高考数学一轮复习 9.5 空间角（A、B）配套课件 理 人教版 .ppt

9 5空间角 a b 本节目录 教材回顾夯实双基 考点探究讲练互动 考向瞭望把脉高考 知能演练轻松闯关 基础梳理1 异面直线所成的角已知两条异面直线a b 经过空间任意一点o 作a a b b 我们把a 与b 所成的角叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 2 斜线和平面所成的角 1 斜线与斜线在平面的 所成的角叫斜线与平面所成的角 其范围为 0 90 射影 2 直线与平面所成的角可转化为直线与直线在平面内的射影所成的角 也可用公式cos cos 1 cos 2来计算或通过向量法求解 设平面 的法向量为n 直线a的方向向量为a 若直线与平面所成的角为 则sin cos n a 3 射影定理 从平面 外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中 射影相等的两条斜线段 射影较长的斜线段也较长 相等的斜线段的射影相等 较长的斜线段的射影也较长 垂线段比任何一条斜线段 4 最小角定理 斜线和平面所成的角 是这条斜线和平面内过斜足的直线所成的一切角中的最小的角 且cos 相等 都短 cos 1 cos 2 3 二面角 1 定义 从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 这两个半平面叫做二面角的面 2 二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为顶点 在两个面内分别作 的两条射线 这两条射线所成的角叫做 3 二面角的平面角的作法 定义法 三垂线定理法 作棱的垂面法 向量法 两个半平面 垂直于棱 二面角的平面角 思考探究1 异面直线a b的方向向量a b的夹角 a b 是异面直线所成的角吗 2 二面角的平面角的大小与在二面角的棱上选的点的位置有关吗 提示 如图 用两个垂直于棱的平面 1 2去截一个二面角 a 由等角定理知 所截得的两个角 1和 2相等 这说明二面角的平面角与二面角的棱上选的点的位置无关 3 用平面的法向量 如何求线面角 二面角的大小 课前热身1 教材改编 如图 ab与面 所成的角 abo 45 dc od d 且dc odc 45 则异面直线ab与dc所成的角为 a 60 b 45 c 30 d 90 答案 a 答案 a 3 下列说法正确的是 a 若直线l1 l2和平面 所成的角相等 则l1 l2b 若直线l1和l2平行 则l1 l2和平面 所成的角相等c 若直线l1和l2相交 则l1 l2和平面 所成的角必不相等d 若直线l1 l2和平面 所成的角不相等 则l1与l2也可平行答案 b 4 等腰直角 abc中 ab bc 1 m为ac中点 沿bm把它折成二面角 折后a与c的距离为1 则二面角c bm a的大小为 答案 90 答案 45 如图 已知正方体abcd a1b1c1d1中 e为ab的中点 求直线b1c与de所成角的余弦值 考点2求斜线与平面所成的角找斜线与平面所成的角 实质就是找斜线在平面内的射影 也就是找斜线上的点在平面上的射影 转化为解rt 或用向量 或者用公式cos cos 1 cos 2 四面体a bcs中 sb sa sc两两垂直 sba 45 sbc 60 m为ab的中点 求 1 bc与平面sab所成的角 2 sc与平面abc所成角的正弦值 思路分析 由sa sb sc两两垂直 寻找面面垂直及线面垂直 从而作出所求的角 解 1 sc sb sc sa sa sb s sc 平面sab 故sb是斜线bc在平面sab上的射影 sbc是直线bc与平面sab所成的角 大小为60 思维总结 此题采用了作角 求角的方法 转化到直角三角形求解还是比较方便的 也可以建立s xyz的坐标系求解 跟踪训练1 在本例中 cb与平面sac所成的角和ca与面scb所成的角相等吗 分别是多少 考点3求二面角求二面角的大小 一般先作出 或找出 其平面角 作平面角的方法常用定义法 三垂线法 作棱的垂面法 若不找平面角 可联想垂直于棱的异面直线所成的角或结合向量求解 如图 已知直二面角 pq a pq b c ca cb bap 45 直线ca和平面 所成的角为30 1 证明 bc pq 2 求二面角b ac p的余弦值 思路分析 利用面 面 在 内可作 的垂线 以此可作出其平面角 对于 b版 可利用建系法 思维总结 二面角是三种角中最复杂的一种 求解二面角的方法很多 其关键是求其平面角 用向量求该角时 要注意两个平面的法向量的方向 跟踪训练2 如果例3条件不变 求二面角c ab p的余弦值 考点4 无棱 的二面角的求法对于没有画出 棱 的二面角 求角时 应先画出其棱 再找出平面角进行转化 或者用平面的法向量 思路分析 对于面scd与面sba 无棱 应根据公理2过s点可作两平面的交线 思维总结 对于 无棱 的二面角 必须先找出棱才能找出平面角 否则就利用法向量所夹的角求二面角 省去作平面角的过程 或者利用射影面积计算 方法技巧1 线线角抓平移 线面角定射影 求直线和平面所成的角 关键是确定直线在平面内的射影 若不好确定斜线在平面内的射影 也可先找到斜线上的一点到平面的距离 然后利用这个距离与斜线段长之比求出线面角的正弦值 从而求出线面角 还可利用 斜线与平面所成角 与 斜线和平面的垂线所成角 互余 将线面角转化为线线角来求 2 确定二面角的平面角的常用方法 1 定义法 在棱上任取一点 过这点在两个半平面内分别引棱的垂线 这两条射线所成的角 就是二面角的平面角 失误防范 命题预测从近两年的高考试题来看 考查的内容主要有 1 两异面直线所成的角 2 直线和平面所成的角 3 二面角 空间角是立体几何中的一个重要概念 它是空间图形的一个突出的量化指标 是空间图形位置关系的具体体现 故它以高频率的姿态出现在历年高考试题中 有的在填空题或选择题中出现 更多的在解答题中出现 结合平行 垂直关系组成综合题 难度稍大 既可用普通法求解 也可用建系 用向量求解 2012年的高考中 对角的考查很普遍 大纲全国卷 四川卷等分别对空间线线角 线面角 面面角进行考查 预测2014年高考仍将以选择题 填空题和解答题的形式重点考查对几类角的求解 其中解答题仍会结合平行 垂直关系和求距离一起形成综合题 求角的过程中可能会用到余弦定理 故复习的过程中要加