高中数学 （主干知识+典例精析）4.4平面向量的应用课件 理 新人教B版.ppt

第四节平面向量的应用 三年12考高考指数 1 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 2 会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题 1 以向量为载体考查三角函数 解析几何等问题是考查重点 也是热点 2 三大题型均可能出现 客观题主要考查向量的基础知识 与三角函数 解析几何综合的题目主要以解答题出现 难度中档偏上 1 向量在平面几何中的应用 1 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行 垂直 长度 夹角等问题 2 用向量解决常见平面几何问题的技巧 线平行 点共线 相似问题利用平行向量基本定理 垂直问题利用数量积的运算性质 夹角问题利用夹角公式 cos 3 用向量方法解决平面几何问题的 三步曲 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题 即时应用 判断下列命题是否正确 请在括号中填写 或 若 则a b c三点共线 在 abc中 若 0 则 abc为钝角三角形 在四边形abcd中 边ab与cd为对边 若则此四边形为平行四边形 解析 因为共始点a 且 故 正确 0 0 b为锐角 不能判断 abc的形状 故 不正确 abdc 故 正确 答案 2 平面向量在物理中的应用 1 由于物理学中的力 速度 位移都是矢量 它们的分解与合成和向量的加法和减法相似 可以用向量的知识来解决 2 物理学中的功是一个标量 是力f与位移的数量积 即w f f cos f 即时应用 1 已知两个力f1 f2的夹角为90 它们的合力f的大小为10n 合力与f1的夹角为60 那么f1的大小为 2 已知 cosx sinx cosx sinx 则函数y 的最小正周期为 3 如图 已知两个力的大小和方向 则合力的大小为n 若在图示坐标系中 用坐标表示合力 则合力的坐标为 解析 1 如图所示 f1 f cos60 10 5 n 2 y cos2x sin2x cos2x t 3 由题意知 f1 2 3 f2 3 1 合力f f1 f2 2 3 3 1 5 4 合力的大小为 n 答案 1 5n 2 3 5 4 方法点睛 向量方法解决几何问题的步骤 1 建立几何与向量的联系 用向量表示问题中涉及的几何元素 将几何问题转化为向量问题 2 通过向量的运算 研究几何元素之间的关系 如夹角 距离 垂直 平行等问题 3 把运算结果 翻译 成几何关系 向量在平面几何中的应用 提醒 向量关系与几何关系并不完全相同 要注意区别 例如 向量 并不能说明直线ab cd 例1 2011 天津高考 已知直角梯形abcd中 ad bc adc 90 ad 2 bc 1 p是腰dc上的动点 则 的最小值为 解题指南 以直角顶点为原点建立平面直角坐标系 用参数表示出点p c b a的坐标 进而表示出 然后转化为函数问题求解 规范解答 建立平面直角坐标系如图所示 设p 0 y c 0 b 则b 1 b a 2 0 则 2 y 3 1 b y 5 3b 4y 2 25 3b 4y 2 0 y b 当y b时 最小 min 5 答案 5 反思 感悟 平面几何问题的向量解法 1 坐标法把几何图形放在适当的坐标系中 就赋予了有关点与向量具体的坐标 这样就能进行相应的代数运算和向量运算 从而使问题得到解决 2 基向量法适当选取一组基底 沟通向量之间的联系 利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解 变式训练 2012 潍坊模拟 在 abc中 m是bc的中点 am 1 点p在am上且满足 2 则等于 a b c d 解析 选d 由 2 am 1 可知pa 依题设 可画出图形 如图 2 向量在三角函数中的应用 方法点睛 平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路 1 以向量为载体的三角函数问题的命题形式和解题思路是 一般题目条件给出向量 其中的坐标中含有三角函数的形式 然后给出向量的运算规则 按照规则得到三角函数的关系式 然后考查利用三角恒等变换研究三角函数的图象与性质 2 平面向量借助三角函数考查的命题形式和解题思路是 一般给出用三角函数表示的向量坐标 要求的是向量的模或者其他向量的表达形式 解题思路是经过向量的运算 利用三角函数在定义域内的有界性 求得值域等 例2 1 已知向量 cos sin cossin x 0 则函数g x 的值域为 2 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 向量 1 sina cos2a 2sina 