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2 3空间直角坐标系2 3 2空间两点间的距离 平面解析几何初步 如下图所示 一只小蚂蚁站在水泥构件o点处 在a b c d e处放有食物 建立适当的空间直角坐标系 可以告诉小蚂蚁食物的准确位置 你能告诉它怎样才能在最短的时间内取到食物吗 1 若在空间直角坐标系o xyz中点p的坐标是 x y z 则p到坐标原点o的距离op 2 在空间直角坐标系o xyz中 设点p1 x1 y1 z1 p2 x2 y2 z2 是空间中任意两点 则p1与p2之间的距离p1p2 3 在空间直角坐标系o xyz中 点p xo y0 z0 到平面xoy的距离为 到x轴的距离为 空间两点间的距离公式 空间两点间的距离公式的推导思路 思路一 当两点连线与坐标平面不平行时 过两点分别作三个坐标平面的平行平面 转化为求长方体的对角线长 从而只要写出交于一个顶点的三条棱长即可 而棱长可在平面内用平面上两点间的距离公式求得 思路二 作线段在三个坐标平面上的正投影 把空间问题转化为平面问题加以解决 坐标法求解立体几何问题时的三个步骤 a 在立体几何图形中建立空间直角坐标系 b 依题意确定各相应点的坐标 c 通过坐标运算得到答案 求几何体中两点间的距离 已知 abc的三个顶点a 1 5 2 b 2 3 4 c 3 1 5 1 求 abc中最短边的边长 2 求ac边上中线的长度 分析 本题是考查空间两点间的距离公式的运用 直接运用公式计算即可 解析 1 由空间两点间距离公式得 规律总结 熟练运用距离公式求线段的长度 解决一些与长度有关的问题 变式训练 1 如下图所示 bc 4 原点o是bc的中点 点a的坐标 点d在平面yoz上 且 bdc 90 dcb 30 求ad的长度 解析 空间坐标系中距离公式的几何意义 试解释方程 x 12 2 y 3 2 z 5 2 36的几何意义 分析 分析方程的结构可知 这是空间两点 x y z 和 12 3 5 距离的平方等于36 解析 因为 x 12 2 y 3 2 z 5 2 36 所以 6 这表示动点 x y z 和 12 3 5 的距离等于6 因此方程表示空间到定点 12 3 5 的距离等于6的点的轨迹 即为球心是 12 3 5 半径为6的球面 规律总结 如何理解公式的内涵是学习公式时应值得关注的问题 应该说两点间距离公式提供了进行数形结合这种思维训练的平台 因此不仅要注意公式的外在表现形式 还要挖掘其内在的东西 当然本题中方程结构形式比较整齐 容易看出来 还应注意结构不整齐的情形 可尝试进行配方解决 变式训练 2 与a 1 2 3 b 0 0 5 两点距离相等的点p x y z 满足的条件为 表示 基础巩固 空间中两点间的距离公式 解析 由两点间距离
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