（应用数学专业论文）涉及分担值的亚纯函数正规性.pdf

摘要 上世纪初，m o n t e l 弓( 进了正规族的概念，正规性是单复变函数中的一个重要的研究 课题在正规族理论中，寻找新的正规定则是一个重要的课题，国内外许多学者对此做了 大量卓有成效的研究工作本文主要研究了涉及分担值的亚纯函数族的正规性问题，全 文共分为四章： 第一章主要介绍n e v a n l i n n a 基本理论的一些基本概念和结果，并对本文所用到的一 些定义和常用符号作了介绍 第二章讨论了全纯函数和它的一阶导数分担多项式的几个正规定则，主要证明了 定理2 1 2 定理2 1 2 设莎为区域d 上的一个全纯函数族，后( 2 ) 是一个正整数，p ( z ) 是一 个多项式，若对于任意的有，箩，和，c m 分担p ( 名) ，且当，( z ) = p ( z ) 时，有i f ( 七) ( z ) i k ，则莎在d 内正规 第三章讨论了全纯函数和它的一阶导数分担整函数正规定则，主要证明了定理3 1 2 定理3 1 2 设夕为区域d 上的一个全纯函数族，七( 2 ) 是一个正整数，q ( z ) 是一 个整函数，k 是一个正整数若对于任意的有莎，和7 c m 分担q ( 名) ，且当( z ) = q ( z ) 时，有l ，( 七) ( 名) i k ，则莎在d 内正规 第四章主要证明了涉及亚纯函数和它的k 阶导数的正规定则，即定理4 1 1 定理4 1 1 设箩为单位圆盘上的亚纯函数族，k 为一正整数，a ( z ) 是一个非零 的全纯函数若对任意的，莎， ( 1 ) ，和，伪) i m 分担a ( z ) ； ( 2 ) ( z ) 的零点重数南+ 1 则莎在单位圆盘内正规 关键词：亚纯函数；全纯函数；正规族；分担值 a b s t r a c t i nt h eb e g i n n i n go fl a s tc e n t u r y ，m o n t e li n t r o d u c e dt h en o r m a i c o n c e p t i o n i n n o 吼a l i t yt h e o r y ，f i n d i n gn e wn o r m a l i t yt h e o r e m si s v e r yi m p o r t a n t i nt h i sp a p e r w 8s t u d yn o 瑚a lf a m i l i e so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，w h i c hi s a ni m p o r t a n ts u b j e c t mc o m p l e xa n a l y s i s m u c hw o r kh a sb e e nm a d eo nt h i s r e s p e c t t h ep r e s e n tp a p e ri s d i v i d e di n t of o u rp a r t s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c es o m ef u n d a m e n t a lr e s u l t s ，s o m ed e f t n i t i o n sa n d s o m e n o t a t i o n so fn e v a n l i n n at h e o r y i nc h a p t e r2 ，w eo b t a i n e ds o m er e s u l t so nn o r m a l i t i e so fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n f a m i l i e sa n di t sd e r i v a t i v e sd e a l i n gs h a r e dp o l y n o m i a lc m ，a n d m a i n l yp r 0 、r et h e o r e m t h e o r e m2 1 2 l e t 莎b ea f a m i l yo fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n si nad o m a i nd ，七f 2 汕eap o s i t i v ei n t e g e r ，l e tkb ea p o s i t i v en u m b e r l e t 尸( z ) b eap o l y l l o m i a l i f f o re a c h ，莎，w h e n ，( 名) = p ( z ) ，z d ，h a v ei f ( 七) ( z ) f k ，w h e r e 厂a n d 厂，s h a r e d p ( z ) ，t h e n 莎i sn o r m a li nd i nc h a p t e r3 ，w eo b t a i n e ds o m er e s u l t so nn o r m a l i t i e so fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n f a r o i l i e sa n di t sd e r i v a t i v e sd e a l i n gs h a r e de n t i r ef u n c t i o nc m ，a n d m a i n l yp r o 、r et h e - o r e m3 1 2 t h e o r e m3 1 2 l e t b eaf a m i l yo fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n si na d o m a i nd ，后( 2 ) b eap o s i t i v ei n t e g e ra n dl e tq ( z ) b ea ne n t i r ef u n c t i o n ，kb ea p o s i t i v en u m b e r w h e n ，( z ) = q ( z ) ，z d ，h a v ei f ( 知) ( 名) i k ，w h e r e ，a n d ，7s h a r e da ( z ) ，t h e n 莎i s i nc h a p t e r4 ，w eo b t a i n e dar e s u l to nn o r m a l i t i e so fm e r o m o r p h i c f u n c t i o nf a 砌j e s a n d ，( 七) d e a l i n gs h a r e dah o l 。m 。r p h i cf u n c t i 。no nt h eu n i t ，a n dm a i n l yp r 。v e t h e o r e m4 1 1 t h e o r e m4 1 1l e t 莎b eaf a m i l yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o i l so nt h ed i s c l 毗。( z ) b ean o m z e r 。h o l 。m o r p h i cf u n e t i 。na n dkb ea p o s i t i v ei n t e g e r i ff o re v e r y f 岁。 ( 1 ) ，a n d ，( 七) s h a r eo ( z ) ； ( 2 ) t h ez e r o so f ，( z ) a r eo fm u l t i p l i c i t y k + 1 t h e n 孑i sn o r m a lo n 公。 k e y 、r d s ： m e r o m o r p h i cf u n c t i o n ；h o l o m o r p h i cf u n c t i o n ；n o 咖a l f a m i l i e s ；s h a r e dv a l u e s 工i 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后 果由本人承担 作者签名：日期：年月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书 2 、不保密c z i ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：日期：年月日 导师签名：。仰了 日期 夕月日 第一章绪言弟一早珀苗 1 1 研究背景与发展状况 r n e v a n l i n n a 整函数与亚纯函数是函数论的一大分支关于值分布理论的研究， 起源于p i c a r d 定理，而后j u l i a 和b o r e l 以及v a l i r o n 等数学家作出了进一步的研究，得 到了许多成果到1 9 2 5 年，由芬兰数学家r n e v a n l i n n a 弓 入了亚纯函数的特征值这个概 念，建立了亚纯函数的第一基本定理和第二基本定理，统一了前述的所有成果，奠定 了整函数与亚纯函数值分布理论的基础( 以往的p i c a r d ，b o r e l 的定理都成为它的简单推 论) ，称为n e v a n l i n n a 