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2 2直接证明与间接证明 07 1 10 zxxk 从已知条件出发 以已知定义 公理 定理等为依据 逐步下推 直到推出要证明的结论为止 这种证明方法叫做综合法 顺推证法 用p表示已知条件 已有的定义 公理 定理等 q表示所要证明的结论 则综合法用框图表示为 特点 由因导果 复习 回顾基本不等式 a 0 b 0 的证明 一般地 从要证明的结论出发 追溯导致结论成立的条件 逐步上溯 直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止 这种证明的方法叫做分析法 逆推证法 特点 执果索因 用框图表示分析法的思考过程 特点 设a b是两个正实数 且a b 求证 a3 b3 a2b ab2 证明 用分析法思路书写 要证a3 b3 a2b ab2成立 只需证 a b a2 ab b2 ab a b 成立 即证a2 ab b2 ab成立 a b 0 只需证a2 2ab b2 0成立 也就是要证 a b 2 0成立 而由已知条件可知 a b 有a b 0 所以 a b 2 0显然成立 由此命题得证 以下用综合法思路书写 a b a b 0 a b 2 0 即a2 2ab b2 0亦即a2 ab b2 ab由题设条件知 a b 0 a b a2 ab b2 a b ab即a3 b3 a2b ab2 由此命题得证 例3 如图 sa 平面abc ab bc 过a作sb的垂线 垂足为e 过e作sc的垂线 垂足为f 求证 af sc 证明 要证af sc 只需证 sc 平面aef 也就是要证 ae sc 即证 ae 平面sbc 只需证 ae bc 只需证 bc 平面sab 也就是要证 bc sa 即证 sa 平面abc 因为 sa 平面abc成立 所以 af sc成立 也可以是经过证明的结论 例4 已知数列 an 的通项an 0 n n 它的前n项的和记为sn 数列 s2n 是首项为3 公差为1的等差数列 1 求an与sn的解析式 2 试比较sn与3nan n n 的大小 分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法 在数学解题中 分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发 一步一步地探索下去 最后达到题设的已知条件 综合法则是从数学题的已知条件出发 经过逐步的逻辑推理 最后达到待证结论或需求问题 对于解答证明来说 分析法表现为执果索因 综合法表现为由果导因 它们是寻求解题思路的两种基本思考方法 应用十分广泛 小结 思考题 甲 乙 丙三箱共有小球384个 先由甲箱取出若干放进乙 丙两箱内 所放个数分别为乙 丙箱内原有个数 继而由乙箱取出若干个球放进甲 丙两箱内 最后由丙箱取出若干个球放进甲
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