（应用数学专业论文）等距群及其离散性的几个问题.pdf

1 舭一k 一 摘要 小文将m o b i u s 群| ，| 勺许：多著名结果摊“到l l a d a m a i d 流形的等_ f i ! i 群f ：，这些著名纠i 果对复分析、微分几何及它分支都很重要。 ， 酋先我们得到了截而| 1 1 j 率不大予一i 的 l a d a m a r d 流形的等距群的 极限集分类定理和稠密性定理。它们推。了m o b i u s 群、又义空问的 等趴群、离敞收敛群和可见流形的等距群的相应定理。 j o l g e n s e n 在1 9 7 6 年建立了m o b i u s 群的基本定理离做f q - ? f 1 ： 则。m a r t i n 在】9 8 9 年和1 9 9 3 年分别在群是有限生成的和具有一致 ，fj 界- 1 f l j 条1 ，f ：f 将它l 4 e j 。至0 商纠tm o b i u sl l ( - 平i lp i n c h e dh a d a m a l d 河e 形1 7 门等距珊上。我 i f 引入条件a ，l ：且指 i j 条件a 是离敞的必要条 什，一致有界挠是它的特殊情况，同时在条件a 之下，建立了p i n c h e d h a d a m a r d 流形的等距群的离散准则。 我 f fj - 矢f l 道，若要了解离散群形变的儿何必须考虑 撑序列的极限。 r i c l l i n g 、j o r g e n s e n 分别建立了平面m o b i u s 榭列的极限定那、代数 收敛性定理和收敛性定理等等。w i e l e n b e r g 和m a r t i n 分别在无挠、 订限化成和具有一致有界挠的条件下将它们摊广到高维情形。我们 在条f ，| ：a f 建立了这些定理。特别是在三维双曲情形，条件人等是 自然满足的，因此我们所得到的代数收敛性定理、极限定理利收敛 r j 定理与平丽上的经典情形一致。) a b s h a c t m a n yf a m o u s r e s u l t sf o rm o b i u sg r o u p s a r e g e n e r a l i z e d t ot h e g r o u p s o fi s o m e t r i e so fh a d a m a l dm a n i f o l d si l l t h i sd i s s e r t a t i o n w ei l r s to b t a i nt h ec l a s s i f i c a t i o nt h e o t e ma n dd e n s et h e o l e 1 1 o ft h e m i ts e to fa s u b g r o u p o fi s o m e t r i e so fi 。l a d a m m d m a a if o l d sw i t h s e c t i o n a lc u i - v a t u r e sw h i c hi sn o tm o r et h a n 一1 t h e s et w ot h e o r e m s g e n e r a l i z et h ea n a l o g u e t h e o r e m so fm o b i u sg r o u p s ，g r o u p so fi s o m e t r i e s o f h y p e r b o l i cs p a c e s ，d i s c r e t e c o n v e r g e n c eg r o u p s a n d g t o u p s o f i s o m e t i i e so f v i s i b i l i t ym a n i f o l d s i n19 7 6j o t g e n s e ne s t a b l i s h e d af i m d a r n e n t a lt h e o r e mo fm o b i u s 9 1 1 0 u p i n p l a n e c r i t e r i o n o fd i s c l e t e n e s s 1 1 119 8 9a n d19 9 3 m a r t i n g e n e r a l i z e d t h ec r i t e r i o nt oh i g h e rd i m e n s i o n a lm o b i u sg r o u p sa n dg l o u p s o fi s o m e t r i e so f p i n c h e dh a d a m a r dm a n i f o l d su n d m l h ec o n d i t i o nt h a tt h e g l o u p i s f i n i t e l yg e n e r a t e d a n dh a s u n i f o r m l y b o u n d e d t o r s