理论几十年来，值分布论在n e v a n l i n n a 理论的影响下取得了许多 丰硕的成果随着对这一理论的深入探究，值分布论不断完善同时，值分布论逐渐向 复分析及数学的其他领域渗透，广泛应用于亚纯函数正规族理论，亚纯函数唯一性理 论及微分方程复振荡理论等 上t h = 纪二十年代，法国数学家p m o n t e l 提出了正规族的概念他把具有某种列紧 性的函数族称为正规族这是一个非常重要的概念，p m o n t e l 成功的把函数族是否正 规与函数取值问题联系起来，建立了重要的正规定则，在证明正规定则时，函数值分布 常常起着关键的作用从2 0 世纪8 0 年代开始活跃起来的复解析动力系统就是以正规族 作为其基本概念在正规族理论中，寻找新的正规定则是一个重要的课题全纯函数和 亚纯函数的正规族理论是复分析中的一个重要组成部分近年来，把正规族与分担值 联系起来是颇为活跃的研究课题 众所周知，平面上任一无限点集至少存在一个聚点( 有穷或无穷) ，这就是集的列紧 性，但一族函数就未必具有上述性质上世纪初，p m o n t e l 引进了正规族的概念，他把 具有某种列紧性的函数族成为正规族，并且把函数族的正规性与函数取值联系了起来， 并建立了重要的正规定则，俗称m o n t e l 定则：”设莎为区域d c 内的一族全纯函数， 如果族莎中的每个函数在d a = 不取0 和1 ，则莎在区域d 内是正规的”之后，m i r a n d a 把函数族的正规性与函数的导函数的取值联系起来证明了：”设夕为区域d c 内的 一族全纯函数，如果族莎中的每个函数在d 内满足：f ( z ) 0 ，且，( 南) ( 名) 1 ，则莎在 区域d 内是正规的”从此开辟了正规族研究的新领域近年来，顾永兴把m i r a n d a 定则 推广到亚纯函数后，又开创了关于亚纯函数正规性研究的新篇章在我国，关于亚纯函 数正规性的研究比较活跃，并且也取得了很多成果 从9 0 年代起，把亚纯函数族的正规性和唯一性联系起来是颇为活跃的研究课题此 研究最初由s c h w i c k 开始，到现在已经获得了许多重要的成果 1 2n e v a n l i n n a 理论概述 1 9 2 5 年，芬兰数学家r n e v a n l i n n a 建立了亚纯函数的两个基本定理，开始了值分 布论的近代研究几十年来，亚纯函数值分布论的新发展( 其中包括了亚纯函数正规族 1 理论，亚纯函数唯一性理论及微分方程复振荡理论等) 都是以n e v a j l l i n n a 理论为基础的 因此，本章将扼要叙述n e v a n l i n n a 基本理论 首先约定，本文总是用c 表示复平面，n 表示全体自然数，n + 表示全体正整数，r 表示全体实数，r + 表示全体正实数 定义1 2 1 对于z20 ，定义z 的正对数为 l o g + x = 1 。美1 容易看出，对于任意的z 有 l o gx = l o g + z l o g + 言 定义1 2 2 m ( 7 ，) 2 嘉上1 0 9 + i m e 叩) i 咖 嘶，万1 ) = 去- ( 斯- 矿而b 却 m ( r ，) 也记y g m ( r ，f = o 。) 或者m ( r ，。o ) ，是指i f ( z ) i 的正对数在i z l = r 上的平 均值；m ( r ，击) 也记为m ( r ，f = 口) 或者f m ( r ，q ) n ( r ，) 表示，( z ) 在h r 内的极点个数，其重级极点按其重数计算n ( o ，) 表 示，( z ) 在原点处极点的重级( 当，( o ) 。时，贝l j n ( 0 ，) = 0 ) n ( r ，) 表示，( 名) 在i z l r 内的零点个数，其重级零点按其重数计算扎( o ，亭) 表 示，( z ) 在原点处零点的重级 佗( r ，击) 表示，( z ) 一。在r 内的零点个数( 其中。为任意的有穷复数) ，重级 零点按其重数计算n ( r ，7 与) 也记为n ( r ，= o ) 或者n ( r ，o ) ；n ( o ，南) 表示，( z ) 一。在 原点处零点的重级，也记为n ( 0 ，f = a ) 或者扎( 0 ，o ) n ( r ，手) 表示，( z ) 在1 名i 冬r 内的零点个数，每个零点只计算一次瓦( r ，忐) 也记 y g n ( r ，f = a ) 或者瓦( r ，n ) 定义1 2 3 ( 7 ，) ：f 丌! s 二l 掣出+ 死( o ，) l 。