（基础数学专业论文）关于非正则的n空间及度量空间的g函数刻画.pdf

摘要 摘要 广义度量空间是度量空间的推广，对它的研究有益于进一步刻画可度量性 人们从度量化定理出发，用各种方式减弱其条件，得到新的空间类这些空间类 包括口一空间、n 一空间、l a $ n e v 一空间等与基相比，网络、k _ 网具有更加微 妙和更加可变的结构对广义度量空间类进行研究的目的之一是考察这些空间的 内部结构而对一般拓扑空间进行研究时，人们往往要加上不同的分离性条件 定理要求的分离性条件越弱，定理的适用范围就越广本文致力于减弱某些特殊 空间上的分离性条件的研究 本文研究问题之一是讨论k 一空间在不同条件下的刻画问题，通过减弱正则 性条件重新定义了r 一空间，并称之为非正则的k 一空间本论文首先证明了关于 非正则的n - 空间的g - 函数刻画定理，然后利用此刻画定理得到了f r d c h e t 空 间x 是非正则的n 一空间的充分必要条件研究问题之二是讨论度量空间的g 一 函数刻画问题，本文给出了度量空间的g 一函数刻画的一种新形式主要结论如 下： 定理1一个f r d c h e t 空间x 是非正则的k 空间当且仅当它有一个网络 ，= u n = l 只满足tv n ，兀是x 的局部有限闭覆盖，并且对于v x x 及满足z f n 矗的r ，都有 f i ne ) 是点x 处的一个网络或者它是 h c p 的 定理2 设x 是度量空间，则存在哥函数满足如下条件； ( 1 【s ) 对x x 及x 中的序列 z 。) ， y 。) ，若x 。一z ，x 。g ( n ，) ，则 _ z ； 摘要 ( h ) v n n ， 9 ( n ，z ) | z x ) 是h c p 的 关键词：度量空间；k 一空间；k 一网；网络；正则性；g 函数 i i a b s t r a c t a b s t r a c t t h ed 嘟o fg e n 町a l i z e dm e t r i cs p a c e si sg e n e r a l i z a t i o no ft h ec l a s so fm e t r i c s p a c e si ti sv e r yh e l p f u lf o rc h a r a c t e r i z i n gt h em e t r i z a b i l i t yb ys t u d y i n gg 。“。 a l i z e dm e t r i cs p a c e s b yw e a k e n i n gt h ec o n d i t i o n so fm e t r i z a b l et h e 。o m 8 ，8 0 m 。 n e wt y p e so fs p a c e sa r e 。b t a i n e d t h e s ek i n d so fs p a c e si n c l u d e 矿8 p 耥锄d 批s d a c e sa n dl a s n e v s p a c e sc t c c o m p a r e dw i t hab a s eo fa s p a c e ，an e t w o r k a n dak n e 七w d r kp o s s e s sm o r ed e l i c a t ea n dm o r ev a r i a b l es t r u c t u r e s t o n ea i m o fs t u d y i n gg e n e r a l i z e ds p a c e si st oi n v e s t i g a t et h ei n t e r i o r s t r u c t u r e so ft h e s e s d a c e s h o w e v e r ，w h e nw es t u d yg e n e r a lt o p o l o g i c a ls p a c e s ，d i f f e r e n ta x i o m 8 o f s e l r a t i o n 缸eu s e d t h ew e a k e