i o n ， 1 e s p e c t i v e l y w ed e f i n ec o n d i t i o na ，a n ds h o wt h a tc o n d i t i o na i st h e n e c e s s a r yc o n d i t i o no f d i s c r e t eg r o u p s ，a n du n i f o l m l yb o u n d e dt o r s i o ni s s p e c i a lc a s eo f c o n d i t i o na u n d e rc o n d i t i o naw ee s t a b l i s ht h ec r i t e r i a o f d i s c l e t e n e s so f a g r o u p o f i s o l n e t r i e so f p i n c h e dh a d a m a r dm a n i f o l d s i ti s i m p m t a n tf o ru st od e v e l o pa l lu n d e r s t a n d i n go f t h eg e o m e h yo f d e f o r m a t i o no fag i v e nd i s c r e t eg r o u p ，aq u a l i t a t i v eu n d e r s t a n d i n gc a l lb e a t t a i n e dl l l o s tc o n c r e t e l yb yc o n s i d e r i n gl i m i t s o fs e q u e n c e so fg r o u p s h e l l i n g a n dj o r g e n s e ne s t a b l i s h e dt h ea l g e b r a i cc o n v e r g e n c et h e o l e l f ! i m i tt h e o l e ma n d c o n v e r g e n c e t h e o r e mi n p l a n e ，r e s p e c t i v e l y w i c l e n b e r ga n dm a r t i ng e n e r a l i z e dt h e mt o t l a eh i g h e rd i m e n s i o n a lc a s e u n d c l s o m ec o n d i t i o n s w eo b t a i nt h e s et h e o r e m so nt i l ei s o m e t r yg t o u p s o f p i n c h e dh a d a m a r d m a n i f o l d su n d e rc o n d i t i o na i nt h r e ed i m e n s i o n a l h y p e r b o l i cs p a c ec a s e ，c o n d i t i o nai s n a t u r a l l y s a t i s f i e da n dt h u st h e i m i tt h e o r e m ，a l g e b r a i cc o n v e r g e n c et h e o r e ma n dc o n v e r g e n c et h e o r e n l w eo b t a i n e da r et h es a m ea st h ec l a s s i c a lc a s ei np l a n e 前言 m 6 b i 、。变换群的研究已有一百多年的历史。1 8 5 5 年，m s b i u s 首先引入了平面 m 6 b i t t s 变换的概念【m 5 】，在这篇文章中他指出函数l p ：r 2 一r 2 是m 6 b i u s 变 换的充分必要条件是它保持交比不变。三维的m 6 b u s 变换在1 8 4 7 年被l i o u v i n e 考虑，1 8 5 0 年l i o h v i l l e 证明了一个引入注目的定理，即3 维空间的光滑共形 变换是m s b i u s 变换。1 8 6 8 年，b e l t r , - u n i 引入了上半空间模型的概念，特别姓 他得到了它的弧长元素，并指出其二维r i e m a n n 度量已经在1 8 5 0 年被l i o u v i l l e 证明具有常负截面曲率。1 8 7 2 和1 8 7 3 年，k l e i n 观察到n 维空间的m 6 b i u s 砭 换群与n + 1 维双曲空间的等距变换群同构。1 8 8 1 年，p o i n c a r 4 首先观察到 复平面上的m 6 b i u s 群的作用可以被提升( 扩张) 到整个三维空间，特别是可 以提升到三维非欧几何模型的上半空间。