g r 脚，击，= z 霄盟掣班堋击m g r n ( r ，) 也记为( r ，= 0 0 ) 或者( r ，0 0 ) ，是，( z ) 极点的密指量；g ( r ，击) 也记 为( r ，f = a ) 或者n ( r ，a ) ，是，( 名) 的n 一值点的密指量 定义1 2 4 矾，万1 ) = f o ”受掣_ ( o ，击) l o g r 2 称为，( z ) 一n 的精简密指量，击) 也记为( r ，f = o ) 或者万( r ，口) 定义1 2 5 定义，( z ) 的特征函数为t ( r ，) ，t ( r ，) 满足 丁( r ，f ) = r e ( r , f ) + n ( r ，f ) 定义1 2 6 嫠2 y ( z ) 于复平面c 亚纯，( 名) 的级a 和下级p 分别定义为t ( r ，f ) 的 级- q 下级既 a ：l i m s u p l o g + _ t ( r 一, f ) p ：l i m 溉f l o g + t ( r , f ) 定理1 2 1 ( p o i s s o n - j e n s e n 公式) 设函数厂( e ) 在吲r ( 0 r o o ) 上亚纯， 似= 1 ，2 ，m ) ，b v ( = 1 ，2 ，) 分别为，( ( ) 在 r 内的零点和极点 若z = r e 硼为 r 内不与。口，b p 相重的任意一点，则 l o g l f ( 圳= j lf 0 2 l o 出( 叫i 而磊岛牙如 + y 差二l o g i 叭r 2 _ _ a 幽u z p ni 制i 系1 在定理1 2 1 条件下，若，( ( ) 在r 上没有零点和极点，则对于任意点名，i z i = r 冗，有 1 0 9l f ( 刊1 f 2 , 。训( l 再篆岛肝咖 这就是p o i s s o n 公式 系2 在定理1 2 1 条件下，若f ( o ) 0 ，。o ，则 ，o si 朋肛去z 孙o g i ，( 膨吲一；m 。g 而r + 薹nt 昭南 这就是j e n s e n 公式 由定义1 2 5 ，于是j e n s e n 公式可以写为 l o gi c r i + ? ( r ，) = t ( r ，) ， 式( 1 2 1 ) 有时也称为j e n s e n n e v a n l i n n a 公式 ( 1 2 1 ) 定理1 2 2 ( n e v a n l i n n a 第一基本定理) 设，( 石) 于 兄( o 。) 内亚纯若。为 任意的一个有穷复数，则对于0 r r 由 聊，击) = t ( 吖) + l o g i c ，- i + ( 口，吐( 1 2 2 ) 3 其中，c r 为商1 在原点的丁n 可z 凹展式中的第一个非零系数，而 i ( n ，r ) i l o g + l a l + l 0 9 2 我们通常将式( 1 2 2 ) 简写成 t ( r ，忐) = t ( r ，) + d ( 1 ) 定理1 2 3 ( n e v a n l i n n a 第二基本定理) 设，( z ) 为开平面上的非常数亚纯函数， a j ( j = 1 ，2 ，q ) 为q ( 3 ) 个判别的有穷复数( 其中之一可以是) ，则 ( g _ 2 妒p ) 善( r 去) - l ( n 郸( r j ) 其中 l = 2 n ( r ，) 一( 7 ，) + ( r ，去) 跗嘶如嘶喜南) + d ( 1 ) 可能需除去一个集合e ，其线性测度为有穷 我q j , - - i 以对第二基本定理的余项进行估计，则有： 定理1 2 4 设，( z ) 于开平面内亚纯，且不蜕化为常数，则 ( 1 ) 当，( 名) 为有穷级时，有 ( 2 ) 当，( 名) 为无穷级时，有 s ( r ，) = o ( 1 0 9 r ) ， s ( r ，f ) = o l o g ( r t ( r ，) ) ) ， r 一( 2 0 可能须除去一个集合e ，其线性测度为有穷 定理1 2 5 ，( m i l l o u x 不等式) 设厂( z ) 于i z l r ( so 。) 内亚纯，若，( o ) 0 ，o o ；，( 七) 1 ；，( 七十1 ) 0 ，则对于0 r r 有： t ( r ，) ( 7 ，) + ( r ，7 1 ) + ( 7 ，7 i 哺1 ) 一( n 丽1 ) + s ( r ，) 其中 州) = m ( r ，等) + m ( r ，竿) + m ( r ，篙) + l o gi 掣糍铲i + l o g 2 s ( r ，) = ，生f ) +，生1 ) +，名丽1 ) +i 生竖今丧了芾i + 定理1 2 6 ，( h a y m a n 不等式) 设函数，( z ) 于i z l r ( 。