且 求sina的值 若b 2 abc的面积为3 求a 解题指南 1 利用向量的基本运算写出关于x的函数 然后求出值域 2 利用 列出关于sina的方程求解 由sina b及s abc bcsina可求出c 再由余弦定理求a 规范解答 1 1 1 x 0 coscos sinsin cos2x g x 2sinx x 0 g x 0 2 答案 0 2 2 cos2a 1 sina 2sina 6 1 2sin2a 7sina 1 sina 即5sin2a 7sina 6 0 sina sina 2舍去 由s abc bcsina 3 b 2 得c 5 又cosa a2 b2 c2 2bccosa 4 25 2 2 5cosa 29 20cosa 当cosa 时 a2 13 a 当cosa 时 a2 45 a 3 互动探究 本例 2 中若 1 sina cosa sin2a 2sina 且 其他条件不变 又如何求sina 解析 1 sina sin2a cosa 2sina sin2a 2 sina 0 sina 0 1 2 sina 0 sin2a 0 又a 0 2a 0 2 2a a sina 1 反思 感悟 1 该类题的解题关键把向量关系转化为向量的运算 再进一步转化为纯三角函数的运算 即该类题的解题关键是 转化思想方法的应用 2 向量在该类题中的作用向量作为载体 通过向量间的平行 垂直关系转化为三角函数运算 变式备选 2011 济南模拟 设 abc三个角a b c的对边分别为a b c 向量 a 2b sina 1 且 1 求角b的大小 2 若 abc是锐角三角形 cosa cosb 1 sina cosatanb 求 的取值范围 解析 1 a 2b sina 1 且 a 2bsina 0 由正弦定理得sina 2sinbsina 0 0 a b c sinb 得b 或b 2 abc是锐角三角形 b cosa 1 sina cosa 于是m n cosa sina cosa cosa sina sin a 由a c b 及0 c 得a c 结合0 a a 得 a sin a 1 即 1 平面向量在解析几何中的应用 方法点睛 向量在解析几何中的作用 1 载体作用 向量在解析几何问题中出现 多用于 包装 利用向量的意义 运算脱去 向量外衣 导出曲线上点的坐标之间的关系 从而解决有关距离 斜率 夹角 轨迹 最值等问题 2 工具作用 利用 0 0 可解决垂直 平行问题 例3 已知两点m 1 0 n 1 0 且点p使成公差非负的等差数列 1 求点p的轨迹方程 2 若 为的夹角 求 的最大值及此时点p的坐标 解题指南 1 设p x y 直接求点p的轨迹方程 2 先求出cos 的范围 再求 的最大值 规范解答 1 设点p的坐标为 x y 则 1 x y 1 x y 2 0 2 1 x x2 y2 1 2 1 x 依题意得 点p的轨迹方程为x2 y2 3 x 0 2 1 x y 1 x y x2 y2 1 2 cos 0 x cos 1 0 的最大值为 此时x 0 点p的坐标为 0 反思 感悟 1 向量法解决平面解析几何问题的关键是把点的坐标转换成向量的坐标 然后进行向量的运算 2 相等向量 共线向量 垂直向量的坐标形式经常用到 必须熟练掌握 变式训练 已知点p 0 3 点a在x轴上 点q在y轴的正半轴上 点m满足当点a在x轴上移动时 求动点m的轨迹方程 解析 设m x y 为所求轨迹上任意一点 设a a 0 q 0 b b 0 则 a 3 x a y x b y 由 0 得a x a 3y 0 由得 x a y x b y x y b 把a 代入 得 x 3y 0 整理得y x2 x 0 易错误区 忽视对直角位置的讨论致误 典例 2012 烟台模拟 已知平面上三点a b c 2 k 3 2 4 1 若三点a b c不能构成三角形 求实数k应满足的条件 2 若 abc为直角三角形 求k的值 解题指南 1 三点a b c不能构成三角形 即a b c三点共线 2 对a b c谁为直角顶点进行分类讨论 规范解答 1 由三点a b c不能构成三角形 得a b c在同一直线上 即向量平行 4 2 k 2 3 0 解得k 2 2 k 3 k 2 3 k 1 abc为直角三角形 则当 bac是直角时 0 2k 4 0 解得k 2 当 abc是直角时 即 0 k2 2k 3 0 解得k 3或k 1 当 acb是直角时 即 0 16 2k 0 解得k 8 综上得k 2 1 3 8 阅卷人点拨 通过阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2012 盘锦模拟 已知 abc的三个内角a b c 向量 sina sinb cosb cosa 若 1 cos a b 则c a b c d 解析 选c sinacosb cosasinb sin a b sinc