高中数学 1.1相似三角形的判定及有关性质课件 理 新人教A版选修4.ppt

第一节相似三角形的判定及有关性质 三年7考高考指数 1 利用平行线分线段成比例定理及直角三角形的射影定理进行有关的证明和计算是高考重点 2 本部分以填空题形式考查 其中以相似三角形为背景的综合题是热点题型 同时相似三角形与圆 方程 三角 函数等知识的结合多以探索性 阅读性命题类型出现 1 平行线等分线段定理 1 定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 那么在其他直线上截得的线段也 2 推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 第三边 3 推论2经过梯形一腰的中点 且与底边平行的直线 另一腰 相等 平分 平分 即时应用 1 如图 abc中 d是ab的中点 de bc ac 6 则ae 2 如图 梯形abcd中 ef ad bc e是ab的中点 dc m 则fc 解析 1 d是ab的中点 de bc 点e是ac的中点 ae ac 6 3 2 ef ad bc e是ab的中点 df fc dc m 即fc m 答案 1 3 2 m 2 平行线分线段成比例定理 1 定理三条平行线截两条直线 所得的线段成比例 2 推论平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段 对应 成比例 即时应用 1 如图 ad be cf 且ab bc 2 3 则ef df 2 如图 在 abc中 de bc bd ad 则ae ac 解析 1 ad be cf ab bc 2 3 de ef ab bc 2 3 ef df 3 5 2 de bc 又 bd ad ab ad 答案 1 3 5 2 3 4 3 相似三角形的判定与性质 1 定义对应角 对应边的两个三角形叫做相似三角形 2 预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边 或两边的延长线 所构成的三角形与原三角形 3 判定定理1两角对应 两三角形相似 定理2两边对应且夹角 两三角形相似 定理3三边对应 两三角形相似 相等 成比例 相交 相似 相等 成比例 相等 成比例 4 直角三角形相似的判定 5 性质 相似三角形对应高的比 对应中线的比和对应角平分线的比都等于 相似三角形周长的比等于 相似三角形面积的比等于相似比的 相似三角形外接圆的直径比 周长比等于 外接圆的面积比等于相似比的 相似比 相似比 平方 相似比 平方 即时应用 1 已知 如图所示 在 abc中 d e分别在ac ab边上 要使 ade abc成立的条件可以是 只填写一个即可 2 如图所示 在 abc中 c 90 ac 3 d为bc上一点 过点d作de bc交ab于e 若ed 1 bd 2 则dc的长为 s bde s abc 解析 1 此题属开放题 答案不唯一 可根据判定定理的条件填写 如 ade b或 aed c或等 2 bde c 90 b b bde bca bc 6 dc 4 s bde s bca de2 ac2 1 9 答案 1 ade b 或 aed c或 答案不唯一 2 41 9 4 直角三角形的射影定理定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例 两直角边分别是它们在斜边上与的比例中项 中项 射影 斜边 即时应用 1 在rt abc中 acb 90 cd ab于d ac 3 bc 4 则ad 2 一直角三角形两条直角边之比是1 2 则它们在斜边上射影的比是 解析 1 先由勾股定理 得ab 5 再由射影定理 得ac2 ad ab ad 2 ac ab在斜边bc上的射影为dc db 由射影定理得 ac2 cd bc ab2 bd bc cd bd ac2 ab2 1 4 答案 1 2 1 4 平行线分线段成比例定理 方法点睛 1 平行线等分线段定理的理解及应用平行线等分线段定理及推论1 推论2是证明线段相等或求线段长度的重要理论依据之一 在应用这个定理时一定要看清条件中是否是一组平行线已截得相等的线段 若是就可以用该定理 2 利用平行线分线段成比例定理的注意事项利用平行线分线段成比例定理解决问题时要特别注意被平行线所截的直线 找准成比例的线段 得到相应的比例式 有时需要进行适当的变形 从而得到最终的结果 例1 1 如图 abcd中 ac与bd相交于点o ab 6 oe bc 则ec 2 2012 佛山模拟 如图 在 abc中 de bc ef cd 