高中数学 3.3.1二倍角的三角函数课件 北师大版必修4 .ppt

利用公式化简求值二倍角公式在化简求值中的应用注释 1 明确式子结构 观察角与角之间的关系当单角是非特殊角 而其倍角是特殊角时 常利用倍角公式及其变形公式化为特殊角求值 当式子中涉及到的角较多 要先变角 化异角为同角 对根式形式的化简 以去根号为目的 化简时注意角的范围 2 灵活选取公式形式二倍角公式是三角恒等变换中公式变形形式最多 灵活应用程度最高的一类 因此要在熟悉公式间密切联系的基础上 融会贯通有目的地活用公式 公式的主要变形形式有以下几种 特别是1 cos2 2cos2 1 cos2 2sin2 从左边到右边角缩小了 但三角函数 的幂次却升高了 因此这种变形起到了 升幂缩角 的作用 在二倍角公式中又称为 升幂公式 而这种形式与前面的形式所起作用恰好相反 它的作用是 降幂扩角 因此又把这种形式称为是 降幂公式 例1 1 化简 cos20 cos40 cos80 2 若180 270 试化简 审题指导 1 式子中的角具有 二倍 的关系 并且是连乘积的形式 可以创造条件利用二倍角的正弦公式化简求值 2 该式化简的目的就是要去掉根号 利用二倍角的余弦公式的变形形式可去根号 但要注意角的范围对三角函数值符号的影响 规范解答 1 方法一 原式方法二 原式 2 原式因为180 270 所以cos 0 所以上式 变式训练 1 化简 sin10 sin50 sin70 2 若270 360 试化简 解析 1 原式 cos20 cos40 cos80 2 原式因为270 360 所以cos 0 所以上式 误区警示 化简过程中遇到去根号时要根据角的范围确定三角函数值的符号 由直接得到是错误的 条件求值1 解决条件求值要树立 目标意识 利用已知条件求值是三角恒等变换中最常见的题型 解决这类问题关键要有目标意识 始终围绕目标 即所求的式子 去分析题目中角的关系 函数名称的联系 解决这类问题主要从以下两个方面去考虑 一是对题设条件变形 将题设条件中的角 函数名称向结论中的角 函数名称靠拢 二是对结论变形 把结论中的角 函数名称向题设条件中的角 函数名称转化 以便将题设条件代入结论求值 2 注意和诱导公式 完全平方公式的联系当遇到这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式 将条件与结论沟通 类似这样的变换还有 等等 当遇到1 sin2 的形式时 要利用平方关系将其转化成完全平方式的形式 sin2 cos2 2sin cos sin cos 2 1 sin2 例2 已知且求的值 审题指导 题中角x的范围已知 可以确定角的范围 可求它的三角函数值 解题中主要是把角2x进行转化和切化弦 规范解答 由已知得 由 知原式 变式训练 已知求的值 解题提示 利用诱导公式将角2 和用已知条件中的角表示出来 解析 因为所以所以 证明恒等式证明三角条件恒等式的方法首先观察条件与结论的差异 从解决这一差异入手 确定从结论开始 通过变换 将已知表达式代入得出结论 或通过变换已知条件得出结论 如果这两种方法都证不出来 可采用分析法 如果已知条件含参数 可采用消去参数法 如果已知条件是连比的式子 可采用换元法等 例3 已知2sin sin cos sin2 2sin cos 求证 2cos2 cos2 审题指导 所证结论中出现了cos2 根据二倍角公式和条件 需要对2sin sin cos 两边平方 然后化简证明 规范解答 由已知可得4sin2 1 2sin cos 1 sin2 1 sin2 2 4sin2 2 1 2sin2 由此得cos2 2cos2 故所证明等式成立 变式训练 求证 8cos4 cos4 4cos2 3 解题提示 从左到右 利用二倍角余弦的降幂公式不断地降幂扩角 与此相反从右到左 用升幂公式不断升幂缩角 证明 左边 2 4cos2 1 cos4 cos4 4cos2 3 右边 左边 右边 原式得证 例 已知 1 求tan2 的值 2 求的值 审题指导 1 可用折角求值 2 可先用二倍角公式统一角 转化为正切求值 规范解答 1 2 方法一 原式方法二 原式 变式备选 已知 1 求tanx的值 2 求的值 解析 1 由可得 2 原式 典例 12分 已知2 求y cos 6sin 的最小值与最大值 审题指导 根据条件 先用角 代换角 然后转化成角 的三角函数求最值 规范解答 由2 知 2 所以y cos 2 6sin cos2 6sin 2sin2 6sin 1 4分令t sin 则t 1 1 原题变为求y 2t2 6t 1在区间 1 1 上的最值 6分 函数y 2t2 6t 1的图象的对称轴为 1 1 y的最值在闭区间端点处取得 当t 1时 ymax 7 当t 1时 ymin 5 9分 当sin 1时 函数取得最大值7 当sin 1时 函数取得最小值 5 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 已知f x 2cos2x sin2x 4cosx 1 求的值 2 求f x 的最大值和最小值 解析 1 2 f x 2 2cos2x 1 1 cos2x 4cosx 3cos2x 4cosx 1因为cosx 1 1 所以当cosx 1时 f x 取最大值6 当时 f x 取最小值 1 sin75 cos75 的值等于 解析 选a 原式 2 若 abc的内角a满足则sina cosa等于 解析 选a 由sin2a 2si