数学导航高考数学大一轮复习 第二章 5函数的单调性与最值课件 文.ppt

函数的单调性与最值 温馨提示 请点击相关栏目 整知识 萃取知识精华 整方法 启迪发散思维 考向分层突破一 考向分层突破二 考向分层突破三 考向分层突破四 1 函数单调性 1 增函数 减函数 整知识 考点 分类整合 结束放映 返回导航页 若函数y f x 在区间d上是增函数或减函数 则称函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 区间d叫做y f x 的单调区间 2 单调性 单调区间 结束放映 返回导航页 2 函数的最值 结束放映 返回导航页 1 定义法 取值 作差 变形 定号 下结论 2 复合法 同增异减 即内外函数的单调性相同时 为增函数 不同时为减函数 3 图象法 如果f x 是以图象形式给出的 或者f x 的图象易作出 可由图象的直观性判断函数单调性 4 导数法 利用导函数的正负判断函数单调性 1 判断函数单调性的四种方法 整方法 考点 分类整合 1 闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值 当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到 2 开区间上的 单峰 函数一定存在最大值 最小值 2 有关函数最值的两个结论 结束放映 返回导航页 例1 判断函数f x 在 1 上的单调性 并证明 解析 当a 0时 函数y f x 在 1 上单调递增 当a 0时 函数y f x 在 1 上单调递减 证明如下 设 1 x1 x2 则f x1 f x2 10 x2 1 0 当a 0时 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 函数y f x 在 1 上单调递增 考向分层突破一 函数单调性的判断 同理当a0 即f x1 f x2 函数y f x 在 1 上单调递减 结束放映 返回导航页 跟踪训练1 试讨论函数f x x 1 1 的单调性 解析 设 1 x1 x2 1 则f x1 f x2 10 x12 10 0 因此 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 此时函数为减函数 结束放映 返回导航页 归纳升华 1 判断函数的单调性应先求定义域 2 用定义法判断 或证明 函数单调性的一般步骤为 取值 作差 变形 判号 定论 其中变形为关键 而变形的方法有因式分解 配方法等 3 用导数判断函数的单调性简单快捷 应引起足够的重视 结束放映 返回导航页 考向分层突破二 求函数的单调区间 例2 1 2014 山西太原一模 函数y log 2x2 3x 1 的递减区间为 a 1 b c d 解析 1 由2x2 3x 1 0 得函数的定义域为 1 令t 2x2 3x 1 则y logt 又y logt在 1 上是减函数 函数y log 2x2 3x 1 的单调减区间为 1 t 2x2 3x 1 t 2x2 3x 1的单调增区间为 1 结束放映 返回导航页 2 2014 广东中山质检 y x2 2 x 3的单调增区间为 2 由题意知当x 0时 y x2 2x 3 x 1 2 4 当x 0时 y x2 2x 3 x 1 2 4 二次函数的图象如图 由图象可知 函数y x2 2 x 3在 1 0 1 上是增函数 答案 1 0 1 结束放映 返回导航页 解析 根据对数函数的性质 可知 x2 2x 3 0 故此函数的定义域为 1 3 跟踪训练1 函数f x 的增区间为 a 1 1 b 1 c 1 d 1 3 令内函数t x2 2x 3 外函数为y 外函数为减函数 而内函数在 1 1 上为增函数 在 1 3 上为减函数 所以依据 同增异减 原则 得f x 在 1 3 上为增函数 选项d正确 结束放映 返回导航页 跟踪训练2 函数y x 3 x 的递增区间是 解析 y x 3 x 作出该函数的图象 观察图象知递增区间为 答案 x y 0 3 结束放映 返回导航页 2 如果是复合函数 应根据复合函数的单调性的判断方法 首先判断两个简单函数的单调性 再根据 同则增 异则减 的法则求解函数的单调区间 归纳升华 1 函数单调区间的求法 1 函数的单调区间是函数定义域的子区间 所以求解函数的单调区间 必须先求出函数的定义域 对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解 如二次函数 对数函数 指数函数等 结束放映 返回导航页 例3 已知f x x a 1 若a 2 试证明f x 在 2 内单调递增 2 若a 0且f x 在 1 内单调递减 求a的取值范围 a 0 x2 x1 0 要使f x1 f x2 0 只需 x1 a x2 a 0恒成立 a 1 综上所述知0 a 1 考向分层突破三 利用函数的单调性求参数 解析 1 证明 任设x1 x2 2 则f x1 f x2 x1 2 x2 2 0 x1 x2 0 f x1 f x2 f x 在 2 内单调递增 2 任设1 x1 x2 则f x1 f x2 结束放映 返回导航页 解析 任取2 x1 x2 即当2a恒成立 又x1x2 4 则0 a 4 即实数a的取值范围是 0 4 答案 0 4 同类练1 已知函数f x a 0 在 2 上递增 则实数a的取值范围为 结束放映 返回导航页 令f x 0 得 1 x 1 所以f x 的增区间为 1 1 因为区间 m 2m 1 隐含2m 1 m 即m 1 所以 1 m 0 答案 1 0 变式练2 2014 湖北荆门龙泉中学8月月考 若函数f x 在区间 m 2m 1 上单调递增 则m的取值范围为 解析 因为f x 又因为f x 在 m 2m 1 上单调递增 所以解得 1 m 0 结束放映 返回导航页 答案 c 拓展练已知f x 对任意的x1 x2 r 都有 x1 x2 f x1 f x2 0 则实数a的取值范围是 a 0 1 b c d 结束放映 返回导航页 考向分层突破四 函数单调性的应用 当x 1时 易知函数f x x2 2在x 0处取得最大值为f 0 2 故函数f x 的最大值为2 例4 1 函数f x 的最大值为 解析 1 当x 1时 函数f x 为减函数 所以f x 在x 1处取得最大值 为f 1 1 结束放映 返回导航页 2 f x 是定义在 0 上的单调增函数 满足f xy f x f y f 3 1 当f x f x 8 2时 x的取值范围是 a 8 b 8 9 c 8 9 d 0 8 解析 2 1 1 f 3 f 3 f 9 由f x f x 8 2 可得f x x 8 f 9 因为f x 是定义在 0 上的增函数 所以有x 0 x 8 0 且x x 8 9 解得8 x 9 答案 b 结束放映 返回导航页 跟踪训练1函数y f x 在r上单调递增 且f m2 1 f m 1 则实数m的取值范围是 a 1 b 0 c 1 0 d 1 0 解析 1 由题意得m2 1 m 1 故m2 m 0 故m 1或m 0 答案 d 2 已知函数f x loga x 在 0 上单调递增 则 a f 3 f 2 f 1 b f 1 f 2 f 3 c f 2 f 1 f 3 d f 3 f 1 f 2 解析 因为f x loga x 在 0 上单调递增 所以a 1 f 1 f 2 f 3 又函数f x loga x 为偶函数 所以f 2 f 2 所以f 1 f 2 f 3 答案 b 结束放映 返回导航页 3 已知函数f x a 0 x 0 若f x 在上的值域为则a 解析 由反比例函数的性质知函数f x a 0 x 0 在上单调递增 答案 所以 即 解得a 结束放映 返回导航页 单调性的应用主要涉及利用单调性求最值