同样r ”的m s b i u s 变换也可扩张到 n + 1 维空间，因此我们可以作出gcs m ( r ”) 中每个l p 的p o i n c a r 4 扩张而把 g 作为双曲空间h n + i 的一个等距映射子群来研究。为了研究平面双曲空间的 等距变换，1 8 7 1 年k l e i n 根据等距变换的不动点的情况将等距分成了三种类 型：椭圆等距、抛物等距和双曲等距。1 9 7 9 年t h u r s t o n 在他的讲稿c t l t j 中将 这种分类引用到了n 维双曲空间的等距中。 双曲平面的等距群的离散子群的研究起源于p o i n c a r 4 对复变函数的微分 方程的工作，即对于复平面的线性分式变换的离散群i 、的所有元素7 ，他研 究满足方程，( 7 z ) = ( z ) 的复变量为z 的函数，这样的函数，称为关于群r 的自同构函数( 参见【g r a ) 。在离散m 6 b i u s 群的一百多年的研究历史中，j ： 侧露点在不断地变化着，最近的发展与p l i e m m l n 曲面和流形的理论相关联( 如 l a b ，a s ，b e ，g r e ，m a s w i ，t h 】等等) ；1 9 6 0 年a h l f o r s 和b e t s 证明了，在每一个 2 维r i e m m m 流形中可以导入一个最标准的复结构，而成为一个r i e m a n n 曲1 f | f ( a b l 。另一方面，r i e m a n n 面的单值化定理【a s 】告诉我们，除去几种个别情况 之外，所有的r i e m a n n 曲面都共形等价于d r 形式的曲面，其中r 是一个保 持圆盘d 不变的无挠离散m 6 b i u s 群。如果r 是离散群，那么a r 是个轨形 ( o r b i f o l d ) 。我们知道它们在复动力系统中有重要的应用，因此离散m s b i u s 群 的研究在二维流形中有着重要的意义。此后离散m 6 b i u s 群的研究得到了蓬勃 尊，洛，l z 黼蔻；漕霪巍、i 的发展，取得了许多重要结果，如【a h 2 ，b e ，b w ，b o l ，g i ，g r e ，h e l ，j o l ，j k ，m a s 】 等等。同时人们要问，这些结果在高维对不对? 这是近兰、四十年来人们努力 追求的目标。 近年来，高维m s b i u s 群的研究一直很活跃，p o i n c a r d 扩张的发现、f u c h s 群和自同构函数的进展提供了通向高维的阶梯。特别是，a h l f o r s 的一系列文章 【a i 、，a h 3 ，a h 4 1 强调并研究了被遗忘了近一个世纪的高维m s b i u s 变换的c l i f f o r d 矩阵表示，使得高维m 6 b i u s 群的研究又多了一条途径。但是高维的情形要比 二维复杂得多。k i l l i n g 和h o p f 定理告诉我们，i l i e m a n n 流形m 是完备的连 通的且具有常负截面曲率的充分必要条件是它与日”r 等距，其中f 是某个 离散无挠m s b i u s 群。因此对高维离散群的研究也是很有意义的，且引起了i 1 3 多数学家的兴趣，如【a h ，a p l ，a p 2 ，g m ，g r e ，m a l ，r a ，w i ，t h 等等。许多平面 上的经典结果被推广到了高维空间，同时发现有一些结果在一般情形下在高 维不成立。那么常负曲率空间的等距群和m 6 b i u s 群上的一些著名结果( 如极 限集的分类定理、群的离散性判别准则和群列的极限定理和代数收敛性定理 等等) 能否推广到完备的单连通的截面曲率非正的r i e m a n n 流形( h a d a m a r d 流形) 上呢? 这是本文关心的主要问题。 我们知道，n 维欧氏空间和双曲空间都是h a d a m a r d 流形的特殊情形，因 此h a d a m a r d 流形的等距群要比它们更一般。自十九世纪六十年代初期以来， 随着与半单代数群和双嗌动力系统的平行发展，非正曲率流形这个领域也越 来越活跃。以此同时，m o s t o w 和k a x p e l e v i c k a 】盼工作给出了非正曲率流形 的几何和分析的方法，这些工作对以后的结果是重要的。1 9 7 3 年，e b e r l e i n 和 0 n e i l l e o 】给出了h a d a m a r d 流形的紧性化并将一些m s b i u s 群中的经典结果 推广到了t t a d a m a r d 流形的等距群上。此后许多m s b i u s 群和双曲空间的等距群 中的结果或者类似结果被推广到h a d a m a r d 流形或p i n c h e dh a d a n a r d 流形的等 距群上( 如 b a b g s ，b o l ，b 0 2 ，c e ，e b ，e h s ，m a 2 1 等等) 。 在第一章中，我们介绍了h a d a m a r d 流形及其等距群的基本概念，这些都 是本文的基础。 