高三数学一轮复习 8.8抛物线课件 .ppt

第八节抛物线 知识梳理 1 抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线 1 在平面内 2 动点到定点f的距离与到定直线l的距离 3 定点 定直线上 相等 不在 2 抛物线的标准方程与几何性质 y2 2px y2 2px x2 2py x2 2py o 0 0 y 0 x轴 x 0 y轴 y2 2px y2 2px x2 2py x2 2py 1 x 0 y r x 0 y r y 0 x r y 0 x r 考点自测 1 思考 给出下列命题 平面内与一个定点f和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线 方程y ax2 a 0 表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线 且其焦点坐标是准线方程是 抛物线既是中心对称图形 又是轴对称图形 ab为抛物线y2 2px p 0 的过焦点的弦 若a x1 y1 b x2 y2 则x1x2 y1y2 p2 弦长 ab x1 x2 p 其中不正确的命题为 a b c d 解析 选b 错误 当定点在定直线上时 轨迹为过定点f与定直线l垂直的一条直线 而非抛物线 错误 方程y ax2 a 0 可化为x2 y 是焦点在y轴上的抛物线 且其焦点坐标是准线方程是 错误 抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形 正确 当ab斜率不存在时 ab方程为x 结论显然成立 当ab斜率存在时 设ab的方程为y k 与y2 2px p 0 联立消去y得 k2x2 p 2 k2 x 0 所以x1 x2 x1x2 又 所以y1y2 k2 k2 p2 由抛物线定义得 af x1 bf x2 所以 ab af bf x1 x2 p 2 抛物线y2 8x的焦点坐标是 a 2 0 b 2 0 c 4 0 d 4 0 解析 选b 由y2 8x 得焦点坐标是 2 0 故选b 3 如果抛物线的顶点在原点 对称轴为x轴 焦点在直线3x 4y 12 0上 那么抛物线的方程是 a y2 16xb y2 12xc y2 16xd y2 12x 解析 选c 由题设知直线3x 4y 12 0与x轴的交点 4 0 即为抛物线的焦点 故其方程为y2 16x 4 若抛物线y2 2px的焦点与椭圆的右焦点重合 则p的值为 a 2b 2c 4d 4 解析 选d 因为椭圆中a2 6 b2 2 所以c2 a2 b2 4 右焦点为 2 0 因此 抛物线y2 2px的焦点坐标为 2 0 所以 2 p 4 5 过抛物线y2 2px p 0 的焦点f垂直于对称轴的直线交抛物线于a b两点 若线段ab的长为8 则p的值为 解析 因为抛物线y2 2px p 0 的焦点坐标为 所以 ab 2p 所以2p 8 即p 4 答案 4 考点1抛物线的定义及其应用 典例1 1 2013 新课标全国卷 o为坐标原点 f为抛物线c y2 4x的焦点 p为c上一点 若 pf 4 则 pof的面积为 a 2b 2c 2d 4 2 过抛物线y2 4x的焦点f的直线交该抛物线于a b两点 若 af 3 则 bf 解题视点 1 由 pf 4及抛物线的定义 可求得点p的纵坐标 即可得出三角形的高 而of即为三角形的底边 从而求得三角形的面积 2 利用抛物线的定义求出a点坐标 将直线af的方程与y2 4x联立 求出b点坐标 再利用抛物线定义求出 bf 规范解答 1 选c 设p x0 y0 根据抛物线定义得 pf x0 所以x0 3 代入抛物线方程得y2 24 解得 y 2 所以 pof的面积等于 2 由题意知 抛物线的焦点f的坐标为 1 0 又 af 3 由抛物线定义知 点a到准线x 1的距离为3 所以点a的横坐标为2 将x 2代入y2 4x 得y2 8 由图知 y 2 所以a 2 2 所以直线af的方程为y 2 x 1 由图知 点b的坐标为所以 bf 答案 互动探究 在本例题 2 的条件下 如何求 aob的面积 解析 由题 2 的解析知所以s aob 规律方法 1 与抛物线定义有关的两个线段抛物线的焦半径 焦点弦 2 抛物线定义的作用将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离 将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离 变式训练 1 抛物线y 4x2上的一点m到焦点的距离为1 则点m的纵坐标是 解析 选b 抛物线方程可化为x2 其准线方程为y 设m x0 y0 则由抛物线的定义 可知 y0 1 y0 2 已知点a 3 4 f是抛物线y2 8x的焦点 m是抛物线上的动点 当 am mf 最小时 m点坐标是 a 0 0 b 3 2 c 2 4 d 3 2 解析 选c 由题知点a在抛物线内 