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跳扩散模型下重置期权的定价以及最优重置策略 摘要 期权是7 0 年代中期在美国出现的一种金融衍生工具。几十年来，它作为一 种防范风险和投机的有效手段而得到迅猛发展。为了吸引投资者的兴趣，证券 商相继推出了许多新类型的期权，如最终权益依赖路径的期权( e x o t i co p t i o n ) 圆，重置期权就是其中一种。重置期权已于世界多处的证券市场有买卖交易， 也有依附于结构型商品之内，而在柜台市场交易。 本文运用鞅及随机分析等方法研究了当股票价格服从跳一扩散过程时的重 置期权定价问题，主要工作如下： 1 综合考虑跳扩散模型( p o i s s o n 跳) 、随机的无风险利率、连续支付红利、 股价瞬时波动率连续变动等因素，并利用等价鞅测度，得到了单点重置期权的 定价公式。 2 对传统重置期权进行了尝试性的创新，得到重置时间随机的重置期权的 定价公式。 3 采用粒子群优化( p s o ) ，对期权中的最优投资问题进行了研究，并提出 了基于粒子群优化的重置期权的最优重置策略，可以为投资者提供决策支持。 实验结果验证了策略的有效性。 关键词：重置期权最优重置策略跳扩散模型随机利率粒子群优化 p r i c i n ga n do p t i m a l r e s e tp o l i c yo fr e s e to p t i o ni n j u m p - d i f f u s i o nm o d e l s a b s t r a c t o p t i o ni saf i n a n c i a ld e r i v a t e sp r o d u c t ，w h i c ho c c u r sf r o mu s a i nt h em i d d l e o fs e v e n t i e s i nt h ep a s ts e v e r a ld e c a d e s ，i th a sd e v e l o p e dr a p i d l ya sa ne f f e c t i v e m e a n sf o rs p e c u l a t i n ga n da g a i n s tr i s k s t oa t t r a c ti n v e s t o r ，al o to ff m a n c i a li l l m s h a v eb e e ni n t r o d u c i n gs o m en e wo p t i o n ss u c ha sp a t h d e p e n d e n to p t i o n s ( e x o t i c o p t i o n ) ，a n dr e s e to p t i o ni sat y p i c a lo n e r e s e to p t i o nh a sb e e nt r a d e dn o to m yi n m a n ys t o c km a r k e t sb u ta l s oi nc o u n t e rm a r k e t sa r o u n dt h ew o r l d i nt h i sd i s s e r t a t i o n , t h ep r i c i n go fr e s e to p t i o ni nj u m p d i f f u s i o nm o d e li s s t u d i e db ym e a n so fm a t h e m a t i c a lt o o l ss u c ha sm a r t i n g a l et h e o r ya n ds t o c h a s t i c a n a l y s i se t c t h em a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s - 1 c o m b i n e st h ef a c t o r so f j u m p - d i f f u s i o n ( p o i s s o np r o c e s sj u r n p ) ，s t o c h a s t i c i n t e r e s tr a t e ，c o n t i n u o u ss t o c kd i v i d e n d s - p a y m e n ta n dc o n t i n u o u sv o l a t i l i t y , a n d o b t a i n st h ep