在第二章中，截面眭扭率不大于一1 的h a d a m a r d 流形的等距群的任一子群的 极限集被证明或者是空集，或者仅含有1 个点，2 个点或者无限多个点。根据 极限集的元素个数，我们对任意的等距群的极限集进行了分类( 定理2 2 4 ) ， 它分别是w a t e r n r a n ，m a r t i n ，e b e r l e i n 和o n e i l l 等人在高维m s b i u s 群、离散 收敛群和可见流形的等距群的极限集分类定理的推广。此外，即使在m 6 b i u 。 群的情形，本文所得的结果都优于目前的分类结果，因为m s b i u s 群的极限浆 分类的必要性条件被充分必要性所代替。另一方面，本文得到了初等群和非初 等群的判别准则，它们表明我们的初等群定义和m s b i u s 群的定义是一致的，而 非初等群必含有无限多个两两没有公共不动点的斜驶等距。最后，我们给出了 极限集的一个重要刻划一一极限集的稠密性定理，它是= 维m s b i u s 群【b e 】、 高维双曲空间的等距群【g r e 、离散收敛群【g m 】以及可见流形的离散等距群 f e o ) 的稠密性定理的推广。 在第三章中，我们知道二维m s b i u s 群有一个经典的离散性判别准则，即 任一非初等子群离散的充分必要条件是其任两个元素生成的子群是离散的。 数学界曾有不少数学家试图将此结果推广到高维空间上去，然而，a b i k o f f 和 l a s s a h l 举了一个反例，说明在一般情况下高维情形是不可能成立的，因此必 须附加某个条件。目前最好的结果是m a r t i n 【m a l l 发表在a c t am a t h 的论文中 的结果，他引入了一致有界挠的概念，使得在此条件下上述离散判别准则是 成立的。方爱农教授和本人在研究高维m 6 b i u s 群的这个问题以及群列的收敛 性问题时引入了条件a ，使其减弱了一致有界挠的限制( 参见f f n l ) 。在本章 中，我们将m s b i u s 群的离散判别准则推广到更一般的p i n c h e dh a d a m a r d 流， 上，证明了只要非初等群g 的某一斜驶子群有条件a ，那么群g 离散的充j j - 必要条件是它的任两个斜驶元素生成的子群是离散的。 在第四章中，我们考虑p i n c h e dh a d a m a r d 流形的等距群群列的极限定理 和代数收敛性定理。w i i a mt h u r s t o n 在他著名的讲稿( t h ，c h a p t e r91 1 ) 中写 到，对我们来说，了解某一离散群的形变的几何是重要的。对此问题，若要取 得质的理解我们必须考虑群序列的极限。因为一个群可能是一序列离散群的 极限这一问题有一个以上的合理解释而导致理解上更加复杂，然而，这一极限 不可能在同一意义上进行理解。h e i n zi i e l l i n g 和t r o e l sj 宙g e n s e n 是最早分析并 囊溅辎鞠| | | | 磊鏊激箍纛蠢：。魏 认识到这一现象的人。在这一章里，我们将推广h e l l i n g h e l 】和j 口r g e n s e nm 1 和j k l 的极限定理和代数收敛性定理到p i n c h e dh a d a m a r d 流形的等距群上。 不难看出，一些假设是必要的；甚至在维数大于3 的双曲空间的等距群中， 有限生成的离散非初等群列的代数极限有可能不是离散的( 甚至于假设这j 极限是非初等的情形都如此)( 参见【m a l ，p 2 7 4 之例) 。问题的引起是因，i j 可能存在一个余维数为2 或更高的子空间在一个离散非初等群和收敛到一个 无限阶椭圆元素的高阶椭圆元素列的作用下保持不变。因此m a r t i n 引入了 致有界挠的概念，即在具有一致有界挠的离散群列中，每一个群的椭圆元素 的阶都被一个常数所控制。在高维m s b i u s 群中，m a r t i n m a l 】在挠元索一致有 界的情况下，证明了极限定理和代数收敛性定理，在有限生成群的条件下证 明了收敛性定理。同时他还将高维m s b i u s 群的这几条定理推广到缩小的负曲 率群( p i n c h e dn e g a t i v ec u r v e dg r o u p s ) 上( m a 2 。我们在本章中用条件a 来减 弱一致有界挠的假设，而满足条件a 的离散群列中的椭圆元素的阶有可能是 无界的，这使我们面对更多的困难。我们在条件a 下，利用m a r g u l i s 引理本文 所得到的极限集分类定理和一些必要的引理证明了极限定理和收敛性定理， 在条件a 和稍强的假设下证明了代数收敛性定理。 在第五章中，我们考虑高维c l i f f o r d 矩阵群的代数收敛性。由于c l i f f o r d 矩 阵群和m s b i u s 群同构，而n 维m s b i u s 群与n + 1 维双曲空间日”+ ，( 常负曲率 的h m a m a r d 流形) 的等距群同构，我们可以把c l i f f o r d 矩阵群视为i i a d a m a r d 流形的等距群的特殊情形。