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3 3 2两点间的距离 学习目标 1 掌握在平面直角坐标系下两点间的距离公式 2 初步学会用坐标法证明简单的平面几何问题 两点间的距离公式 d a 0c 3 b 6d 0或6 问题探究 1 若两点a x1 y1 b x2 y2 都在x轴或都在y轴上 则两 点间的距离公式是怎样的 答案 若两点都在x轴上 则 ab x1 x2 若两点都在y 轴上 则 ab y1 y2 2 若两点a x1 y1 b x2 y2 横坐标相同或纵坐标相同 则两点间的距离公式是怎样的 答案 若两点的横坐标相同 则 ab y1 y2 若两点的纵 坐标相同 则 ab x1 x2 题型1两点间距离公式的正用 例1 已知 abc三个顶点的坐标分别是a 1 1 b 1 3 c 3 0 求证 abc是直角三角形 变式与拓展 1 已知a 1 t 1 b 2 t t r 则a b两点间距离的最 小值是 a 题型2两点间距离公式的逆用 例2 已知点a 4 12 在x轴上的点p与点a的距离 等于13 求点p的坐标 x 4 2 144 169 所以 x 4 2 25 解得x 9或x 1 所以点p的坐标为 9 0 或 1 0 变式与拓展 得x2 4x 45 0 解得x1 9或x2 5 故所求x的值为9或 5 题型3解析法的应用 例3 已知ao是 abc中bc边的中线 证明 ab 2 ac 2 2 ao 2 oc 2 图3 3 1 证明 如图3 3 1 以o为坐标原点 bc所在直线为x轴 bc的垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系xoy 设点a a b b c 0 c c 0 由两点间距离公式 得 ab 2 ac 2 2 a2 b2 c2 ao 2 oc 2 a2 b2 c2 ab 2 ac 2 2 ao 2 oc 2 变式与拓展 解 如图d38 过点a作ao bc 垂足为o 以o为坐标原点 bc所在直线为x轴 以oa所在直线为y轴 建立平面直角坐标系 图d38 3 在 abc中 点d是bc边上任意一点 d与b c不重合 且 ab 2 ad 2 bd dc 用解析法证明 abc为等腰三角形 设a 0 a b b 0 c c 0 d d 0 因为 ab 2 ad 2 bd dc 所以b2 a2 d2 a2 d b c d 所以 d b b d d b c d 又d b 0 故 b d c d 所以 b c 即 ob oc 所以 abc为等腰三角形 例4 线段ab x轴 且 ab 5 若点a的坐标为 2 1 求点b的坐标 易错分析 忽视了距离是绝对值导致漏解 解 线段ab x轴 点a的坐标为 2 1 设点b的坐标为 x 1 ab 5 x 2 5 解得x 7或x 3 故b 7 1 或b 3 1 为所求 方法 规律 小结 1 两点间的距离公式 注意 1 此公式与两点的先后顺序无关 也就是说公式也 2 利用此公式可以将有关的几何问题转化为代数问题进 行研究 2 用坐标法解决平面
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