r i c i n gf o r m u l ao fc o n v e n t i o n a ls i n g l e - p o i n tr e s e to p t i o n 2 t r i e st oi n n o v a t ei n t h ec o n v e n t i o n a ls i n g l e - p o i n tr e s e to p t i o n ，a n dg a i n st h e p r i c i n gf o r m u l ao fr e s e to p t i o nw i t hs t o c h a s t i cr e s e tt i m e 3 i n t r o d u c e sak i n do f e v o l v i n g c a l c u l a t i o nm e t h o dp a r t i c l es w a r m o p t i m i z a t i o n ( p s o ) t os o l v et h eo p t i m a li n v e s t m e n tp r o b l e m ，a n dp r e s e n t sap s o b a s e do p t i m a lr e s e tp o l i c yf o rr e s e to p t i o n , w h i c hc 盈t np r o v i d ed e c i s i o ns u p p o r tf o r i n v e s t o r f i n a l l y , at y p i c a ls i m u l a t i o ni sc a r r i e do u tt oi l l u s t r a t et h ev a l i d i t yo ft h e p o l i c y k e y w o r d s ：r e s e to p t i o n ；o p t i m a lr e s e tp o l i c y ；j u m p - d i f f u s i o nm o d e l ；s t o c h a s t i c i n t e r e s tr a t e ；p a r t i c l es w a r mo p t i m i z a t i o n 插图清单 图1粒子位置更新示意图2 4 表格清单 表1 参数设置1 2 7 表2 本文算法求解结果与随机决策结果的比较1 ：2 7 表3 参数设置2 2 9 表4 本文算法求解结果与随机决策结果的比较2 2 9 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得金胆王些太堂或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示谢意。 学位论文作者签名孑夕每逸争 签字日期：滩石月够日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金胆王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权金 胆王些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：导师签名： 签字日期：2 叨艿年易月j 箩日 签字日期：汐少年 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 缈 善茂b 致谢 本人在三年的硕士研究生课程学习和撰写学位论文的过程中，自始至终得 到了我的导师杜雪樵教授的悉心指导，无论从课程学习、论文选题，还是到收 集资料、论文成稿，都倾注了杜雪樵老师的心血，由衷感谢杜老师在学业指导 及各方面所给予我的关心以及从言传身教中学到的为人品质和道德情操，老师 广博的学识、严谨的治学作风、诲人不倦的教育情怀和对事业的忠诚，深深地 影响着我，必将使我终身受益，并激励我勇往直前。 同时，真诚感谢数学系惠军，凌能祥等老师，他们的教诲为本文的研究提 供了理论基础，并创造了许多必要条件和学习机会；感谢人事处的领导和同仁 们，在我课程学习和论文撰写期间，给予我的大力支持。 感谢所有的同学给予的帮助。 作者：于春华 二零零八年五月 第一章引言 金融学研究的主要对象之一就是衍生证券，其价值依赖于其它更基本的“标 的资产”( u n d e r l y i n ga s s e t ) 。在今天的国际金隔市场上，金融衍生证券形形色色， 多种多样，并且新产品层出不穷最常见的有远期合约( f o r w a r dc o n t a c t ) 、期货 ( f u t u r e s ) 、期权( o p t i o n s ) 和互换( s w a p s ) 等。 