o ) 内亚纯，不蜕化为多 项式若k 为一正整数，若，( 0 ) 0 ，o o ；，( 膏) 1 ；，( 七+ 1 ) 0 ，以及 ( k + 1 ) ，( 七+ 2 ( 0 ) ( ，( 岛( o ) 一1 ) 一( k + 2 ) ，( 七+ 1 ( o ) 2 0 4 臾u x 丁- f u r 0 ，使得当m ，佗n 时，有入( 厶( 名) ，厶( z ) ) ( z e ) 定义1 3 3 我们称函数族莎在集e 上一致有界，如果存在以正数m ，使得对 于莎中任一函数f ( z ) 和e 上任意点z 恒有i f ( z ) l m 定义1 3 4 我们称函数族萝在集e 上同等连续，如果给定的正数，存在相应 的6 = 万( e ) ，对于族莎中任意函数f ( z ) 和e 上任意两点z l 和z 2 ，只要z l z 2 l 巧就 有i f ( z 1 ) 一f ( z 2 ) l ； e f ( z ) = ，( z ) 一a = 0 ，名d ，重级零点只计算一次) 设厂与9 为d 内的两个非常数的亚纯函数，若毋( n ) = 岛( 口) ，则称，与夕在d 内 以a 为c m 分担值；若e ，( n ) = 一e g ( o ) ，则称，在g 内以。为，m 分担值 若f = 妒1 和g = 妒1 的零点相同且重级零点按重数计算，则记为f = 妒1 今夕= 妒1 c m 若f = 妒1 乍专g = 妒1 c m 于d ，则称为，和夕在d 内以妒1 为c m 分担值 设e ( z ) 是一个多项式，若f ( z ) 一p ( z ) = 号g ( z ) 一p ( z ) = ，则称为，和g 分担多 项式 设，为复平面c 上的亚纯函数，m 为一正整数，若对于任意的z d ，都有，孝m ，则称，为复平面上c 的正规函数这里的，孝为，的球面导数，即 九垆揣 设d 为复平面c 上的一个区域，莎为区域d 内的一个全纯函数族，莎在d 上正 规是指莎中的任一函数列 厶) 都存在子列 厶， ，使得 厶，) 在d 上按球面导数一致 收敛到一个全纯函数或0 0 1 9 9 2 年，w s c h w i c k ( 见文献 1 0 】) 率先开展了分担值与正规族的研究，他证明了： 定理a 设夕为区域d 上的一个亚纯函数族，a l ，a 2 ，a 3 为3 个相互判别的有穷复 数，若a 1 ，a 2 ，a 3 为，和，7 在d 中的，m 分担值，其中，为族莎中的任意一个函数，则莎 在d 内正规 8 2 0 0 6 生f ，徐炎( 见文献 1 2 】) 得到了全纯函数，及其- - n 导数f c m 分担不动点的正 规定则，他证明了： 定理b 设莎为区域d 上的一个全纯函数族，七( 2 ) 是一个正整数，若对于任意 的，莎，当，( z ) = z 时，有，( 蠡) ( z ) = z ，且，和c m 分担不动点，则夕在d 内正规 事实上，他得到了下面更强的结果： 定理c 设莎为区域d 上的一个全纯函数族，七( 2 ) 是一个正整数，k 为一正数 若对于任意的f 箩，当厂( 名) = z 时，有i f ( 七) ( z ) i k ，且，和f c m 分担不动点，则岁 在d 内正规 2 0 0 7 年，刘志宏( 见文献 1 3 1 ) 得到了全纯函数分担护的正规定则，他证明了： 定理d 设莎为区域d 上的一个全纯函数族，七( 2 ) 是一个正整数，若对于任意 的f 罗，当，( z ) = z p 时，有，( 七) ( z ) = z p ，且，和f c m 分担z p ，则莎在d 内正规 事实上，他证明了： 定理e 设莎为区域d 上的一个全纯函数族，七( 2 ) 是一个正整数，k 为一正数 若对于任意的f 莎，f 和f 7 c m 分担矿，且当f ( z ) = z p 时，有i f ( 知) ( z ) i k ，则箩 在d 内正规 本文推广了刘的结论，证明了更为一般的情况： 定理2 1 1 设莎为区域d 上的一个全纯函数族，后( 2 ) 是一个正整数，p ( z ) 是一 个多项式，若对于任意的f 岁，f 和f c m 分担p ( z ) ，且当，( z ) = p ( z ) 时，有，( 。) ( 名) = p ( 名) ，则莎在d 内正规 定理2 1 2 设莎为区域d 一个全纯函数族，七( 2 ) 是一个正整数，k 为一正数 p ( z ) 是一个多项式，若对于任意的有f 莎，f 和f c m 分担p ( z ) ，且当f ( z ) = p ( z ) 时，有i f ( 七) ( 名) i k ，则莎在d 内正规 由定理2 1 2 ，立刻可以得到： 推论2 1 1 设莎为区域d 一个全纯函数族，后( 2 ) 是一个正整数，p ( z ) 是一个 多项式，若对于任意的f 莎，f ，f 和，) c m 分担p ( z ) ，则莎在d 内正规 2 2重要引理 引理2 2 1 ( 见文献【1 l 】) 设岁为区域d 一个全纯函数族，对于任意的，夕，f 的 零点的重级至少为七，且( 1 ) ，( z ) = 0 时，必有i ，( 知) i a ，( 2 ) 矿在z o 处不正规，那么对于 每一个q ，0 q k ，存在 实数7 ，0 r 为区域d 上的全纯函数族，若 鲂，在d o ( z o ，r ) = 名i | z z o l r ) 内正规，在d ( z o ，r ) = z h z z o l o ) ，使得在d o ( 翔，r ) 内存在 鼽 的子列 鲰。 