数列及其通项公式 一 通项公式 一 教学目标教学目标 知识与技能 知识与技能 掌握等比数列的定义 理解等比数列的通项公式及推导 过程与方法 过程与方法 通过实例 理解等比数列的概念 探索并掌握等比数列的通项公式 性质 能在具体的问题情境中 发现数列的等比关系 提高数学建模能力 情感态度与价值观 情感态度与价值观 充分感受数列是反映现实生活的模型 体会数学是来源于现实生活 并应用于现实生活的 数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的 提高学习的兴趣 教学重点教学重点 等比数列的定义及通项公式 教学难点教学难点 灵活应用定义式及通项公式解决相关问题 课型 课型 新授课 教学过程教学过程 课题导入课题导入 创设情境创设情境 在塞尔平斯基地毯的构造过程中 小正方块的总数 组成的数列为 8 82 83 84 你能看出这个数列各项之间有什么关系吗 某城市 2000 年末有人口 100 万 如果这个城市今后 10 年内人口的自然增长率保持在 1 2 你能写出该城市 2000 年末至 2010 年末每年人口总数组成的数列吗 这个数列各项之 间有什么关系吗 请同学们仔细观察一下 看看以上 两个数列有什么共同特征 共同特点 从第二项起 第一项与前一项的比都等于同一个常数 讲授新课讲授新课 1 1 1 1 等比数列 等比数列 如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 那 么这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 公比通常用字母q表示 q 0 即 q q 0 1 n n a a 1 从第二项起 与 前一项 之比为常数 q 成等比数列 q q 0 n a n n a a 1 nn 2 隐含 任一项00 qan且 0 是数列 成等比数列的必要非充分条件 n a n a 高教版中等职业学校数学第一册 数列 教案 磐石市职业教育中心 任志强19 3 q 1 时 an 为常数 2 2 2 2 等比数列的通项公式等比数列的通项公式 0 1 1 1 qaqaa n n 由等比数列的定义 有 q a a 1 2 q a a 2 3 q a a n n 1 把上述 n 1 个等式的两边分别相乘 得 1 12 3 1 2 n n n q a a a a a a 整理 得 1 1 n n q a a 由此得出 1 1 n n qaa 这就是等比数列的通项公式 王新敞 范例讲解范例讲解 例例 1 1 求等比数列的通项公式以及第 7 项 第 10 项 8 1 4 1 2 1 1 解略 例例 2 2 在在等比数列 中 5 q 2 试问 第几项是 48 n a 1 a 解略 例例 3 3 一个等比数列的第 4 项与第 7 项分别是 求这个等比数列的通项公式以及 243 2 9 2 第 5 项 解略 课堂练习课堂练习 高教版中等职业学校数学第一册 数列 教案 磐石市职业教育中心 任志强20 课本 p301a 组练习练习 1 2 3 4 5 课时小结课时小结 本节学习内容 等比数列的概念和等比数列的通项公式 课后作业课后作业 1 求下面等比数列的第 4 项与第 5 项 1 5 15 45 2 1 2 2 4 4 8 3 8 3 2 1 3 2 2 一个等比数列的第 9 项是 公比是 求它的第 1 项 答案 2916 9 4 3 1 1 a 3 一个等比数列的第 2 项是 10 第3 项是 20 求它的第 1 项与第 4 项 答案 5 1 a q a2 q 40 4 a 3 a 板书设计板书设计 教学后记教学后记 高教版中等职业学校数学第一册 数列 教案 磐石市职业教育中心 任志强21 6 5 等比数列及其等比数列及其通项公式 二 通项公式 二 教学目标教学目标 知识与技能 知识与技能 灵活应用等比数列的定义及通项公式 深刻理解等比中项概念 熟悉等比数 列的有关性质 过程与方法 过程与方法 通过自主探究 合作交流获得对等比数列的性质的认识 情感态度与价值观 情感态度与价值观 充分感受数列是反映现实生活的模型 体会数学是来源于现实生活 并应用于现实生活的 数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的 提高学习的兴趣 教学重点教学重点 等比中项的理解与应用 教学难点教学难点 灵活应用等比数列通项公式 等比中项解决一些相关问题 