期权是7 0 年代中期在美国出现的一种金融衍生工具，几十年来，它作为 一种防范风险和投机的有效手段而得到迅猛发展，为了吸引投资者的兴趣，有 不少证券商相继推出不同新类型的期权。期权定价理论也得到不断的改进和拓 展。经典期权是指持有人有权利( 而不是义务) 在确定时间，按照事先敲定的 价格向出售方购( 销) 一定数量和质量的原生资产的协议。由市场的无套利性 质，这样的权利显然具有非零的价格。如何公平合理地给出期权的价格，就是 现代金融理论的一个重要的组成部分。在一定的技术假设下，上述期权的定价 公式就是著名的b l a c k - - s c h o l e s 公式【l 】。市场的投资人总是希望能控制或减少风 险，这样就在实际市场中演化出各种衍生工具，比如最终的权益依赖路径的期 权( e x o t i co p t i o n ) 闭。 本文研究的是一种依赖路径的期权，即其敲定价格( s t r i k ep r i c e ) 可以按照 一定的规则作出调整。这就是所谓的重置期权。正因为它比一般期权具备更多的 权利，所以重置期权具有比一般期权更高的价值重置期权已于世界多处的证券 市场有买卖交易，也有依附于结构型商品之内，而在柜台市场交易举例如下： 1 在1 9 9 6 年，纽约证券市场( n y s e ) 及芝加哥选择权交易市场( c b o e ) ，已有 重设型熊市认售权证( b e a rm a r k e tr e s e tw a r r a n t s ) 的交易。它是由国际财务 公司所发行。 2 在澳洲，由马圭尔银行提供搭配股票投资的商品。它是一种以股票作抵 押的放款，提供投资人融资购买股票，并以股票作担保品。为保护股票担保品 不会因股价下跌而失去其原有的担保品质，股票投资商品内含一个重设型卖权。 也就是，当该银行放款给投资人购买股票时，连带出售可重设型卖权给投资人 ( 融资者) 因此，投资者获得保护，不受日后股价下跌而遭受追缴保证金，甚或 断头的风险。虽然银行发行重设型卖权必须进行避险，但也可获得权利金收入。 因此，重设型卖权对投资人融资购买股票提供担保品的保护，也对股市稳定提 供一些正面的效益，而不致有断头卖压的出现。 一般关于期权的定价都是假定股票价格服从连续扩散过程，由于实际分析 股票价格行为过程，发现股票价格不总连续。但是大量的研究表明，几何布朗运 动并不能很好地刻画资产的价格变化过程。文献【3 】通过实际数据的分析发现， 几何布朗运动与实际市场情况有一定的差距，很多的金融实践也表明，标的资产 价格可能会出现间断的不频繁的“跳跃弦情况。这些“跳跃 情况的发生可认 为是由经济中的某些不寻常的情况引起的，如突发事件、一国政变、重大政治事 件、突发战争及人为投机操作等。若假设价格间断的不频繁的跳跃为p o i s s o n 跳 跃过程，为了更好地贴近金融市场的实际情况，将几何布朗运动和p o i s s o n 跳跃过 程结合起来考虑价格的变化过程，即假设资产的价格过程服从p o i s s o n 跳扩散 过程。m e r t o n 2 0 首先引入跳一扩散过程描述资产价格的动态演变，他用扩散 过程刻画资产价格长期内的常态走势，用跳跃过程描述新信息或稀有偶发事件 对资产价格所造成的冲击，并在b l a c k s c h o l e s 同样的市场条件下推广了b l a c k s c h o l c s 期权定价公式。格斯克( g e s k c ，1 9 8 4 ) 利用布莱克和斯科尔斯方法推导出 复合期权的价格，利用他的方法可以求出支付股息时的股票期权价格的解。马 格雷男- 1 ( m a r g r a b e ，1 9 7 9 ) 研究了交换期权的定价公式。斯塔里茨解决了支付两个 风险资产价值的最大值或最小值的期权定价问题，约翰逊( j o h n s o n , 1 9 8 7 ) 将其方 法推广到了n 个资产的情形。国内对跳扩散模型下期权的研究，例如( 4 】，【5 】， 2 7 3 2 ) 。李松芹，张寄洲在【4 】用普通概率方法给出跳扩散模型下单时点重置期 权的定价公式，王莉君，张曙光在 3 2 】给出b s 模型下的随机利率单时点重置 期权的定价公式。 在利率是常数的情况下，文献 6 - _ 9 ，3 7 对重置期权进行了一些研究：1 9 9 7 年s f g r a y 和r e w h a l e y 在 7 给出了b - s 模型下单时点重置期权的定价 公式，2 0 0 0 年，w c h e n g 和s z h a n g 在 6 分析了b - s 模型下多时点重置 期权的定价公式的推证方法。