因为仅仅在条件a 之下，代数收敛性定理是否i f 立仍然是个困难的问题，所以我们引入条件b ，使得仅在条件b 之下，代数 收敛性定理是成立的。同时我们指出，条件b 减弱了一致有界挠的限制，f ： 且有限生成的和一致有界挠的c l i f f o r d 矩阵群都满足条件b 。 c h a p t e r1 第一章基本概念 在这一章中我们回顾一些关于h a d a m a r d 流形及其等距群的基本知识和结 果，这些内容将在本文的以后各章中经常要用到。 1 1 h a d a m a r d 流形 本文记m 为r i e m a n n 流形。d ( ，) 为其上的t t i e m a n n 度量。我们称一个 完备的，单连通的且其截面曲率为非正的l i i e m a n n 流形为h a d a m a r d 流形，并 记为h 。我们知道双曲空间是可以紧性化的( 如具有p o i n c a x 4 度量的单位球 可以通过增加单位球面来紧性化) 。下面我们将对任意的h a d a m a r d 流行定义 类似的紧性化。 定义1 1 1 e o 】设c i ：r h ( i = 1 ，2 ) 是h 上的两条单位测地线。我们称 这两条测地线c z 和c ：是渐近的，如果对某个常数a o 和任意的t 0 都有 d ( c l ( t ) ，c 2 ( t ) ) o 。 对日上的单位测地线来说，渐近关系是一种等价关系。 定义1 1 2 ( 参见 e o ，5 5 l 和2 】) 我们称日的一个渐近测地线等价类为h 的 一个无穷远点。 记所有的上的无穷远点的集合为h ( o o ) ，测地线c 表示的等价类记为 c ( o 。) h ( c o ) ，而反向测地线c “：t c ( 一) 表示的等价类记为c ( 一o 。) 日( o o ) 。 因此我们得到紧流形疗= 日u 日( o 。) 。不难看出，给定一点z 打和一点 蕊豢i 象藏熬魏遂鬣纛，瓤疆蝴i 8 h ( o 。) 存在唯一的单位测地线c 且c 属于y 。 篁= 童基奎堑盒 r 日使得4 0 ) = z 和4 0 0 ) = y 成立，并 设。h ，钆：曰：hu 日( o o ) ，z 钆z z 2 我们定义以z 为顶点的角为 此处q 是连接z 和矗的测地线，使得c l ( o ) = 。给定z 日，z 日( o 。) ，e 0 定义 g ( z ，e ) = y 雷i z ，毒。( ：，y ) 0 并且如( 。) 有最小值。 ( 3 ) 抛物等距，如果d g ( z ) 没有最小值。 注解：( 1 )术语“斜驶等距”也称为“轴等距”或“双曲等距”( 见文献 b g s ，c e ，e b l ，2 】等) 。我们所采用的与文献i b o l 和b 0 2 一致。 ( 2 ) h a d a m a r d 流形上的等距的分类是众所周知的双曲空间日n 的等距 分类的推广。 1 9 3 9 年，s b m y e r s 和n s t e e n r o d ( m y s 】曾证明i k i e m a n n 流形容许的一切 等距映射构成一个l i e 群，称为等距群。我们记h a d a m a r d 流形日的所有等距映 射构成的等距群为i s o m ( h ) 。等距g 在7 上的所有不动点的集合记为舭( g ) 。 定义1 2 2 b g s 设g 为椭圆或斜驶等距。定义最小集合m i n ( g ) 为使如取最 小值的点的集合，即 引理 m i n ( g ) = 掣日i 南( 掣) = d ( y ，g ) = m 。i h n 如( 2 ) ) 如果g 是椭圆等距，则m i n ( g ) 是g 在日内的不动点的集合。我们有如下 引理1 2 3 b g s ，p 7 9 ；e o ；e b 2 】设日是h a d a m a r d 流形，g 是日上的等距。则 ( 1 ) 如果f 是椭圆等距，则m i n ( g ) 是日的一个完备的，连通的全测地子流 形。 ( 2 ) 如果g 是斜驶等距，则集合m i n ( g ) 是闭的和凸的，并且是所有被g 平移 的测地线的交集。事实上，如果p 是m i n ( g ) 上的任何点，则对任意的t r 和 某个数u ，都有( g 。c ) ( t ) = c ( t + u ) 测地线。数u 是d g 的最小值。 萋= 冀基奎堡0 其中c 是日的包含p 和g p 的唯一的单位 记x 为曲率满足条件k ( x ) 一1 的h a d a m a r d 流形。则x 是一个可见 ( v i s i b i l i t y ) 流形( 参见文献【e 0 1 ) ，即，任意两个不同的点z ，y 霄都可 以被唯一的一条测地线连接，记这条测地线为p 】；如果点z 和y 属于x ， 就称f 。，y 为测地线段。如果z x ，y x ( o o ) ，则称k y j 为趋向y 的测地射 线；如果z ，y x ( o o ) ，则称k 引为双无穷测地线。我们总假设测地线已被弧长 参数化。 