课型 课型 新授课 教学过程教学过程 课题导入课题导入 首先回忆一下上一节课所学主要内容 1 1 1 1 等比数列 等比数列 如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 那么这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 公比通常用字母q表示 q 0 即 q q 0 1 n n a a 2 2 2 2 等比数列的通项公式等比数列的通项公式 0 1 1 1 qaqaa n n 3 3 3 3 成等比数列 q q 0 n a n n a a 1 nn 4 4 既是等差又是等比数列的数列 既是等差又是等比数列的数列 非零常数列 讲授新课讲授新课 1 1 1 1 等比中项 等比中项 如 果 在a与b中 间 插 入 一 个 数g 使a g b成 等 比 数 列 则 abgabg g b a g 2 反之 若g ab 则 即a g b成等比数列 2 g b a g a g b成等比数列g ab a b 0 2 如果在两个数 与之间插入一个数 g 使 a g b 成等比数列 则 g 称为与abab 高教版中等职业学校数学第一册 数列 教案 磐石市职业教育中心 任志强22 的等比中项 等比中项 当 a 与 b 都是正实数时 它们的等比中项 g 等于这两个正实数的几何平均数或者几何 平均数的相反数 如果三个数成等比数列 通常设等比中项为 a 公差为 q 从而这三个数分别为 aq q a a 范例讲解范例讲解 例例 4 4 4 4 求 4 与 7 的等比中项 解略 例例 5 5 5 5 已知三个数成等比数列 它们的和为 14 积为 216 求这三个数 解略 例例 6 6 6 6 a c 三数 a 1 c成等差数列 成等比数列 求 22 1 ca 22 ca ca 解 a 1 c 成等差数列 a c 2 又 a 1 c 成等比数列 ac 1 有 ac 1 或 ac 1 2222 当 ac 1 时 由 a c 2 得 a 1 c 1 与 a c矛盾 ac 1 62 222 accaca 3 1 22 ca ca 课堂练习课堂练习 课本 p301a 组练习 6 b 组练习 课时小结课时小结本节课学习了以下内容 若 a g b 成等比数列 则叫做与的等经中项 gabg 2 ab 课后作业课后作业 1 在等比数列 已知 求 n a5 1 a100 109 aa 18 a 王新敞 2 在等比数列中 求该数列前七项之积 n b3 4 b 王新敞 3 在等比数列中 求 n a2 2 a54 5 a 8 a 4 求 a a b 与 b a b 的等比中项 422422 王新敞 板书设计板书设计 教学后记教学后记 高教版中等职业学校数学第一册 数列 教案 磐石市职业教育中心 任志强23 6 66 6等比数列的前等比数列的前 n n 项和 一 项和 一 教学目标教学目标 知识与技能 知识与技能 掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路 会用等比数列的前 n 项和公 式解决有关等比数列的一些简单问题 过程与方法 过程与方法 经历等比数列前 n 项和的推导与灵活应用 总结数列的求和方法 并能在具 体的问题情境中发现等比关系建立数学模型 解决求和问题 情感态度与价值观 情感态度与价值观 在应用数列知识解决问题的过程中 要勇于探索 积极进取 激发学 习数学的热情和刻苦求是的精神 教学重点教学重点 等比数列的前 n 项和公式推导 教学难点教学难点 灵活应用公式解决有关问题 课型 课型 新授课 教学过程教学过程 课题导入课题导入 创设情境创设情境 提出问题提出问题 在塞尔平斯基地毯的构造过程中 前十个阶段的各种大 小正方块的总数 有多少呢 你能用简便方法计算出来吗 即 8888888888 1098765432 设 1 1098765432 10 8888888888 s 2 111098765432 10 88888888888 s 2 1 得 888 11 1010 ss 由此得出 7 188 10 s 讲授新课讲授新课 利用上述方法我们可以求出等比数列的前利用上述方法我们可以求出等比数列的前 n n 项和公式 项和公式 1 等比数列的前等比数列的前 n n 项和公式 项和公式 当时 或 1 q q qa s n n 1 1 1 q qaa s n n 1 1 