2 0 0 4 年，姜礼尚等分析了多预定水平的重置期权 的定价。由于有些衍生资产的时间跨度比较长，比如说员工持股计划或期权工 资制所涉及的衍生工具，这时利率本身的常数要求就不足以满足实际背景的要 求。从而必须考虑到利率的不确定性对衍生资产价格的影响。文献 1 0 在随机 利率基础上，以欧式期权为例来探讨期权定价问题。 本文讨论基于跳扩散模型下展开，因为市场的不稳定性，市场无风险利率、 股价瞬时波动率等都不可能为常数，本文将原来的期权定价中的假设条件推广 到无风险利率是随机的，服从对数布朗运动的情形并假设基础股票支付红利、 连续红利率、股价瞬时波动率等都是时间的非随机函数。并且在完全市场环境 下，对单点重设型期权进行了创新，将重设时间看作一个随机变量，这样使投 资者有更大的选择空间。文中在这些假设条件下借助鞅和随机分析等数学工具 给出了一般欧式期权、传统重置期权、以及创新的重设型期权的定价公式。 此外，本文基于红利率、股价瞬时波动率、无风险利率都为常数的传统重 置期权的定价公式，采取粒子群的算法初步探讨了期权中的最优投资问题【3 6 】， 针对重置期权讨论了最优重置策略。 2 第二章预备知识 2 1 期权相关知识l l l - 1 5 1 2 1 1 期权定义及要素 期权( o p t i o n ) 是一种金融衍生工具，它是以对一定标的物或其合约的选 择性买卖权力为核心，赋予卖方在将来一定时间内以事先商定的价格选择是否 买入( 或卖出) 一定数量和规格的某种标的物或其合约的权利，而卖方有义务 按照规定满足买方未来买卖的要求。 一般说来，期权合约的要素主要有： 期权的买方( t a k e r ) - 也称为期权的多头方。 卖方( s e l l e r ) ：又称为空头方。 权利金( p r e m i u m ) ：即期权的价格。 通知日( d e c l a r a t i o nd a t e ) ：当期权买方要求履行期权标的物的交货时，他 必须在预先确定的交货和提运日之前的某一天通知卖方，以让卖方做好准备， 这一天就是通知日。 敲定价格( s t r i k ep r i c e ) ：也称为协定价格，或执行价格，即事先确定的标 的资产( u n d e r l i n ga s s e t ) 的交易价格。 到期日( e x p i r a t i o nd a t e ) ：也称“履行日”。在这一天，期权合约必须履行交 货。 2 1 2 期权的分类 1 齐全按期执行时间不同可分为欧式期权( e u r o p e a no p t i o n ) 和美式期权 ( a m e r i c a no p t i o n ) 。欧式期权是仅在到期日才可以执行，美式期权可以在到期 日内的任何日期执行。 2 按期权所赋予的权利不同，可分为买权，即看涨期权( c a l lo p t i o n s ) ； 卖权，即看跌期权( p u to p t i o n ) 。 、 3 按交易场所的不同，可分为交易所交易期权和柜台交易( o t c ) 期权。 交易所交易期权也叫场内交易期权，一般在交易所内的交易大厅内公开竞价， 所交易的是标准化期权合约，既由交易所预先制订每一份合约的交易规模、敲 定价格、通知日、到期日、交易时间等，合约的唯一变量是权利金。柜台交易 期权也叫场外交易期权，它不在交易所大厅内进行交易，没有具体的交易地点。 合约的要素都由买卖双方自行协商。 4 按期权的标的物不同，可分为实物期权、股票期权、外汇期权、利率 期权、期货期权、股票指数期权、基金指数期权等。 3 2 1 3 期权价格的构成 期权价格主要由内涵价值和时间价值两部分构成。 内涵价值( i n t r i n s i cv a l u e ) 是期权买方立即履行合约时可获取的收益，它 反映了期权合约敲定价格与标的物市场价格之间的关系。对看涨期权而言，内 涵价值为m a x ( s - x ，0 ) ，( 其中s 是股价，x 为执行价格) 。看跌期权的内涵价值 为m a x ( x - s ，0 ) 。 时间价值( t i m ev a l u e ) 对期权卖方来说反映了期权交易期间内的时间风 险，对期权买方来说反映了期权内涵价值在未来增值的可能性。通常，期权 有效期越长，期权的时间价值越大。当期权临近到期日时，在其他条件不变 的情况下，其时间价值逐渐变小；期权到期日时，也不再具有时间价值。 2 1 4 影响期权价格的因素 由于期权的价值由内在价值和时间价值构成，则决定内在价值和时间价值 的因素就是决定期权价值的因素。而内在价值主要由标的资产的价格和期权的 敲定价格决定，而时间价值则可能由多种因素决定。 1 ) 基础资产价格和执行价格 如果看涨期权被执行，则收益为基础资产和执行价格的差额。