内闭一致收敛于函数h ，其中函数h 在d o ( 知，r ) 上全纯或等于o 。因此要区分两种情况 情况1 h 在d o ( 徇，r ) 是全纯的对任意的0 r 0 ，对在d ( z o ，；) 上用最大模原理可知，在z o 的 邻域内存在 鲰 的一子序列 鲰。) 一致趋于无穷这也是个矛盾 即证 肌) 在d 内正规 2 3定理的证明 由正规族的局部性可以假设d 为有界区域，从而存在a 0 ，使得i f ( z ) i a ，所 以只要证明定理2 1 2 成立，定理2 1 1 就成立 证明：设g = g ( z ) = ，( z ) 一p ( z ) ，f ( z ) 莎，z d ，则对于任意的g g ，有夕( 名) = 0 仁净夕7 ( z ) = p ( z ) 一p ，( 砂c m ，且在d 内有夕( z ) = 0 = 辛1 9 ( 七) i k ，设z l 名i p ( z ) 一p 7 ( z ) = 0 ，z d ，由正规族的局部性，可以假设d = i z l i + 1 1 0 ，而g 是面 h 1 名1 i + 1 上的全纯函数族此时只需证明g 在d 内任意点z o 都是正 规的其证明分两步 ( _ ) 设z o d ，r z o 隹 z i 尸( 名) 一p ，( 名) = 0 ，z d = 1 2 ：1 i + 1 ) ，首先证明g 在匈是正规的 假设g 在z o 不是正规的令m = s u p i p ( z ) 一p ( z ) i ，名d ) ，则 m o o ， 当夕( z ) = 0 时，( z ) i m i ，由引理2 2 1 ，存在一列函数g n g ，一复数列，一z o ，一正数列砌一0 使得 瓯( ) = 簖1 鲰( + m ) ，( 2 3 1 ) 在c 上局部一致收敛于一个非常数的整函数g ( f ) ，且g 群( ) g 襻( o ) = m + 1 由引 理2 2 2 可知g ( ) 为指数型的，由引理2 2 3 可知g ( ) 的级至多为1 首先要证明g ( 毒) = 0 号g 7 ( ) = p ( z o ) 一( z o ) 假设g ) = 0 ，f h h u r w i t z 定理，当n 充分大时，存在厶，靠啼岛，使得g n ( 矗) = 陈1 鲰( + 风厶) = 0 ，即有吼( 锄+ 砌矗) = 0 由于g ( z ) = 0 仁令9 z ) = p ( z ) 一p z ) ，则有磊( + m 靠) = p ( + 耽厶) 一 p ，( + 风矗) ，于是 g ，( 岛) = l i m 炙( + 肌靠) = l i m p ( z n + p n 厶) 一尸j ( + p n 矗) ) n + = p ( z o ) 一p ( 幻) 于是已证g ( ) = 0 号g ，( ) = p ( z o ) 一p ( z 0 ) 再证明g ，( ) = p ( 绚) 一p ( z o ) 号g ( ) = 0 现假设g ) = p ( z o ) 一p ( z o ) 显然g ) p ( z o ) 一p ( z o ) 否则g ( ) = p ( z o ) 一p ( 劲) j 一如) + a c 为常数则矿( o ) i p ( z o ) 一尸( 2 j d ) i m ，这与g 孝( o ) = m + 1 矛盾注意到 五( + 砌专) 一【p ( z n + 阳) 一p ( + m ) 】一g ( ) 一 p ( 徇) 一p ，( 2 j d ) 】， ( 2 3 2 ) i 主l h u r w i t z 定理，当n 足够大时，存在厶，靠一岛，使得 五( + 肌靠) = p ( + 风厶) 一p 7 ( + 肌厶) 由于夕n ( z ) = 0 兮炙( z ) = p ( z ) 一p ( 名) ，则有肌( + 风f ) = 0 所以 g ) = l i m 瓯) n o o = l i m 簖1 鼽( + 风厶) n 。