高考数学大一轮复习 6.1数列的概念及简单表示法课件 理 苏教版.ppt

6 1数列的概念及简单表示法 第六章数列 数学苏 理 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分 1 数列的定义按照排列的一列数称为数列 数列中的每一个数叫做这个数列的 一定次序 项 2 数列的分类 有限 无限 3 数列的表示法数列有三种表示法 它们分别是 和 4 数列的通项公式如果数列 an 的第n项与之间的关系可以用一个式子来表示 那么这个公式叫做这个数列的通项公式 列表法 图象法 解析法 序号n 5 已知数列 an 的前n项和sn 则an s1 sn sn 1 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 所有数列的第n项都能使用公式表达 2 根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个 3 数列 1 0 1 0 1 0 通项公式只能是an 4 如果数列 an 的前n项和为sn 则对 n n 都有an 1 sn 1 sn 5 在数列 an 中 对于任意正整数m n am n amn 1 若a1 1 则a2 2 6 若已知数列 an 的递推公式为an 1 且a2 1 则可以写出数列 an 的任何一项 7 15 2 n 1 解析 当n 1时 a1 1 当n 1时 也符合an 2 n 1 综上 an 2 n 1 解析 思维升华 解各项减去1后为正偶数 所以an 2n 1 解析 思维升华 根据所给数列的前几项求其通项时 需仔细观察分析 抓住其几方面的特征 分式中分子 分母的各自特征 相邻项的联系特征 拆项后的各部分特征 符号特征 应多进行对比 分析 从整体到局部多角度观察 归纳 联想 解析 思维升华 解析 思维升华 解每一项的分子比分母少1 而分母组成数列21 22 23 24 解析 思维升华 解析 思维升华 根据所给数列的前几项求其通项时 需仔细观察分析 抓住其几方面的特征 分式中分子 分母的各自特征 相邻项的联系特征 拆项后的各部分特征 符号特征 应多进行对比 分析 从整体到局部多角度观察 归纳 联想 解析 思维升华 解奇数项为负 偶数项为正 故通项公式中含因子 1 n 各项绝对值的分母组成数列1 2 3 4 而各项绝对值的分子组成的数列中 解析 思维升华 奇数项为1 偶数项为3 即奇数项为2 1 偶数项为2 1 解析 思维升华 解析 思维升华 根据所给数列的前几项求其通项时 需仔细观察分析 抓住其几方面的特征 分式中分子 分母的各自特征 相邻项的联系特征 拆项后的各部分特征 符号特征 应多进行对比 分析 从整体到局部多角度观察 归纳 联想 例1 4 3 33 333 3333 解析 思维升华 解析 思维升华 例1 4 3 33 333 3333 解析 思维升华 例1 4 3 33 333 3333 根据所给数列的前几项求其通项时 需仔细观察分析 抓住其几方面的特征 分式中分子 分母的各自特征 相邻项的联系特征 拆项后的各部分特征 符号特征 应多进行对比 分析 从整体到局部多角度观察 归纳 联想 跟踪训练1 1 数列 1 7 13 19 的一个通项公式是an 解析符号问题可通过 1 n或 1 n 1表示 其各项的绝对值的排列规律为后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6 故通项公式为an 1 n 6n 5 1 n 6n 5 解析 思维升华 解a1 s1 2 3 1 当n 2时 an sn sn 1 2n2 3n 2 n 1 2 3 n 1 4n 5 由于a1也适合此等式 an 4n 5 解析 思维升华 数列的通项an与前n项和sn的关系是an 当n 1时 a1若适合sn sn 1 则n 1的情况可并入n 2时的通项an 当n 1时 a1若不适合sn sn 1 则用分段函数的形式表示 例2已知下面数列 an 的前n项和sn 求 an 的通项公式 1 sn 2n2 3n 题型二由数列的前n项和sn求数列的通项 解析 思维升华 例2 2 sn 3n b 解析 思维升华 解a1 s1 3 b 当n 2时 an sn sn 1 3n b 3n 1 b 2 3n 1 当b 1时 a1适合此等式 当b 1时 a1不适合此等式 当b 1时 an 2 3n 1 例2 2 sn 3n b 解析 思维升华 例2 2 sn 3n b 解析 思维升华 例2 2 sn 3n b 解析 思维升华 数列的通项an与前n项和sn的关系是an 当n 1时 a1若适合sn sn 1 则n 1的情况可并入n 2时的通项an 当n 1时 a1若不适合sn sn 1 则用分段函数的形式表示 跟踪训练2已知数列 an 的前n项和sn 3n2 2n 1 则其通项公式为 解析当n 1时 a1 s1 3 12 2 1 1 2 当n 2时 an sn sn 1 3n2 2n 1 3 n 1 2 2 n 1 1 6n 5 显然当n 1时 不满足上式 解析 答案 思维升华 题型三由数列的递推关系求数列的通项公式 例3 1 设数列 an 中 a1 2 an 1 an n 1 则通项an 由题意得 当n 2时 an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 题型三由数列的递推关系求数列的通项公式 例3 1 设数列 an 中 a1 2 an 1 an n 1 则通项an 解析 答案 思维升华 题型三由数列的递推关系求数列的通项公式 例3 1 设数列 an 中 a1 2 an 1 an n 1 则通项an 解析 答案 