rt h ea x i o m o fs e p a r a t i o ni s ，t h ew i d e rt h ea p p l i c a t i o no ft h et h e o r e mi s i nt h i st h e s i s ，w ed e v o t et ot h er e s e a r c h o fw e a k e n i n g a x i o mo fs e p a r a t i o no ns o m es p e c i a ls p a c e s i nt h i st h e s i s ，o n eo ft h em a i na i m si st oi n v e s t i g a t et h ec h a r a c t e r i z a t i o n0 f 杖_ s d a c ei nd i f f e r e n tc o n d i t i o n sb yw e a k e n i n gt h er e g u l a rc o n d i t i o n ，r - s p a c 。i 8 r e d e f t n e d w ec a l li tn o n r e g u l a rr - s p a c e f i r s t l y ，w eg e tt h ec h a 工a c t e r i z a t i o n o fan o n r e g u l a rn s p a c ew i t hag - f u n c t i o n s e c o n d l y , an e c e s s a r ya n ds u 币。i e n t c o n d i t i o nf o raf r 占c h e tn o n - r e g u l a rr - s p a c e i sg i v e n i nt h el a s tp a r to ft h et h e s i s ， w eo b t a i n e dan e wc h a r a c t e r i z a t i o no fm e t r i cs p a c ei nt e r m so fg - f u n c t i o n t h e m a i nr e s u l t sa r ei l l u s t r a t e da sf o l l o w s ： t h e o r e i n1af r 占c h e ts p a c ex i sn o n r e g u l a rr - s p a c ei f fi th a san e t w o r k ，：u 器1 只s u c ht h a te a c h 矗i s al o c a l l yf i n i t ec l o s e dc 。v e r 。fx ta 2 1 ds u c ht h 8 t i i i a b s t r a c t f o re a c hx e xa n drw i t hz r 矗f o ra l lnen ， r i n ) i se i t h e ra n e t w o r ka txo rh c p t h e o r e m2l e txb eam e t r i cs p a c e t h e nxh a sag - f u n c t i o ngs a t i s f y i n g ： ( k s ) z n _ za n d 嚣。g ( n ，) f o ra l l 扎ni m p l yy 。叫z ( h ) 9 ( n ，x ) l z x i sh c pf o re a c hn k e y w o r d s ： m e t r i cs p a c e l n s p a c e ；k - n e t w o r k ；n e t w o r k ； r e g u l a r ； g f u n c t i o n i v 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获 得北京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意 签名：布柏温b m ：。