o = 0 1 1 于是有g ( ) = p ( z o ) 一p ( z o ) 争g ( ) = 0 综合有g ( ) = 0 台兮g ，( ) = p ( z o ) 一p 7z o ) 还要证明g ( ) = 0 专g ，( ) = p ( z o ) 一p ( z o ) c m 假设g ，( f ) 一 p ( z o ) 一p ，( 缅) 】在岛处有m 重零点，且在岛的足够小的邻域内没有 其他零点，则g ( 矗) = 0 ，由式( 2 3 2 ) 和g ( ) p ( z o ) 一p ( z o ) ，根据h u r w i t z 定理，对 于每个足够大的佗，都可以找到m 列 筘 ，l i r a 簦= 岛，( i = 1 ，2 ，m ) ，使得 9 ( + 砌g ) 一 p ( z n + 风毋) 一p 7 ( + p a l 2 ) 】= 0 ，( i = 1 ，2 ，m ) 则鲰( 磊+ p n 荨( 0 ) = 0 ，( i = l ，2 ，m ) 从而有 g 竹( g ) = p 二1 9 n ( z n + p n 鬻) = 0 ，( i = l ，2 ，m ) 另外对足够大的几由于p ( + 风爵) 一p ( + p 竹g ) 一p ( z o ) 一p ( 硒) 0 有 ( 爵) = 五( + 砌毋) = p ( 十砌器) 一p ( + 砌器) 0( i = 1 ，2 ，m ) 因此，每个爵都是g 竹( ) 的简单零点，于是每列 毋) ，( i = 1 ，2 ，m ) 不会重 合，由r d u c h 6 定理可知，g ( 毒) 在岛的零点重级也是m ，就有g ( ) = 0 每号g 7 ( ) = p ( z o ) 一p ( z o ) c m h a r d a m a r d 分解定理，有 g - p ( z 了o ) f - p 一 ( z o ) ：e q ( z ) ， ( 2 3 3 ) n 一 ，、一。， 其中q ( z ) 为多项式，由式( 2 3 3 ) n - - 叮得 ( 2 3 4 ) 因为g ) 的级至多为1 ，由引理2 2 4 可知，q ( z ) 必定为常数c ，设a = e c ，则 g = a g + p ( z o ) 一p ( 徇) ，( 2 3 5 ) 通过简单计算，司得： g ( ) ：b 一p ( z o ) i - p 一 ( z o ) ， ( 2 3 6 ) 其中b 为一非零常数，则有g ( 七) ( ) = a 知b e 出0 ，显然g ( f ) 有无穷多个零点，但 是g ( 七( ) 无零点，这与g ( ) = 0 争g ( 知) ( ) = 0 矛盾 所以对任意的询d ，且z o 隹 z l p ( z ) 一p z ) = 0 ，z d = t z l l z l i + 1 ) ，g 是正规的 1 2 o g 在点约= z l z l p ( z ) 一p ( 2 ) = 0 ，名d ) 也是正规的 假设g 在点徇= z l 不正规，则存在序列g n g ，其任一子序列在点翔= z l 的邻 域内都不内闭一致收敛，因此 鲰) 在点翔= z l 不正规，由引理2 2 1 可知，存在一子序 列 肌。) ，一复数列。，锄一魂和一正数列胁一0 ，使得 瓯。( ) = 鲰。( 。+ p n 。专) - - - - - - 4 g ( f ) ， ( 2 3 7 ) 在c 内闭一致收敛，其中g ( ) 是一非常数的整函数，由步骤( 一) 的证明可以知道，g ( ) 是指数型的，级至多为1 ，因此由h a r d a m a r d 分解定理可得 g ( ) = p ( ) e ，( 2 3 8 ) 其中p ( ) 是一多项式，a ，b 是常数，与步骤的讨论相同，可以得到 g ( f ) = 0 错g ，( 亭) = 0 ，( 2 3 9 ) 假设存在一点岛，使得g ( 岛) = 0 ，设其重数为m 由式( 2 3 8 ) g ( ) = p ( ) e 枘，显 然a = 0 否则假设q 0 ，则有g 7 ( ) = f p ，( ) + o p ( f ) 】e 舶联立式( 2 3 8 ) ，( 2 3 9 ) 则 可得 p ( ) e 喏帕= 0 铮【p 7 ) + n p ) 】e 舳= 0 即 p ( ) = 0 车= p 7 ( 毒) + o p ) = 0 ，其右边等式可化为：= 一p ，p _ g ( 2 ) ，又因为2 5 d 是g ( ) = p ( ) e 帕= 0 的m 重零点，则如 也是p ( 专) 的m 重零点及p ，( ) 的m 一1 重零点所以器= 0 ，但：0 ，这与假设矛 盾所以n = 0 于是 g ( ) = p ( 专) e 6 ， ( 2 3 1 0 ) 其中e 6 为常数 由于g ( ) = p ( ) e 6 则g ，( ) = p ，( 毒) e 6 由式( 2 3 9 ) ，则有 g ( ) = p ( ) e 6 = 0 仁令g ，( ) = p ( ) e 6 = 0 设1 ，已，靠是g ( ) 的重零点，其重数分别为q 1 ，o r 2 ，同时1 ，已，矗也 是p ( 毒) 的重零点，其重数分别为q 1 ，0 1 2 ，o l 竹，则 p ( ) = s f f 一6 ) 口1 代一已) 舰 一靠) p ， ) = b 一，) a 一1 一已) a 。一1 一靠) a n 一1 【q ， 一巳) ( 毒一6 ) ( 一靠) + 口2 一1 ) 一6 ) ( 一矗) + q 。 