思维升华 题型三由数列的递推关系求数列的通项公式 例3 1 设数列 an 中 a1 2 an 1 an n 1 则通项an 解析 答案 思维升华 已知数列的递推关系 求数列的通项时 通常用累加 累乘 构造法求解 当出现an an 1 m时 构造等差数列 当出现an xan 1 y时 构造等比数列 当出现an an 1 f n 时 用累加法求解 当出现 f n 时 用累乘法求解 题型三由数列的递推关系求数列的通项公式 例3 1 设数列 an 中 a1 2 an 1 an n 1 则通项an 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 例3 2 数列 an 中 a1 1 an 1 3an 2 则它的一个通项公式为an 方法一 累乘法 an 1 3an 2 即an 1 1 3 an 1 例3 2 数列 an 中 a1 1 an 1 3an 2 则它的一个通项公式为an 解析 答案 思维升华 即an 1 2 3n 1 n 1 例3 2 数列 an 中 a1 1 an 1 3an 2 则它的一个通项公式为an 解析 答案 思维升华 所以an 2 3n 1 1 n 2 又a1 1也满足上式 故数列 an 的一个通项公式为an 2 3n 1 1 方法二 迭代法 an 1 3an 2 例3 2 数列 an 中 a1 1 an 1 3an 2 则它的一个通项公式为an 解析 答案 思维升华 即an 1 1 3 an 1 32 an 1 1 33 an 2 1 3n a1 1 2 3n n 1 所以an 2 3n 1 1 n 2 又a1 1也满足上式 故数列 an 的一个通项公式为an 2 3n 1 1 例3 2 数列 an 中 a1 1 an 1 3an 2 则它的一个通项公式为an 解析 答案 思维升华 例3 2 数列 an 中 a1 1 an 1 3an 2 则它的一个通项公式为an 即an 1 1 3 an 1 32 an 1 1 33 an 2 1 3n a1 1 2 3n n 1 所以an 2 3n 1 1 n 2 又a1 1也满足上式 故数列 an 的一个通项公式为an 2 3n 1 1 2 3n 1 1 解析 答案 思维升华 例3 2 数列 an 中 a1 1 an 1 3an 2 则它的一个通项公式为an 2 3n 1 1 已知数列的递推关系 求数列的通项时 通常用累加 累乘 构造法求解 当出现an an 1 m时 构造等差数列 当出现an xan 1 y时 构造等比数列 当出现an an 1 f n 时 用累加法求解 当出现 f n 时 用累乘法求解 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 例3 3 在数列 an 中 a1 1 前n项和sn an 则 an 的通项公式为 由题设知 a1 1 例3 3 在数列 an 中 a1 1 前n项和sn an 则 an 的通项公式为 解析 答案 思维升华 以上n 1个式子的等号两端分别相乘 例3 3 在数列 an 中 a1 1 前n项和sn an 则 an 的通项公式为 解析 答案 思维升华 以上n 1个式子的等号两端分别相乘 例3 3 在数列 an 中 a1 1 前n项和sn an 则 an 的通项公式为 解析 答案 思维升华 例3 3 在数列 an 中 a1 1 前n项和sn an 则 an 的通项公式为 已知数列的递推关系 求数列的通项时 通常用累加 累乘 构造法求解 当出现an an 1 m时 构造等差数列 当出现an xan 1 y时 构造等比数列 当出现an an 1 f n 时 用累加法求解 当出现 f n 时 用累乘法求解 解析 答案 思维升华 跟踪训练3 1 已知数列 an 满足a1 1 an an 1 n 2 则an 以上 n 1 个式子相乘得 2 已知数列 an 的前n项和为sn 且sn 2an 1 n n 则a5 解析当n 1时 s1 2a1 1 a1 1 当n 2时 sn 1 2an 1 1 an 2an 2an 1 an 2an 1 an 是等比数列且a1 1 q 2 故a5 a1 q4 24 16 16 易错分析 解析 温馨提醒 易错警示系列8由sn求an忽视n 1时的情况致误 典例 1 已知数列 an 的前n项和sn n2 1 则an 解答本题易错点 1 不会利用an sn sn 1的关系推导n和an之间的关系 2 对n 1不进行验证 易错警示系列8由sn求an忽视n 1时的情况致误 典例 1 已知数列 an 的前n项和sn n2 1 则an 易错分析 解析 温馨提醒 当n 1时 a1 s1 2 当n 2时 an sn sn 1 n2 1 n 1 2 1 2n 1 易错警示系列8由sn求an忽视n 1时的情况致误 典例 1 已知数列 an 的前n项和sn n2 1 则an 易错分析 解析 温馨提醒 易错警示系列8由sn求an忽视n 1时的情况致误 典例 1 已知数列 an 的前n项和sn n2 1 则an 易错分析 解析 温馨提醒 由an sn sn 1求an时的n是从2开始的自然数 由此求得的an不一定就是它的通项公式 必须验证n 1时是否也成立 否则通项公式 易错警示系列8由sn求an忽视n 1时的情况致误 典例 1 已知数列 an 的前n项和sn n2 1 则an 易错分析 解析 温馨提醒 易错警示系列8由sn求an忽视n 1时的情况致误 典例 1 已知数列 an 的前n项和sn n2 1 则an 易错分析 解析 温馨提醒 易错分析 解析 温馨提醒 2 已知数列 an 的前n项和sn 2n 3 则数列 an 的通项公式为 解答本题易错点 1 不会利用an