高教版中等职业学校数学第一册 数列 教案 磐石市职业教育中心 任志强24 当 q 1 时 1 nasn 当已知 q n 时用公式 当已知 q 时 用公式 1 a 1 a n a 公式的推导方法一 公式的推导方法一 一般地 设等比数列它的前 n 项和是 n aaaa 321 n s n aaaa 321 得 n qsqaqaqaqa n 321 nnnn qaaaaaqs 132 n n qaasq 11 1 当时 或 1 q q qa s n n 1 1 1 q qaa s n n 1 1 当 q 1 时 1 nasn 公式的推导方法 公式的推导方法 n s n aaaa 321 13211 n aaaaqa 11 n qsa 1nn asqa 结论同上 qaasq nn 1 1 例题讲解例题讲解 例例 1 1 求等比数列的前 10 项的和 8 1 4 1 2 1 1 解略 例例 2 2已知一个等比数列的前 4 项的和是 公比是 求它的首项 3 20 3 1 解略 例例 3 3 3 3 设数列 的通项公式是求这个数列的前 n 项的和 n a 1 2nna n n 解略 课堂练习课堂练习 高教版中等职业学校数学第一册 数列 教案 磐石市职业教育中心 任志强25 课本 p305 的 a 组练习 b 组 1 2 课时小结课时小结 等比数列求和公式 当 q 1 时 1 nasn 当时 或1 q q qaa s n n 1 1 q qa s n n 1 1 1 课后作业课后作业 1 求 1 2 4 8 262 263的值 2 求等比数列 的前 8 项和 8 1 4 1 2 1 3 求等比数列 1 2 4 从第 5 项到第 10 项的和 板书设计板书设计 教学后记教学后记 高教版中等职业学校数学第一册 数列 教案 磐石市职业教育中心 任志强26 6 66 6等比数列的前等比数列的前 n n 项和 二 项和 二 教学目标教学目标 知识与技能 知识与技能 会用等比数列的通项公式和前 n 项和公式解决有关等比数列的qnaas nn 1 中知道三个数求另外两个数的一些简单问题 提高分析 解决问题能力 过程与方法 过程与方法 通过公式的灵活运用 进一步渗透方程的思想 等价转化的思想 情感态度与价值观 情感态度与价值观 对学生进行思维的严谨性的训练 培养他们实事求是的科学态度 教学重点教学重点 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式 教学难点教学难点 灵活使用公式解决问题 课型 新授课 教学过程教学过程 课题导入课题导入 首先回忆一下前一节课所学主要内容 等比数列的前等比数列的前 n n n n 项和公式 项和公式 当时 或 1 q q qa s n n 1 1 1 q qaa s n n 1 1 当 q 1 时 1 nasn 当已知 q n 时用公式 当已知 q 时 用公式 1 a 1 a n a 讲授新课讲授新课 例例 1 1 一个等比数列的前 3 项和为 1 前 6 项和为 8 求它的前 8 项的和 解 略 例例 2 2 2 2 设数列为求此数列前项的和 n a 132 4 3 2 1 n nxxxx 0 xn 解 132 4321 n n nxxxxs nn n nxxnxxxxs 132 132 nn n nxxxxsx 12 11 当时 1 x 高教版中等职业学校数学第一册 数列 教案 磐石市职业教育中心 任志强27 n n n nx x x sx 1 1 1 x nxnxx nnn 1 1 1 x nxxn nn 1 11 1 2 1 1 11 x nxxn s nn n 当时 1 x 2 1 4321 nn nsn 例例 3 3 3 3 求和 x 其中x 0 x 1 y 1 1 1 1 2 2 n n y x y x y 解 当x 0 x 1 y 1 时 x 1 1 1 2 2 n n y x y x y 111 2 2 n n yyy xxx y yy x xx nn 1 1 1 1 1 1 1 nn nn yy y x xx 1 1 1 1 课堂练习课堂练习 1 等比数列 2 1 的前 n 项和为 2 1 a 4 b 1 c 2 d 4 2 2 1 n n2 1 1 2 1 n1 2 1 n 2 已知等比数列 an 中 前 10 项和为 10 前 20 项和为 40 求前 30 项和 3 求数列 1 3 32 3n 的各项的和 1 3 1 3 2 1 3 n 课时小结 