我们称紧致流形叉的子集y 是一个子空间，如果它是与x 相交的全体 测地线的子集( 即，y n x 0 ) ，并且使得如果两个不相同的点z ，y y ，则 通过z 和g 的双无穷测地线含于y 。因此x 中的一个点是子空间，而x ( o o ) 的一点却不是。如果y x ，那么我们称y 是真的( p r o p e r ) 子空间。 下述的引理是i s o m ( x ) 中元素的刻划( 参看文献【b o l ，b 0 2 】等) 。 引理1 2 4 元察g i s o m ( x ) 必属于下面类型之一： o ) g 是恒等等距； 1 ) g 是椭圆等距j 因此f i x ( g ) 是叉的一个真的非空子空间。 2 ) g 是抛物等距j 因此f i x ( g ) 是由一点p x ( o o ) 组成的集合，且g 保持基于 点p 的每一个极限球面( h o r o s p h e r e ) 不变。 3 ) g 是斜驶等距；因此f i x ( g ) = p ，g ，其中p 和g 是x ( o o ) 的两个不同的点。 对任意的点z 夏 p ，g ) ，有g n ( z ) 一p 和g - - ( ) 一g ( 当n o o 时) ，我们称p 为g 的吸收型不动点，g 为排斥型不动点，双无穷测地线，口】称为斜驶轴， 显然它在g 的作用下按集保持不变。 由 b g s ，引理6 8 】我们可知，如果x 是可见流形，则等距g i s o m ( x ) 在边界x ( o 。) 上有零、一、二或无穷多个不动点，其中有零个不动点的等距 是椭圆等距，其在x 内仅有一个孤立的不动点；有一个不动点的等距是抛物 等距；有两个不动点的等距是保持连接这两个不动点的唯一测地线不变的斜 驶或椭圆等距j 有无穷多个不动点的等距是椭圆等距且维数d i m ( m i n ( g ) ) 2 。 ! ；! 簦墅垂 定义n x ( c ) 为g 的元索在紧流形x 中的所有不动点的交集， f i x ( g ) = n 口e c f i x ( g ) 离散等距群的初等性有多种等价的定义，如：我们称离散群g 是初等的， 如果g 的极限集的元索个数不大于2 。对于作用在曲率不大于1 的i l a d a m a r d 流形的任意的等距群，我们采用文献( b 0 2 j 的定义。另外m a r t i n 的初等群定义 可参见文献 m a r 2 j 。 定义1 2 5 【b 0 2 】设x 是曲率k ( x ) 1 的h a d a r n a r d 流形。子群gci s o m ( x ) ( 可能非离散) 称为初等的，如果f l x ( a ) 0 或者g 按集保持絮的某条双无 穷测地线不变j 否则的话，我们称g 为非初等的。 从定义1 2 5 可以看出，初等群g 有下述三种相互排斥的类型： ( 1 ) f i x ( c ) 是叉的非空子空间； ( 2 ) f i x ( a ) 仅含有一个点且就在x ( o o ) 上i ( 3 ) g 的元素在x 内没有公共的不动点，且保持x 的一条双无穷测地线不变。 由文献 m y s 可知，i s o m ( x ) 在紧开拓扑下是个l j e 群。设g 是i s o m ( x ) 的任一等距子群。g 的极限点的集合( 称为极限集) 定义为x 的任一轨道 g ( z ) ：= g zjv g g ) 的闭包与x ( o o ) 的交集，并记为三( g ) ，所以 l ( a ) = x ( o o ) la 6 t d 3 r ；5 c p x ，3 9 ，。g 使得g 。( p ) 一+ ) 不难看出，极限集三( g ) 在x ( o o ) 内是闭的，且在g 的作用下是保持不变 的。根据极限集的定义可知及余弦定律，工( g ) 不依赖于点p x 的选择。设 百是g 在i s o m ( x ) 内的闭包，则我们有上( 虿) = 二( g ) 。 如果一个t i a d a m a r d 流形x 满足p i n c h e d 负截面曲率，则称它为p i ，t c t 。e d h a d a m a r d 流形j 即，x 的所有截面曲率k ( x ) 满足： 一a 2 n ( x ) s 一1 1 2 其中a 0 。 在本文第二章中，x 总是表示截面曲率( x ) 一l 的h a d a m a r d 流形 在第三和第四章，我们假设x 是p i n c h e dh a d a m a r d 流形。 有关 i a d m ”d 流形及其等距群的理论的其他方面的内容可参见下面的论 著和文献： b g s ， b o l 和2 1 ，【c e 】， e b 】， e h s ， e o 】和 o r o 等。 1 9 8 7 年，g e l r i t t g 和m a r t i n 首先给出了离散收敛群的定义，并且讨论了 离散收敛群的分类等有关问题( 参见 g m 】) 。记口”为欧几里德空间中的单化 球，s - ，为其单位球面。我们知道b “的所有自同胚成为一个群，记为r 。 定义1 2 6 g m l 群i 称为离散收敛群，如果对r 的任一互不相同的元素序列 w ) ，2 。都存在一个予序列 7 “) 和s 一1 中的点z o ，如使得 7 靠在b ”( g o 内局部一致地收敛于z o 并且 1 五1 在 。