随着标的资 产价格的上升，看涨期权的价值也就越大，随着执行价格的上升，看涨期权的 价值就越小。反之，看跌期权的价值随着标的资产价格的下降和执行价格的上 升而减小。 2 ) 到期期限 当期权的有效期限增加时，美式期权无论是看涨还是看跌期权的价值都会 增加。考虑其他条件相同但是只有到期日不同的两个期权，因为美式期权在到 期日之前的任何时期都可以执行，所以有更多的机会获利。所以有效期长的期 权的价值只会大于或等于有效期短的期权。欧式期权的看涨或者看跌期权的价 值并不一定随着有效期的增加而增加，这是因为有效期长的期权不一定包含有 效期短的期权的所有执行机会。如果没有股利等因素的影响，有效期长的期权 的价值会比有效期短的期权价值大。 3 ) 波动率 ： 股票价格的波动率是用来衡量未来股票价格变动的不确定性。随着波动率 的增加，股票上升的很高和下降很低的机会也随着增加，对于股票持有者来说， 这两种趋势将相互抵消。而对于期权的持有者来说，股票价格上升看涨期权的 持有者将获利，股票价格下降看跌期权的持有者将获利。基础资产价格的波动 率对期权价格具有重大的影响，波动率越大，期权价格就越高。 4 ) 利率及红利 4 当其他变量保持不变的条件下，一般利率与看涨期权正相关，与看跌期权 负相关。当利率上升时，看涨期权的价格增加，看跌期权的价格减少。这是由 于当整个经济中的利率上升时，股票的预期收益也将增加，而期权持有者的未 来现金流将减少。股票在除息日后，红利将减少股票的价格，由于股票价格的 减少，看涨期权的价值也将减少，看跌期权的价值将增加。所以看涨期权的价 值于红利的大小成反向变动，看跌期权的价值与红利的大小成正向变动。 2 2 随机过程相关知识1 1 岳1 9 l 2 2 1 泊松过程 定义1 。一随机过程 ( f ) ，t 0 ) 称为时齐的泊松过程，若满足【9 】： ( 1 ) 是一记数过程，且( f ) = 0 ； ( 2 ) 是独立增量过程，即任取o t 2 0 ，有 f p n ( t + a t ) 一( f ) = 1 】= 2 a t + o ( a t ) 一 【p n ( t + a t ) 一n ( t ) 2 】= o ( m ) 其中允 0 ( 称为强度常数) ，d ( 出) 为高阶无穷小。 定义2 。一计数过程 ( f ) ，t o ) ，称她为具有强度函数的非时齐泊松过程， 若满足： ( 1 ) ( o ) = 0 ： ( 2 ) ( f ) ，f o ) 是一独立增量过程； ( 3 ) 对充分小的h 0 ，有p n ( t + h ) - n ( t ) = 1 】= 2 ( t ) h + o ( h ) ， p n ( t + h ) - n ( t ) 2 】_ d ( 办) 。 2 2 2 鞅 定义3 。设 x ( f ) ，t n 为随机过程，如果 5 ( 1 ) 目ix ( f ) i 】 ，t t ( 2 ) 对r 中的任意参数 乞 乙 f ，有 e x ( t ) ix ( t 1 ) ，x ( f 2 ) ，x ( 乙) 】= x ( t n ) 即对状态空间中任意状态q ，口2 ，a n ，有 e x ( t ) ix ( ) = g 1 ，x ( f 2 ) = 吃，x ( 乙) = a n 】= g n 则称 x ( f ) ，t 乃是鞅。 如果随机序列 以，”o ) 对任意整数门o ，研i 瓦i 】 o ，x 0 + f ) 一x ( s ) n ( o ，c 2 t ) ，即x 0 + f ) 一x 0 ) 是期望为0 ， 方差为c 2 f 的正态分布； ( 3 ) x ( f ) 关于r 是连续函数。 则称 x ( f ) ，t 0 ) 是布朗运动或维纳过程( w i e n e rp r o c e s s ) 。 当c = 1 时，称 x ( f ) ，t o ) 为标准布朗运动，此时若x ( o ) = o ， x ( f ) ( o ，t ) 。记标准布朗为 形( f ) ，f 0 ) ，它在t 时刻的概率密度函数为： 1 一! z ( x ) 2 面1 p 力。 由上述定义可知，标准布朗运动具用下述性质： ( 1 ) ( 正态增量) 形( f ) 一形( s ) ( o ，t - $ ) ，即形( f ) 一形( 占) 服从均值为0 ， 方差为f j 的正态分布； 6 ( 2 ) ( 独立增量) w ( t ) - w ( s ) n ( o ，t - s ) ，独立于过程过去的状态 矽( 甜) ，0 材s ； ( 3 ) ( 轨道连续) 对v 缈q ，形( f ) 是t 的连续函数。 2 2 4 伊藤随机过程及伊藤定理 定义5 。