s s j f 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：本辛通品导师签名：勤包两日期：2 。，芎弓 引言 引言 广义度量空间是度量空间的推广，它是一般拓扑学的重要课题之一，对它的 研究有益于进一步刻画可度量性广义度量空间继承了度量空间的许多优美性 质，且度量空间的某些理论或技巧能拓广到广义度量空间类上我们在考虑广义 度量空间的性质时一般考虑如下问题：是否关于完备映射或闭映射保持? 是否关 于子空间或闭子空间遗传? 此空间要求的分离性条件是什么? 是否具有某种覆 盖性质? 对广义度量空间类的研究增加了人们对于度量空间的理解，并且引导人 们不断寻找更广泛的空间类使得一些特别重要的结果成立从2 0 世纪6 0 年代 起，广义度量空间理论就一直是一般拓扑学中非常活跃的研究方向之一 对一般拓扑空间进行研究时，人们往往要加上不同的分离性条件许多广义 度量空间都带有正则性条件，如n 一空间我们已知，分离性按从强到弱排列有 如下关系，即正规( 丑+ 7 4 ) 兮正则m + b ) 辛死= 五号t o ，由于定理要 求的分离性越弱，定理的适用范围就越广，因此人们致力于减弱分离性条件的研 究实际上非正则空间类很早就受到人们的重视，例如：在2 0 世纪5 0 年代期 间，人们研究了h - 闭空间( h d o s e d 空间 2 1 1 ) ( 即对x 的任意开覆盖都存 在有限子族，其并的闭包覆盖空间x ) ，此空间是在死条件下定义的，很容易 知道：一个正则空间x 是h 闭空间当且仅当它是紧的当然它还有一些非常特 殊的性质，这里不再赘述此外，林寿在减弱分离性条件方面作过许多工作，如 对于定理：正规k 一半层空间上的闭映射是紧覆盖映射，他证明了可以把正 规性减弱为正则性另外，他也曾经讨论过许多关于减弱正则性条件的问题 在阅读j u n - i t in a g a t a 的文献f 1 5 】时，我们发现在证明关于k 空间的等价 引言 命题中，作者要求有正则性条件一个很自然的问题就是j u n ，i t in a g a t a 的结论 在非正则条件下是否成立? 由于在有正则性条件时，具有口一局部有限k 一网的 空间。也等价于具有a 一局部有限闭k 一网的空间而我们用到的常常就是一一 局部有限闭k 一网的性质因此首先需考虑如果去掉正则性条件，即在死条件 下，而把n 一空间定义中的口一局部有限k 一网换成口一局部有限闭k - 网，那么 原有拽一空间的等价命题还是否成立呢 我们首先考虑了此问题，最后本文证明 了在去掉正则性条件后， j u n i t in a g a t a 文献中的定理在马条件下依然成立 另外，随着对广义度量空问类的研究，人们引入了又一有利工具，即g 一函 数本文对l a j n e v 空间与度量空间的g 一函数刻画进行了探讨，给出了关于度 量空间的9 一函数刻画的一种新形式 第1 章绪论 1 1 概念与记号 第1 章绪论 在本文中用到的空间均指满足乃分离性条件的拓扑空间 定义1 1 1 ( 1 】设x 是一个集合，如果对于任意两点z ，x ，可以定义一 个非负值函数p ( z ，) 满足： ( 1 ) p ( x ，y ) = 0 当且仅当z = y ( 2 jp ( x ，y ) = p ( y ，。) ( 3 ) p ( x ，y ) p ( x ，z ) + p ( z ，y ) 0 x ) 则称p ( x ，y ) 为x 上的度量，集x 带有度量后称为度量空间，可以记为( x ，p ) 或简记为x 定义1 1 2 1 1 拓扑空间x 中的开集族“称为这空间的开基( 或简称为基) ， 如果每一开集可以表示为“中元素的并 定义1 1 3 ( f r 埘挑【1 9 6 5 】) q 设x 为一个拓扑空间，x 称为f r 6 c h e t 空 间，若对于每一acx ，v x 五，都存在a 中的点列 z 。 。n 收敛于z 定义1 1 4 设，是空间x 的子集族 ( 1 l ( a r h a n g e l s k 州1 9 5 9 】) 1 3 l 芦称为x 的网络，如果对于每一。