o ) 内局部一致地收敛于t 在此定义中，z 。= 蜘的可能性是存在的。在离散收敛群中，每一个椭圆 元素是有限阶的。 m a r t i n 和s k o l a 在文献 m s 】中证明了离散收敛群与h a d a m a r d 流形的等距 群之间的关系。 定理1 2 7 【m s 】设x 是曲率k ( x ) b 0 的h a d , a m a z d 流形。如果gch o m ( x ) 是作用在x 上的等距构成的离散群，则g 是一个离散收敛群。 。j 惹囊 c h a p t e r 2 第二章等距群的基本问题 如无特别声明，本章我们设h a d a m a r d 流形x 的截面曲率不大于一1 ，并 记g 为等距群i s o m ( x ) 的任意的子群。 在第一节中，我们讨论了斜驶等距和抛物等距的判别法以及等距序列的 局部一致收敛性问题。 在第二节中，等距群i s o m ( x ) 的任意的子群g 的极限集被证明或者是空 集，或者仅含有1 ，2 ，或无限多个点。我们根据极限集的元素个数对任意一 个等距子群的极限集进行了分类，它分别是w a t e r m a n 、m a r t i n 和e b e r l e i n 等 对n 维双曲空间的等距群、离散收敛群和可见流形的筹距群的极限集分类定 理的推广，此外即使是在常负曲率的双曲情形，本节所得到的分类定理甚至 还优于双曲空间的等距群的极限集分类情形。从这些讨论中我们得到了每个 纯椭圆群一定在x 内或其边界上有一公共不动点。 我们知道，i s o m ( x ) 的离散子群是初等的充分必要条件是它的极限集最 多含有两个元素。一般说来，对于任意的一个子群这个结论并不一定成立。 因此在第三节中，本文给出了初等群、极限集和群的轨道之间的一个等价关 系。 在第四节中，本文将复平面上的m 6 b i u s 群的非初等性定理推广到了h a d a m a r d 流形的等距群，即i s o m ( x ) 的子群是非初等的充要条件是它含有无穷多个刺 驶元素，且这些元素两两没有公共的不动点。这个定理也是我们在讨论群的 离散性和群列的收敛性时的主要工具之一。使用在第二节得到的等距群的分 类定理和等距序列的局部一致收敛性质，我们将g r e e n b e r g 在n 维双曲空间的 等距群的一个稠密性定理推广到了h a d a m a r d 流形的等距群。 如果曲率x ( x ) i 一1 ，则h a m a m a r d 流形x 可看作双曲空间h ”或b “ 因此，我们得到的结果包含了三维或高维双曲空间中的经典的结果。 2 1 等距和等距序列的性质 我们称u 是一个拓扑球，如果r 是欧几里德开球在形的自同胚映照下 的像。g e h r i n g 和m a r t i n 在文【g m l 中证明了，如果g 是离散收敛群g 的元素 且存在拓扑球u 使得9 驴c 矿，则g 是斜驶的，且有一个不动点在驴内，而另 一不动点在勋疗内。从离散收敛群的元素分类定义可知，每一椭圆元素必 是有限阶的。然而等距群i s o m ( x ) 中任一子群的椭圆元索或是有限阶或是无穷 阶的。所以在一般的情况下，我们有如下引理。 引理2 1 1 设u 是x 中的一个锥。如果存在x 的等距g 使得g ( u ) c 矿，则g 是斜驶的，且其中一个不动点含予矿，另一个不动点含于x 可。 证明因为可是一个拓扑n 维胞腔( 参见文献【e o 】之推论2 1 2 ) ，所以 利用b r o u w e r 不动点定理知，g 在矿内有一个不动点。其次设v = x 驴，则 由假设g ( 矿) c 矿可推知g 。( 矿) cv ，再一次用b r o u w e r 不动点定理可得，g _ 1 在y 内有一个不动点，所以g 在y 内也有一个不动点。由此可知g 至少有两 个不动点。从等距分类可知g 必不是抛物等距，因此是斜驶或椭圆等距。 下面我们证明g 不可能是椭圆等距。首先我们断言，g 不是有限阶的椭 圆等距。要不然的话，存在整数m 使得0 = g ( 驴) c 驴，这是一个矛盾的结 论。其次g 也不是无限阶的椭圆等距。由反证法，假设9 是无限阶的椭圆等 距。设z 。矿和y o 矿是它的两个不动点，一是通过这两个点的唯一的双 无穷测地线。由于椭圆等距的不动点集是一个测地线子空间，所以g 点点保 持测地线，不变，因此g 也保持点8 矿n 盯不变。这与假设g ( 可) cu 矛盾。 这就证明了g 是斜驶等距，且它的一个不动点在u 内，另一个不动点在y 内。 由引理21 1 可得下述推论。 推论2 1 2 设z o 和y o 是x ( o o ) 内的两个不同的点。如果存在x 的一个等距 序列f 鲫) 使得在叉 。) 内j i m 办( z ) = z 。是局部一致收敛的，则对所有充分 ，_ o 。 建瀛蓥遴黼囊戳螽辎弘。、， 。懿 大的j ，珊都是斜驶等距。如果记z o 的任一邻域为u ，那么g j 在u 内有一个 不动点。 证明由于z 。可设u 是z 。的一个邻域，且y o u 。不妨设u 是一 个锥。因为在x ) 内，l 。i r a 。