一1 ) 一已) 一厶一) 】于是1 ，已，靠也 是p ，( ) 的重零点，其重数分别为q 1 1 ，o r 2 1 ，a n 一1 ，联立式( 2 3 9 ) ，( 2 3 t o ) , - i 得尸( ) = 0 乍兮尸，( 0 = 0 成立，若设尸( f ) 的次数o 1 + 眈+ + 口n = m ，那么p ( f ) 的次数 ( 口l 1 ) + ( 0 ：2 1 ) + + ( 一1 ) = m 一1 = 净m 一九= m 一1 1 3 所以n = 1 于是必有l = 已= = 厶，令岛= l ，设其重级为7 i t ，则p ( f ) = b 一岛) m ，所以g ( ) 必定可以写成g ( ) = c 一岛) m 的形式，其中c = b e 6 为常 数，m ( 2 ) 为一正整数，显然c 0 由此可得 p 一k g 。( 。+ 砌。f ) 一c 心一岛) m 夕( 。+ p n 。专) 一f p ( 。+ 陬。f ) 一p ( z n 。+ 风。专) 】一m c 嬉一如) m 一1 但是跏。( z ) = 0 令五。( z ) = p ( z ) - p ( z ) c m ，由h u r w i t z 定理可得矛盾因此g ( ) o 从而当付充分大时，g n 也无零点由引理2 2 5 可知， 鲰 在z 1 这点正规，从而产生 矛盾 至此，定理2 1 2 证毕 1 4 第三章涉及分担整函数的正规定则 3 1引言及主要结果 我们将对以上的正规定则做进一步讨论 设q ( z ) 是一个整函数，若f ( z ) 一a ( z ) = 0 专夕( z ) 一a ( z ) = 0 ，则称为，和夕分 担整函数q ( z ) 自然的，我们会考虑：当把上述定理2 1 1 和定理2 1 2 中的多项式如果换成是一个 整函数，结论是否成立? 答案是肯定的事实上，我们证明了，和f 7 c m 分担了整函数 的正规定则，得到了以下结果： 定理3 1 1 设莎为区域d 上的一个全纯函数族，尼( 2 ) 是一个正整数，口( 名) 是一 个整函数，若对于任意的，岁，ff - l 】f c m 分担q ( z ) ，且当，( z ) = a ( z ) 时，有，( k ( z ) = q ( 名) ，则莎在d 内正规 定理3 1 2 设莎为区域d 上的一个全纯函数族，忌( 2 ) 是一个正整数，a ( z ) 是 一个整函数，k 是一个正整数若对于任意的有，罗，f 和，c m 分担q ( z ) ，且 当，( 名) = q ( 名) 时，有l ，( 七( z ) i k ，则莎在d 内正规 由定理3 1 2 ，立刻可以得到： 推论3 1 1 设莎为区域d 上的一个全纯函数族，七( 2 ) 是一个正整数，a ( z ) 是 一个整函数，若对于任意的，莎，f 和，( 知) c m 分担口( 名) ，则夕在d 内正规 3 2定理的证明 由正规族的局部性可知，只要证明定理3 1 2 成立，定理3 i 1 就成立 证明： 由正规族的局部性，可以假设d = h 1 ) 设g = 9 ( 名) = ，( z ) 一 q ( z ) ，f ( z ) 岁，z d ，f q ( 七) ( z ) i a ，则对于任意的g g ，有夕( z ) = 0 今g ( 名) = q ( z ) 一o l ( z ) c m ，且在d 内有9 ( z ) = 0 弓1 9 ( 七) i k + a 此时只需证明g 在d 内 任意点劲都是正规的其证明分两步 设z o d ，r z o 譬 z i q ( z ) 一q z ) = 0 ，名d = h l z l i + 1 ) ) ，首先证明g 在如是正规的 假设g 在匈不是正规的令m = s u p l q ( z ) 一q ( z ) l ，z d ) ，则 m o o ，当夕( z ) = 0 时，1 9 ( z ) m i ，由引理2 2 1 ，存在一列函数g n g ，一复数列，z n 一幻 ，一正数列风一0 使得 g ( ) = 万1 鲰( 磊+ 砌f ) ， 1 5 ( 3 3 1 ) 在c 上局部一致收敛于一个非常数的整函数g ( ) ，且g 书( ) g 孝( 0 ) = m + 1 由引 理2 2 2 可知g ( 毒) 为指数型的，由引理2 ，2 3 可知g ( ) 的级至多为1 首先要证明：g ( ) = 0 爿g ( ) = q ( ) 一n 7 ( ) 假设g ( 如) = 0 ，由t t u r w i t z 定理，当n 充分大时，存在矗，厶一+ 岛，使得g 。( 厶) = 陈1 鲰( + 耽矗) = 0 ，即有鲰( + 肪厶) = 0 由于9 ( 之) = 0 令9 ( z ) = a ( 名) 一o t z ) ，则有文( + p n 靠) = q ( + 加厶) 一 q ( z n + 肌靠) ，于是 d ( 矗) = l i r