x 及包含 。的邻域u ，存在f ，使z fcu 2 ) ( 0 m e a r a 1 9 6 6 ) 4 】，称为x 的k 一网，如果对于x 的每一紧集k 及x 中的开集u 满足kcu ，存在，中的有限子集族c ，使kcu ，cu ( 3 ) ，称为x 的w c $ 一网嘲，如果对v z x ，u 为z 的邻域，且序列 北京工业大学理学硕士学位论文 。) 。n 收敛于。，总存在有限子集族j c ，满足：3 n n ，s t ， 。，z 。，x n + l ，t - ) cu s r * cu 注：比较基、k 一网，网络的定义可知，基必是k 一网，k 一网是网络，但网 络未必是基，因网络中的元素不一定足开集 定义1 1 5 1 8 1 设p 是空间x 的子集族 ( 1 ) p = r 1 4 a ) 称为x 的离散集族，如果对于v x x ，存在z 的开邻 域u ( x ) ，使得u ( z ) n r d 至多对一个n a 成立 ( 2 ) p = p | q a ) 称为x 的局部有限集族，如果对于v z x ，存在x 的 开邻域u ( z ) ，使得u ( x ) 只与p 中有限个元相交 ( 3 ) p = r l o a ) 称为x 的点有限集族，如果对于比x ，( p ) 。= p i 。p ) p p 是有限集 ( 4 ) p = r l a a ) 称为x 的闭包保持集族( c l o s u r e p r e s e r v i n g ) ，如 果对于每一p cp ，有下式成立，即百歹= 可7 p i 苫i 芦丁= u p i p p ) 简记作：c p ( 5 ) p = r i 。a ) 称为x 的遗传闭包保持集族( h e r e d i t a r i l y c l o s u r e p r e s e r v i n g ) ，如果对于每一q a ，任取玩cr ， 巩 。a 是闭包保持 的简记作：h c p ( 6 】p = r l a ) 称为x 的弱遗传闭包保持集族，如果对于每一o a ， 任取r p ， ) 。 是闭包保持的 注：离散集族 局部有限集族号遗传闭包保持集族= 闭包保持集族 定义1 1 8 ( t o 分离公理) 1 】对拓扑空间x 的任意不同两点z 1 ，。2 ，存在其 第1 章绪论 中一点的邻域不包含另外一点以上叙述称为晶分离公理满足分离公理的 拓扑空间称为而空间 定义1 1 7 ( 丑分离公理) 1 1 】对拓扑空间x 的任意不同两点x 】，x 2 ，存在点 吼的邻域u ( x x ) 使x 2 岳u ( x 1 ) ，点x 2 的邻域u ( x 2 ) 使g e 1 隹u ( x 2 ) 以上叙述 称为正分离公理满足正分离公理的拓扑空间称为正空间 定义1 1 8 ( t 2 分离公理) 【1 l 对拓扑空间x 的任意不同两点x 1 ，x 2 ，存在点 z ，的邻域u ( x 1 ) ，点x 2 的邻域u ( x 2 ) ，使u ( z ，) n u ( 2 ) = 0 以上叙述称为 乃分离公理满足正分离公理的拓扑空间称为b 空间 定义1 1 9 ( t z 分离公理) 【1 】对拓扑空间x 的闭集f 及不属于f 的点z 存 在开集u 及v ，使u3f x v 且u n v = 0 以上叙述称为珏分离公理 满足正及乃分离公理的拓扑空间称为正则空间 定义1 1 1 0 ( 7 4 分离公理) 【1 1 对拓扑空间x 不相交的闭集日及f 2 存在开 集以及巩，使骗) r ，u 2 d b ，且“n u 2 = d 以上叙述称为乃分离公 理满足乃及五分离公理的拓扑空间称为正规空间 注t 分离性按从强到弱有如下关系，即正规仍+ t 4 ) 辛正则( 正+ t 3 ) j t 2 辛7 1 = t o 定义1 1 1 1f 7 】具有口局部有限耳一网的正则空间称为n 空间 定义1 1 1 2 1 8 1 度量空间在连续闭映射下的象称为l a ；n e v 空间 定义1 1 1 3 【1 】具有口局部有限网络的空间称为口空间 定义1 1 1 4 9 】设b 是拓扑空间x 的基，8 称为x 的正则基，如果对于 任意一点z x 及包含x 的任意邻域u ，存在开集v ，且o vcu ，使得 北京工业大学理学硕士学位论文 下式成立，即i b ：b n v d a l 3 n ( x v ) o ，b 8 ) i n ) 及( ) 式，知 。