sn sn 1的关系推导n和an之间的关系 2 对n 1不进行验证 2 已知数列 an 的前n项和sn 2n 3 则数列 an 的通项公式为 易错分析 解析 温馨提醒 当n 1时 a1 s1 1 当n 2时 an sn sn 1 2n 1 2 已知数列 an 的前n项和sn 2n 3 则数列 an 的通项公式为 易错分析 解析 温馨提醒 由an sn sn 1求an时的n是从2开始的自然数 由此求得的an不一定就是它的通项公式 必须验证n 1时是否也成立 否则通项公式 2 已知数列 an 的前n项和sn 2n 3 则数列 an 的通项公式为 易错分析 解析 温馨提醒 2 已知数列 an 的前n项和sn 2n 3 则数列 an 的通项公式为 易错分析 解析 温馨提醒 方法与技巧 1 求数列通项或指定项 通常用观察法 对于交错数列一般用 1 n或 1 n 1来区分奇偶项的符号 已知数列中的递推关系 一般只要求写出数列的前几项 若求通项可用归纳 猜想和转化的方法 3 已知递推关系求通项 对这类问题的要求不高 但试题难度较难把握 一般有两种常见思路 1 算出前几项 再归纳 猜想 2 利用累加法或累乘法可求数列的通项公式 失误与防范 1 数列是一种特殊的函数 在利用函数观点研究数列时 一定要注意自变量的取值 如数列an f n 和函数y f x 的单调性是不同的 2 数列的通项公式不一定唯一 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析根号里的数比分母大2 2 已知数列 an 中 a1 1 若an 2an 1 1 n 2 则a5的值是 解析由题意得a2 2a1 1 3 a3 2 3 1 7 a4 2 7 1 15 a5 2 15 1 31 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 31 3 若数列 an 的通项公式是an 1 n 3n 2 则a1 a2 a10 解析由题意知 a1 a2 a10 1 4 7 10 1 10 3 10 2 1 4 7 10 1 9 3 9 2 1 10 3 10 2 3 5 15 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 15 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 30 5 已知数列 an 满足a1 1 an 1an 2n n n 则a10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析因为an 1an 2n 所以an 1an 2 2n 1 又a1a2 2 a1 1 所以a2 2 32 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 解析借助递推关系 则a8递推依次 7 数列 an 中 a1 1 对于所有的n 2 n n 都有a1 a2 a3 an n2 则a3 a5 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 解析由题意知 a1 a2 a3 an 1 n 1 2 8 已知 an 是递增数列 且对于任意的n n an n2 n恒成立 则实数 的取值范围是 解析因为 an 是递增数列 所以对任意的n n 都有an 1 an 即 n 1 2 n 1 n2 n 整理 得2n 1 0 即 2n 1 因为n 1 所以 2n 1 3 要使不等式 恒成立 只需 3 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 9 已知数列 an 的前n项和sn 2n 1 2 1 求数列 an 的通项公式 解当n 1时 a1 s1 22 2 2 当n 2时 an sn sn 1 2n 1 2 2n 2 2n 1 2n 2n 因为a1也适合此等式 所以an 2n n n 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 2 设bn an an 1 求数列 bn 的通项公式 解因为bn an an 1 且an 2n an 1 2n 1 所以bn 2n 2n 1 3 2n 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 10 已知数列 an 的通项公式为an 试判断此数列是否有最大项 若有 第几项最大 最大项是多少 若没有 说明理由 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 当n0 即an 1 an 当n 8时 an 1 an 0 即an 1 an 当n 8时 an 1 ana10 a11 故数列 an 有最大项 为第8项和第9项 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 2 3 4 5 1 1 数列 an 的前n项和为sn 若a1 1 an 1 3sn n 1 则a6 解析当n 1时 an 1 3sn 则an 2 3sn 1 an 2 an 1 3sn 1 3sn 3an 1 即an 2 4an 1 该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列 又a2 3s1 3a1 3 2 3 4 5 1 当n 6时 a6 3 46 2 3 44 768 答案768 2 3 4 5 1 2 对于数列 an an 1 an n 1 2 是 an 为递增数列 的条件 解析当a