设m到准线的距离为 mk 则 ma mf ma mk 当 ma mk 最小时 m点坐标是 2 4 加固训练 1 过抛物线y2 4x的焦点作直线交抛物线于a x1 y1 b x2 y2 两点 如果x1 x2 6 那么 ab a 10b 8c 6d 4 解析 选b 由得k2x2 2 k2 2 x k2 0 因为x1 x2 6 k 1 ab 2 1 k2 x1 x2 2 64 所以 ab 8 2 2014 潍坊模拟 已知抛物线的顶点在原点 对称轴为y轴 抛物线上一点q 3 m 到焦点的距离是5 则抛物线的方程为 解析 设抛物线方程为x2 ay a 0 则准线为y 因为q 3 m 在抛物线上 所以9 am 而点q到焦点的距离等于点q到准线的距离 所以将代入 得解得 a 2 或a 18 所以所求抛物线的方程为x2 2y 或x2 18y 答案 x2 2y或x2 18y 考点2抛物线的标准方程及其性质 典例2 1 2013 四川高考 抛物线y2 8x的焦点到直线x y 0的距离是 a 2b 2c d 1 2 2014 嘉兴模拟 点m 5 3 到抛物线y ax2的准线的距离为6 那么抛物线的标准方程是 a x2 yb x2 y或x2 yc x2 yd x2 12y或x2 36y 解题视点 1 求出抛物线的焦点坐标 再利用点到直线的距离公式即可 2 只要确定a的值 即可求出抛物线方程 利用点m到抛物线准线的距离即可求出a 规范解答 1 选d 抛物线y2 8x的焦点为f 2 0 该点到直线x y 0的距离为d 2 选d 将y ax2化为x2 y 当a 0时 准线y 由已知得3 6 所以 12 所以a 当a 0时 准线y 由已知得所以a 或a 舍 所以抛物线方程为x2 12y或x2 36y 故选d 易错警示 注意抛物线标准方程的形式本例第 2 题易出现准线方程为y 的错误 其错误的原因是错把抛物线方程y ax2误认为标准方程 在解决此类问题时 一定要注意所给方程是不是抛物线标准方程的形式 如果不是 一定要先把方程变为标准形式 再求解 规律方法 1 抛物线几何性质的确定由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向 焦点位置 焦点到准线的距离 从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程 2 求抛物线的标准方程的方法及流程 1 方法 求抛物线的标准方程常用待定系数法 因为未知数只有p 所以只需一个条件确定p值即可 2 流程 因为抛物线方程有四种标准形式 因此求抛物线方程时 需先定位 再定量 提醒 求标准方程要先确定形式 必要时要进行分类讨论 标准方程有时可设为y2 mx或x2 my m 0 抛物线焦点弦的几个常用结论设ab是过抛物线y2 2px p 0 焦点f的弦 若a x1 y1 b x2 y2 则1 x1x2 y1y2 p2 2 弦长 ab x1 x2 p 为弦ab的倾斜角 3 4 以弦ab为直径的圆与准线相切 变式训练 1 2014 温州模拟 抛物线y x2的焦点关于直线l y x的对称点是 解析 选a 因为抛物线y x2的标准方程为x2 y 所以其焦点坐标为 而该点关于l y x的对称点为 2 设抛物线y2 mx的准线与直线x 1的距离为3 则抛物线的方程为 解析 当m 0时 准线方程为x 2 所以m 8 此时抛物线方程为y2 8x 当m 0时 准线方程为x 4 所以m 16 此时抛物线方程为y2 16x 所以所求抛物线方程为y2 8x或y2 16x 答案 y2 8x或y2 16x 加固训练 1 2013 郑州模拟 抛物线y2 4x的焦点f到准线l的距离为 a 1b 2c 3d 4 解析 选b 该抛物线的焦点f 1 0 准线l为 x 1 所以焦点f到准线l的距离为2 2 以抛物线x2 16y的焦点为圆心 且与抛物线的准线相切的圆的方程为 解析 抛物线的焦点为f 0 4 准线为y 4 则圆心为 0 4 半径长r 8 所以圆的方程为x2 y 4 2 64 答案 x2 y 4 2 64 考点3直线与抛物线的综合问题 考情 直线与抛物线的综合问题是解析几何的重要内容 也是高考命题的亮点 题型以解答题为主 有时也会以选择题 填空题的形式出现 重点考查抛物线的定义 标准方程 几何性质 直线与抛物线的位置关系以及学生的运算能力 分析问题 解决问题的能力 高频考点通关 典例3 1 2014 宁波模拟 直线y k x 2 交抛物线y2 8x于a b两点 若ab中点的横坐标为3 则弦ab的长为 a 6b 10c 2d 16 2 2012 江西高考 已知三点o 0 0 a 2 1 b 2 1 曲线c上任意一点m x y 满足 求曲线c的方程 动点q x0 y0 2 x0 2 在曲线c上 曲线c在点q处的切线为l 问 是否存在定点p 0 t t 0 使得l与pa pb都相交 交点分别为d e 且 qab与 pde的面积之比是常数 若存在 求t的值 若不存在 说明理由 解题视点 1 设a x1 