若bc 3 de 2 df 1 则ab的长为 解题指南 1 可利用平行四边形的性质和平行线等分线段定理求线段ec的长 2 这是一道利用平行线分线段成比例定理的计算题 由已知条件分析知 需要中间比例式进行转换可以得到最终结果 即由等可以得出ab的长 规范解答 1 在 abcd中 ob od ab dc 6 又 oe bc de ec dc 3 即ec 3 答案 3 2 de bc 又 ef cd af 2fd 2 ad 3 又 de bc bd ab ad bd 答案 互动探究 本例 2 中若bc 4 de 3 df 1 其他条件不变 则ab的长为 解析 de bc 又 ef cd af 3fd 3 ad 4 又 de bc 答案 反思 感悟 本例题灵活运用了平行线分线段成比例定理 先利用de bc ef cd得到比例式后 再进行巧妙的转化比例式 从而解决问题 这是在比例式的证明和计算中常见的一种方法 相似三角形的判定和性质 方法点睛 1 相似三角形的判定思路 一对等角 找一对等角或找夹边成比例 两边成比例 找两边的夹角相等 含有等腰三角形 找顶角相等或找一对底角相等或找腰和底对应成比例 2 相似三角形性质的应用 1 运用相似三角形的性质解决问题 主要考虑相似三角形的对应边 对应角 周长 面积之间的关系 2 相似三角形的性质多用于求某条线段的长度 求证比例式的存在 求证等积式的成立等 提醒 在做题时应注意认真观察图形特点 确定好对应边 对应角等 例2 1 如图 光源p在横杆ab的正上方 ab在灯光下的影子为cd ab cd ab 2m cd 6m 点p到cd的距离是2 7m 则ab与cd间的距离是 m 2 如图 梯形abcd中 ab cd 且ab 2cd e f分别是ab bc的中点 ef与bd相交于点m 若db 9 则bm 解题指南 1 先判定 pab与 pcd相似 再利用相似三角形对应高的比等于相似比 求出ab与cd间的距离 2 由已知条件可判定四边形bcde是平行四边形 所以bc de 从而证明 edm fbm 再根据对应边成比例可求出bm的值 规范解答 1 根据ab cd 知 pab pcd 设p到ab的距离为xm 根据相似三角形对应边上高的比等于相似比 得解得x 0 9 ab与cd间的距离为2 7 0 9 1 8 m 答案 1 8 2 e是ab的中点 ab 2be 又 ab 2cd cd eb 又ab cd 四边形bcde是平行四边形 cb de edm fbm f是bc中点 de bc 2fb dm 2bm bm db 3 答案 3 互动探究 本例 2 中在所有条件不变的情况下 求s fbm s edm 解析 由 fbm edm可知fb de 1 2 所以s fbm s edm 1 4 答案 1 4 反思 感悟 判定三角形相似时 首先找出两个三角形中已经具备了哪些已知条件 再通过推理推出隐含的条件 选择相似三角形的判定方法作出判定即可 当三角形判定相似后 可再根据相似三角形的性质 求出线段的长 三角形的周长及面积等 变式备选 已知 如图 在 abc中 d e分别是bc ab上任意点 efm cdm ef 1 cd 3 则 efm与 cdm的周长之比为 解析 efm cdm efm与 cdm的周长之比为ef cd 1 3 答案 1 3 射影定理的应用 方法点睛 射影定理的理解及解题思路 1 射影定理建立了直角三角形中边与射影之间的关系 揭示了直角三角形的内在关系 2 利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影 再就是要善于将有关比例式进行适当的变形转化 有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式 并且注意射影定理的其他变式 例3 1 在 abc中 acb 90 cd ab于d ad bd 2 3 则 acd与 cbd的相似比为 2 如图 在rt abc中 acb 90 cd ab于点d de ac于点e df bc于点f ce 3 cf 4 则ab 解题指南 1 可由射影定理用ad表示出cd的长 再求相似比 2 先由勾股定理求cd的长 再由射影定理求ac bc的长 最后由勾股定理求出ab的长 规范解答 1 设ad 2 则bd 3 abc中 acb 90 cd ab cd2 ad db 2 3 6 cd acd与 cbd的相似比 ad cd 2 3 答案 3 2 由勾股定理得cd 5 在rt acd中 由射影定理 得cd2 ce ac 在rt bcd中 由射影定理 得cd2 cf cb cb 答案 互动探究 本例 2 中条