g j ( z ) = z 。是局部一致收敛的，则对所有充分 大的，鲫( 可) cu 。由引理2 1 1 可知，g 是斜驶的，且它的一个不动点在u 内a 当g 是离散收敛群时下面的定理是众所周知的( 参见文 c m ，引理4 刈) e 我们知道，曲率不大于1 的h a d a m a r d 流形x 的等距群必为收敛群。因此 与离散收敛群相同的证明方法可知下面的定理在离散的情况下是成立的。1 一般情形( 即群g 可能是非离散的) 我们有： 定理2 1 3 设g 是i s o m ( x ) 的子群且极限集l ( g ) 不是空集。给定z o l ( g ) 则存在序列鲋g 和y o 工( g ) 使得 ，1 i m 。g j ( z ) = z 。 和 牌g 于1 ( z ) 2 y o 分别在牙 驰) 和牙 。o ) 是局部一致收敛的。 证明因为z 。工( g ) ，由极限集的定义，群g 必含有互不相同的元察序 列 幻) 使得对任意的z x 都有 j l i 。m 。g i ( 。) 2 。o 因为至少存在f 鲫 的一个子序列使得z 不是其每一元索的不动点，所以不妨 设每个元素g j 都不以z 为不动点。由d ( z ，鲫( 。) ) = d ( z ，盯1 ( z ) ) 和鲫( z ) 一z o ( 当 j o o 时) 可知 g i l ( 。) ) 是无界的，所以此序列在x ( o o ) 内必有一个聚点，记 为蛳。由此可知，序列0 i 1 ) 必有一个子序列收敛于y o ，不妨仍记( 盯1 ( z ) ，收 敛于y o ，故珈是g 的极限点，即y o 三( g ) 。由余弦定律( 引理1 1 3 ) 可知序 列 外( 。) ) 和( g i l ( z ) ) 的收敛性与z 在x 中的选择无关。所以对每一点z x 都有 熙鲫( z ) = z o 和熙g f l ( z ) = y o 矗黝建墓。磊滋超鏊，魑熟，。： ，“ 1 6 其次我们证明对每一点p x ( o 。) ，当p 珈时有 j l 。i m o 。# j ( p ) 5 。o 和当p 。o 时有 ， 。i m 。g , - 1 ( p ) 2 y 。 设一：( 一。，+ o 。) 一x 是满足一( 一o o ) = y 0 和a ( + o 。) = p 的一条测地线。如果手 们选择点。属于测地线a ，则 毒。( 9 f 1 ( z ) ，y o ) ”一寺。( 9 2 1 ( 。) p ) ( 22 ) 由文献 e o ，p 5 2 】可知 毒。( 盯1 ( z ) ，p ) + 孛口i - ( 引( ，p ) ” ( 2 3 ) 由( 2 2 ) 式和( 2 3 ) 式可得如下的不等式 审m ( 鲫( 。) 删( p ) ) - - 4 。j t “z p ) ”一毒z ( 盯1 ( ) ，p ) - o ) 为双曲空间模型，其1 k i e m a n n 度量由下式给出 d 。：幽 2 t 1 空间h n 的这一美妙的双曲几何结构作为研究g m ( r ”) 的任一子群g 的 工具是十分有效的，因为我们可以作出g 中的每个元素g 的p o i n c a r 4 扩张口，在 此度量之下，是h n + ，的等距，另一方面h ”+ - 上的等距变换群与作用在r “ 上的m s b i u s 群同构，因此我们可把g 作为h ”+ 的一个等距映射子群来研究。 极限集的分类是很有意义的，因为通过对极限集和等距不动点的分析可 以得到流形( m = h d ) 的广泛信息( 如【b o l ，b 0 2 ，c e e b ，e o ，t h 等等) 。在 高维双曲空间的的等距群中，1 9 6 2 年r o s e n b e r g 证明了，如果子群gc i s o m ( h ”) 是空集，那么g 在日n 有一群不动点。1 9 8 8 年w a t e r m a n 在文【w a 2 中讨论了 纯椭圆m 6 b i u s 群，并给出n 维m 6 b i u s 群的任一子群的分类定理如下。 定理2 2 1f w a 2 】设g 是m 6 b ( n ) 的子群。则 ( i ) 如果三( g ) = 0 ，则g 的元素在h “+ 1 内有一公共不动点 r o ，性质1 3 】j ( i i ) 如果二( g ) = z o ) ，则g 作为n 维m s b i u s 群共轭于r 札的一个欧几里德等距 慧；如桌少两个元素，则g 必含有一个斜驶元索。 1 9 8 7 年，g e h r i n g 和m a r t i n 在文 g m 】中首先引入了收敛群的概念并证明 了m s b i u s 和拟共形群都是收敛群。对于离散收敛群，他们证明了如下定理。 定理2 2 2 【g m 设g 是离散收敛群，则 ( i ) 极限集三( g ) 是空集的充分必要条件是g 是仅含椭圆元素的有限群( 【g m 定理57 】) ； 搿：氯螽滤鬃；螽蘸鬟，； ( i i ) 极限集l ( g ) 仅含一点z o 的充分必要条件是g 是一个无穷群；且包含以 z 。为不动点的椭圆或抛物元素( ( g m ，定理5 1 0 】) ； ( i i i ) 极限集l ( g ) 正好