，z , l i i 。) n9 ( m ，y m ) = d ， z 。隹9 ( m ，y 。) 这与前提条件相矛盾，所以假设错误从而g 一函数满足条 件( a ) 下证g 一函数满足条件( b ) 对于y 9 ( n ，z ) ，因为9 ( n ，z ) = x u f 兀l z f ) 1 ，所以若有 z 岳f ，则y 茌f ，所以u f 矗l z f ) u fe 歹- 1 y 岳f ) ，从而有 x 【u f ，l 。隹f ) x u f ，i 隹f ) 】，即g ( n ，z ) 3g ( n ，y ) 下证g 一函数满足条件( c ) 1 2 第2 章h 空间的刻画 只是局部有限的，矗是点有限的 f 矗i f ) 是有限集由 于g ( n ，z ) = x u f ，l z 譬f ) 】= u ，刊u 【u f ，毫l z f ) u f 凡1 z 隹f ) 1 ，且9 ( n ，y ) = x u f 矗l 隹f ) 】= 陋u 只 u 【u f 矗i y f ) u f ，气l g 譬f ) 】又因为对于yeg ( n ，。) ，若有。f ，则g f ，也 即当y f 时，则z f ，所以9 ( n ，y ) 是由有限集族 f j l z f ) 的并去 掉此有限集族的某个子集族的并，再并上x u 只而得到的，而有限集族的子 集的个数必是有限数所以v x x ，v n n ， 9 ( n ，) i g ( n ，。) ) 是有限集 “# ”设空间x 中存在一个g 一函数满足条件( a ) 一( c ) ，下证x 是非正则 的h 一空间也即证x 中存在口一局部有限的闭k 一网 令h 。x ) = f n 9 ( n ，) 1 。g ( n ，) u 9 ( n ，y ) l x 垂g ( n ，) ( v z x ，v n ) ，h 。= j k ( x ) l x x ) ，爿= u 县1 爿。，g c ( n ，y ) = x g ( n ，y ) 首先证明州= u 器l 丸。是a 一局部有限的 v x x ，| 开集g ( n ，z ) ，s t z g ( n ，o ) ，由 k ( z ) 的定义可知，若g ( n ，x ) n 玩( z ) 0 ，则z g ( n ，z ) 从而若z 譬g ( n ，z ) ，则g ( n ，z ) n h ( z ) = 0 所以要 证7 _ “为局部有限的，只需证明 皿。( 。) i x g ( n ，) ，g ( n ，。) n 巩( z ) 0 ) 为有限 集因为已知( 9 ( n ，z ) j z 9 ( n ，z ) ) 是有限集，所以 9 ( n ，z ) n 雪( n ，z 7 ) i z g ( n ，z ) ) 为有限集且可证如下结论：当9 ( n ，。) = 9 ( n ，z ”) 时，则必有日，( z ) = 凰。( 。”) 此结论证明如下：首先，当g ( n ，z ) = 9 ( n ，。”) 时，则必有z 与。”属于相同的 g ( n ，) ( g x ) ，因为着3 z x ，s t z 7 g ( n ，z ) ，但z “譬9 ( n ，。) ，根据条件( b ) 有，g ( n ，。) c9 ( n ，z ) ，再由9 ( n ，x ) = 9 ( 札，z ”) ，贝0 有9 ( n ，z ”) c9 ( n ，2 ) ，所以 z ”g ( n ，z ) ，从而矛盾所以当9 ( n ，z ) = g ( n ，z ”) 时，则必有h n ( x ) = 风( z ”) 所以 巩( z ) f g ( n ，z ) ，g ( n ，x ) nq 。( ) 0 ) 也是有限集，从而g ( n ，z ) 1 3 北京工业大学理学硕士学位论文 只与h 。中有限个元相交，所以h 。足局部有限的，h 是a 一局部有限的 下证丙= u 器。霄：是口一局部有限的w o s - 网 1 ) 首先可证手= 瓦而i z x ) 是局部有限的因为7 _ 如是局部有限 的，所以对于v x x ，3 开邻域瓯，s t o 。