y1 b x2 y2 将直线代入抛物线方程 即可得关于x的一元二次方程 运用根与系数的关系及ab中点的横坐标为3 可得x1 x2的值 最后利用抛物线焦点弦弦长公式即可得弦ab的长 2 根据所给向量式列出方程求解 假设存在对t分类讨论表示出面积求解 规范解答 1 选b 将直线y k x 2 代入抛物线y2 8x 得k2 x 2 2 8x 即k2x2 4k2 8 x 4k2 0 设a x1 y1 b x2 y2 因为ab中点的横坐标为3 所以x1 x2 6 因为抛物线y2 8x的焦点坐标为 2 0 焦准距p 4 所以直线y k x 2 为过焦点的直线 所以 ab x1 x2 p 6 4 10 故选b 2 由 2 x 1 y 2 x 1 y x y 0 2 2y 由已知得 2y 2 化简得曲线c的方程为x2 4y 假设存在点p 0 t t 0 满足条件 则直线pa的方程是y x t pb的方程是y x t 曲线c在q处的切线l的方程是它与y轴的交点为由于 2 x0 2 因此 1 1 当 1 t 0时 存在x0 2 2 使得即l与直线pa平行 故当 1 t 0时不符合题意 当t 1时 所以l与直线pa pb一定相交 分别联立方程组解得d e的横坐标分别是则xe xd 1 t 又 fp t 有 s pde fp xe xd 又s qab 于是对任意x0 2 2 要使为常数 即只需t满足解得t 1 此时 2 故存在t 1 使得 qab与 pde的面积之比是常数2 通关锦囊 特别提醒 与抛物线中点弦的有关问题 在使用点差法得出直线的斜率后 一定要注意直线与抛物线是否相交的检验 否则会出现直线与抛物线并不相交的情况 关注题型 通关题组 1 2014 杭州模拟 如图所示 过抛物线y2 2px p 0 的焦点f的直线l交抛物线于点a b 交其准线于点c 若 bc 2 bf af 3 则此抛物线的方程为 a y2 xb y2 9xc y2 xd y2 3x 解析 选d 如图所示 分别过点a b作aa1 bb1与准线垂直 垂足分别为a1 b1 由已知条件 bc 2 bf 得 bc 2 bb1 所以 bcb1 30 于是可得直线ab的倾斜角为60 方法一 又由 af 3得 af aa1 3 ac 于是可得 cf ac af 6 3 3 所以 bf cf 1 所以 ab 4 直线ab的方程为代入y2 2px得3x2 5px p2 0 因为 ab af bf aa1 bb1 xa xb xa xb p p p p 4 所以p 即得抛物线方程为y2 3x 方法二 直线ab的方程为代入抛物线y2 2px得3x2 5px p2 0 其中a xa ya 满足方程 其中xa 3 则p 3 将xa 3 代入 得 4p2 24p 27 0 解得 舍 所以抛物线方程为y2 3x 2 2014 银川模拟 已知点a 1 2 是抛物线c y2 2px与直线l y k x 1 的一个交点 则抛物线c的焦点到直线l的距离是 解析 选b 将点 1 2 代入y2 2px中 可得p 2 即得抛物线y2 4x 其焦点坐标为 1 0 将点 1 2 代入y k x 1 中 可得k 1 即得直线x y 1 0 所以抛物线c的焦点到直线l的距离 3 2012 北京高考 在直角坐标系xoy中 直线l过抛物线y2 4x的焦点f 且与该抛物线相交于a b两点 其中点a在x轴上方 若直线l的倾斜角为60 则 oaf的面积为 解析 由已知得抛物线的焦点坐标为 1 0 直线l的方程为y tan60 x 1 即联立得由 得x y 1 将 代入 并整理得y2 y 4 0 解得又点a在x轴上方 所以a 3 2 所以s oaf 答案 加固训练 1 2013 潍坊模拟 已知抛物线y2 2px p 0 的焦点为f f关于原点的对称点为p 过f作x轴的垂线交抛物线于m n两点 有下列四个命题 pmn必为直角三角形 pmn不一定为直角三角形 直线pm必与抛物线相切 直线pm不一定与抛物线相切 其中正确的命题是 a b c d 解析 选a 因为pf mf nf 故 fpm fmp fpn fnp 从而可知 mpn 90 故 正确 错误 令直线pm的方程为y x 代入抛物线方程可得y2 2py p2 0 0 所以直线pm与抛物线相切 故 正确 错误 2 2014 宿州模拟 若抛物线y2 2x上两点a x1 y1 b x2 y2 关于直线y x b对称 且y1y2 1 则实数b的值为 解析 选a 直线ab的斜率为kab 1 所以y1 y2 2 y12 y22 y1 y2 2 2y1y2 6 线段ab的中点为代入y x b 得 3 2013 黄冈模拟 过抛物线y2 4x的焦点作一条直线与抛物线相交于a b两点 它们到直线x 2的距离之和等于5 则这样的直线 a 有且仅有一条b 有且仅有两条c 有无穷多条d 不存在 解析 选d 设点a x1 y1 b x2 y2 因为a b两点到直线x 2的距离之和等于5 所以x1 2 x2 2 5 所以x1 x2 1 由抛物线的定义得 ab