1 等比数列前 n 项和公式推导中蕴含的思想方法以及公式的应用 2 用错位相减法求一些数列的前 n 项和 课后作业课后作业 高教版中等职业学校数学第一册 数列 教案 磐石市职业教育中心 任志强28 1 等比数列 a 中 a a 16 a a 128 s 126 求 n q n 1 n 21 n n 2 三数成等比数列 若将第三数减去 32 则成等差数列 若将该等差数列中项减去 4 以成等比数列 求原三数 2 10 50 或 王新敞 9 38 9 26 9 2 3 在等比数列中 已知 求36 4 63 sa n a 王新敞 1 2 7 1 n 板书设计板书设计 教学后记教学后记 高教版中等职业学校数学第一册 数列 教案 磐石市职业教育中心 任志强29 6 76 76 7 6 7 等比数列的应用等比数列的应用 教学目标教学目标 知识与技能 知识与技能 初步体会等比数列的知识解决实际问题的应用 过程与方法 过程与方法 感受建立数学模型的过程和方法 体会等比数列在现实生活中的重要性 情感态度与价值观 情感态度与价值观 通过有关内容在实际生活中的应用 使学生感受数学源于生活 又服 务于生活的实用性 引导学生要善于观察生活 从生活中发现问题 并用数学解决问题 教学重点 教学重点 运用等比数列数学模型解决一些实际问题 教学难点 教学难点 将实际问题转变为数学模型 课型 课型 新授课 教学过程教学过程 课题导入课题导入 某企业 2000 年生产利润为 5 万元 计划采用一项新技术 可望在今后五年内使生产利 润比上一年增加 20 如果这一计划得以实现 那么该企业从 2000 年至 2005 年的总利润 是多少万元 结果保留到小数点后面两位 分析见教材 讲授新课讲授新课 范例讲解范例讲解 例例 1 1 音调的高低是由产生音调的振动频率决定的 例如钢琴的中音 c 其振动频率为 263hz 即 每秒振动 263 次 一个音调比上一个音调高 8 度 相应的振动频率是原来的二倍 1 写出中音 c 以及比中音 c 高第 1 个 8 度 第 2 个 8 度 第 3 个 8 度 时相应的振 动频率组成的数列 这是不是等比数列 如果是 它的公比是多少 2 写出中音 c 以及比中音 c 低第 1 个 8 度 第 2 个 8 度 第 3 个 8 度 时相应的振 动频率组成的数列 这是不是等比数列 如果是 它的公比是多少 3 如果一个调比中音 c 以及比中音 c 低 3 个 8 度 那么产生这个音调的振动频率是多 少 解 略 例例 2 2建设银行受托办理某单位职工集资建房购房贷款 贷款期限 10年 年利率为 5 22 月利率为 0 435 贷款的尝还采用等额均还方式 即 从贷款的第一个月起 每个 月都归还银行同样数目的钱 10 年还清贷款的本金与利息 如果借款 p 万元 那么每个月 应尝还多少钱 解 略 100435 1 00435 1 00435 0 120 120 px 例例 3 3在 例 2 中 如 果 向 银 行 借 款 10 万 元 贷 款 期 限 10 年 用 公 式 计算每个月应尝还多少钱 100435 1 00435 1 00435 0 120 120 px 高教版中等职业学校数学第一册 数列 教案 磐石市职业教育中心 任志强30 解 略 课堂练习课堂练习 课本 p308 a 组练习 课时小结课时小结 等比数列在解决问题需要我们认真分析问题 把实际问题构建成数学模型去解决 这 一点是非常重要的 课后作业课后作业 课本 p308 b 组练习 3 一条信息 若一人得知后用一小时将信息传给两个人 这两个人又用一小时各传给未知 此信息的另外两人 如此继续下去 一天时间可传遍多少人 4 某城市 1996 年底人口为 20 万 大约住房面积为 8 计划到 2000 年底人均住房面积 2 达到 10 如果该市人口平均增长率控制在 1 那么要实现上述计划 每年该市要平均 2 新建住房面积多少万平方米 结果以万平方米为单位 保留两位小数 板书设计板书设计 教学后记教学后记 高教版中等职业学校数学第一册 数列 教案 磐石市职业教育中心 任志强31 复习和小结 一 复习和小结 一 教学目的 教学目的 1 系统掌握数列的有关概念和公式 2 了解数列的通项公式与前 n 项和公式的关系 n a n s 3 能通过前 n 项和公式求出数列的通项公式 n s n a 授课类型 授课类型 复习课 教学过程教学过程 一 本章知识结构一 本章知识结构 二 二 知识纲要知识纲要 1 数列的