只与h 。中有限个元相交若 o 。n7 - 。( z ) = o ，则o 。r - 瓦：i 巧= o 所以o 。也只与再：= 面：两l z x 中至多有限个元相交，从而7 i 是局部有限的 2 ) 下证霄= u 器1 瓦是w c $ - 网 设蜀一。u ，u 是开集，且墨z m n ) ，由于9 一函数满足条件 ( a ) ，所以可证如下结论：总存在n n ，s t 对于某个i o n ，v y x u ，有 v i i o ，x i 隹g ( n ，y ) ，即9 ( n ，) n x l i i o = o 下面用反证法证明此结论：假设对于任意的n n ，对于机。n ，总 孔。 i 。，及j x u ，使得，x “9 ( n ，y 。) 由于矗一。u ，所以令 x i 。= ，则+ z ，根据条件( a ) 知，一z ，而由y n x u ，u 为 开集，x u 为闭集，知z x u ，这与z u 相矛盾，所以假设错误，从而 总存在n n ，s t 对于某个i o n ，v y x u ，有v i i o ，z ；盛9 ( n ，y ) 根据定义有日。( 。1 ) = f n g ( n ，) j z l g ( n ，) ) 【u 9 ( n ，y ) j z , 聋9 ( n ，3 ，) ) ，贝9 可得x i 1 4 ( z 。) c 士( ) cu ( i i o ) ( 注：假若上k ( 毛) cu 不成立，则 3 y k ( 虢) u ，使得g ( n ，y ) n 三k ( 墨) o ，从而甄g ( n ，y ) ，这与已证结论 相矛盾) 又因为7 是局部有限的，从而手i 也是h c p 的则可证满足上述条件的 j k ( ) 只有有限个是互不相同的假设有无限多个f k ( 戤) 是互不相同的，且 1 4 - 第2 章槌- 空间的刻画 百鬲了cu ，不妨设i j 时，万再可瓦石万由以百雨西，且瓦是 h c p 的，可得( x i ) 。是离散的，这与x ；+ z 相矛盾从而在i 中存在有限 个元素百j 、百：、霄：满足： ，l 蕾2i o ) cu k ；1 瓦cu ，所以霄是 。一局部有限的w c 8 网 下证此( 7 - 局部有限的w 一网也是口一局部有限的b 网 令芦= 霄，下面首先证明，是x 的网络不妨设z 。= x ，则。* z u ， 又因为已知，是w c s - 网，所以j c ，1 ，1 u ，s t 扛 ，z l i i o cu sc u ，又因为= 。，所以j b 夕，s t ， 。) cb cu ，所以，是x 的 口一局部有限的网络 假设，不是x 的k _ 网，则存在紧集c ，对于任意满足ccu 的开集 u ，使得v fc ，l ，i 1 时，z 。o 。从而 墨) ，u p ) ( u 磐1 0 。；) u o 。，也即 吼) ，u z ) 被有限个开集覆盖，而这有限个开集中的每一个只与氕中有限个元相交所以 x l ，。nu 。) c ( u 磬，o 。，) u o 。c 吧，霹( + ) ，其中砖五如果这有限个 1 6 第2 章n 空间的刻画 元砖0 = 1 ，2 ，m ) 中的每一个只含有 墨) 。e 中的有限个元，则( * ) 式不 成立所以必有某个f 含有 她) * n 中无限多个元，即p 含有 ? 。) 。e 的一个无穷序列 。b ) j n ，即 x i j j ncf 又8 + 。，f 为闭集， 。f 从而说明对于v k n ，在氕中必存在某一f ，s t x f ，且 ) 。e n 共尾于一 下面，对于满足z f ，且 甄k 共尾于一的集族咒= ( p i k n ) 分两种情况讨论 如果五是点x 处的一个网络，从而对于开集u 及。u ，j n ，3 f ，；，s t z f cu ，且 矾) n 共尾于f cu 如果在点x 处是h c p 的，则因为对于v k n ， ) 共尾于p ， 所以对于 也) n 可选取其子序列( 记作马) 满足： x ) u 毋cb 疋，s 共 尾于日，且岛+ 1c 岛，j n 总之，可选取 x i i e 的一个子序列 玑) i n 满 足y l 乃( v j ) 因为对于 玑) i n ，有轨f i c ( v i n ) ，而五是h c p 的， 所以 y l i e n 是离散集而已知乩，马 y l e nc 嗣) n ，玑一x 从 而矛盾所以在点x 处不是h c p 的 ( 2 ) 令9 ( n ，。) = x u f u 墨l 五l z 甓f ) ，因为五是x 局部有限的闭 覆盖，所以u 坠。五也是x 的局部有限的闭覆盖，从而是闭包保持闭集族所以 u f u 翟1 五i z 仨f ) 为闭集，g ( n ，x ) 为含x 的开集，从而妇( n ，。) i 礼) 是 点x 的递降的开邻域序列下证g 满足定理2 2 2 的三个条件 首先证它满足条件( b ) 即若9 ( n ，z ) ，则g ( n ，y ) c9 ( n ，t ) t g ( n ，z ) ，v f u 坠1 五，若。隹f ，贝0y 隹f 17 - 北京工业大学理学硕士学位论文 u f u 饕l 五i x 隹f ) cu f eu 坠l 五l y 崔f ) ， ，9 ( n ，y ) c9 ( n ，z ) 证 g ( n ，y ) i y 9 ( n ，z ) ) 是有限集 五是x 的局部有限的闭覆盖，u 墨，五也是x 的局部有限的闭覆盖，从 而是点有限的闭覆盖 f u 冬1 只1 z f ) 是有限集族又因为y g ( n ，。) ， 所以对于v f u l - 1 五，若t 隹f ，则y f ，从而若y f ，则tef 于是 f u 坠】五j f ) c f u t = 1 五i zef ) 由g ( n ，y ) = x i u f u 翟1 j 毛i ”隹f ) 】= u f u 警1 j l y f ) u feu 饕1 i 岳f ，知g ( n ，y ) 是 由有限集族 f u t = 。j 名i x 日的并去掉此有限集族的某个子集族的并而得到 的，而有限集族的子集族的个数必是有限数所以 9 ( n ，y ) l yeg ( n ，z ) ) 是有限 集 下证g 满足定理2 2 2 的条件( a ) ，用反证法证明假设墨一x ，x l g ( i ，玑) ，但觚一z ，则对于x 的某个开邻域u ，存在无限集n cn ， s t n ，有y i 隹u ，但协拉n ) ，由f 1 ) 中证明的结论知，存在某个 n n ，| p ，毛，s t pcu ，且 f n ) 共尾于f “cu 即存在子序列 x d ien ”) c z l l i n ) ，s t z pcu ，且 。) u 。 l i n ”) cf t lcu 任取j n ”且j n ，则由蜥隹u ，得珊隹f ”，而p l 睦：l 氕0 n ) ，又由 a ( j ，轧) = x 【u f u 名l 五1 珊隹f ，所以9 ( j ，蜥) n f ”= o 又q f “， q 叠g ( j ，y j ) 这与前提条件相矛盾，所以假设错误，从而y i + 。即g 满 足定理2 2 2 的条件( a ) 由定理2 2 2 及( 2 ) 中 的证明知，x 是非正贝4 的k - 空间 “号”设x 是非正则的贰- 空间，则存在g 一函数满足定理2 2 2 中的条件 1 8 - 第2 章k 空间的刻画 假设9 ( n ，。) 为x 的开邻域，令h ( n ，z ) = g ( n ，z ) n i x u 伯( y ) l x 隹9 ( n ，口) j ， 爿。= 日( n ，z ) j z x ) ( 1 ) 由g 一函数满足定理2 2 2 中的条件( 6 ) ( c ) ，下证h 。是局部有限的 忱x ，3 9 ( n ，x ) ，s t 。g ( n ，x ) ，可证g ( n ，z ) 只与h 。中有限个元相交 v x x ，若9 ( n ，x ) n h ( n ，。) 0 ，由于h ( n ，z ) = 9 ( n ，一) n x u g ( n ，y ) l x 譬 9 ( n ，”) ) 】，知z7 g ( n ，z ) ；若z 隹9 ( n ，z ) ，贝9 ( n ，x ) n h ( n ，z ) = 0 又由条 件( c ) 知， 口( n ，z ) f g ( n ，z ) ) 是有限集并且可证：若9 ( n ，z ) = 9 ( n ，。”) ， 必有h ( n ，i