设随机过程x = x ( f ) ，o ) 满足如下的伊藤积分：v o f o f r 有 x ( r ) 一x ( t o ) = 6 ( s ，x o ) ) 出+ ( 盯( s ，x o ) ) 扣o ) 。 或等价地写作伊藤微分形式 d x ( t ) = 6 ( f ，x ( t ) ) d t + o - ( t ，x ( f ) ) 招( s ) ， 其中b ( t ，功，盯( f ，x ) 是二元函数，且对溉吼，i6 ( f ) i i ，仃( f ) b ，则称x 为 伊藤随机过程。称上述积分和微分过程为伊藤随机积分过程和伊藤随机微分过 程。 设x = ，f q 为伊藤过程，y = f ( t ，x ) 为二元函数，且具有连续的偏 导数等，差，軎，令y ( 归心删m 懈黼机过程h 脚硼， 满足对o t o t ，成立 l ，( t ) - y ( t o ) = j ：【等+ 嗉+ 譬害，x ( 呦西+ 仃鬈( s ，x ( 呦d 形( s ) 或等价的写为 d r ( f ) - 喏+ 唾弓害) ( f 删肼瑶鼬彬眦) 则称上述公式为伊藤公式。 2 2 5g i r s a n o v 定理 定理2 1 ( g i r s a n o v 定理) 设形，0 rsr 为标准b r o w n 运动，令 z | ( 日) = e x p f h , d w , 一了1f 且2 d s ( 2 8 ) 假定钇( 日) = l ，对w 耳，令q ( 彳) = 工乙( 日) 卯及 7 形= 形一f 皿凼，o ，丁 ( 2 9 ) 则q 为与尸等价的概率测度，且形为关于测度q 的标准b r o w n 运动。 下面是g i r s a n o v 定理的另一种表述形式 定理2 2 设随机过程( 以，正) 。灯满足p ( r 以2 d t 0 ( f - 1 , 2 ) 是非随机函数，且满足可积条件： r 渺 ，r 仃2 ( t ) d t - 1 ( 否则会出现负的价格) 。| 是参数为五的p o i s s o n 过程，且形，i 相互独立。 本文均假定在期权有效期内市场没有任何交易费用和税收、无套利机会、 交易能够连续的进行、允许卖空且标的资产的数量是可分的，即市场是无摩擦 的。 3 2 2 跳扩散模型下的测度变换 风险中性鞅侧度( r i s kn e u t r a lm a r t i n g a l em e a s u r e ) 的引进是期权定价理论 上一个重要的里程碑。h a r r i s o n & k r e p s t 2 1 j 于1 9 7 9 年首先证明了市场无套利等 价于存在一个风险中性的测度。使得市场中任何财富的贴现价格过程 ( d i s c o u n t e dp r i c ep r o c e s s ) 在该测度中都是鞅，于是期权的定价问题就简化为 求其收益函数的贴现在该测度中的( 条件) 数学期望。通常用来贴现的计价单 位( n u m e r a i r e ) 是局部无风险的银行账户( m o n e ya c c o u n t ) ，其定义为： e x p r ( s ) d s 其中，( s ) 为短期利率( s h o r tr a t eo f i n t e r e s t ) 。j a m s h i d i a n 2 2 1 和g e m a n 等人 瞄1 的工作表明通过选取一些不同于e x p ，( j ) 出的资产作为计价单位，同样可 以得到具有类似性质的概率测度。本文计价单位如下： 由( 3 5 ) 知： 鲁= e x p 胁渺+ j r 咖心一五1 r 吒2 出) ( 3 6 ) 引理3 1 选择可交易的基本标的资产s 和e ，f t e 是一个贴现过程，令 互= 马。1 s ，则存在p 的等价鞅测度q ，使贴现后的股票互在q 测度下是鞅。 证明： 由肪公式可得：皿刊( 争= 去驾+ s d ( 击) + 驾d ( 击) 又d ( 击) = 百1 【( 吒2 0 ) 一心o ) ) 出一吒( ，) d 形】 于是： 等= 眦o ) 一：( f ) 一g ( ，) 一砌+ 仃：( ，) p ：( f ) 一q ( r ) 为出+ ( 盯。( f ) 一盯：( ，) ) d 形+ 厅州 记 加) = 盟巡0 嵩 2 瑞o l 产趔，u j i 1 阪定仃2 ( f ) 一盯l ( ，) 0 ，! l l q 乓e x p 专i y 2 ( s ) 及 形q = 形一i 7 0 ) a s 由c _ v i r s a l l o v 定理，可知q 是p 的等价鞅测度。 其中形口是一个q 测度下的标准b r o w n 运动，在q 测度下互满足 ： a ，z , ：( 吼1 3 f ) 一( ) ) d 形口一( 肋+ g ( ，) ) 衍+ b a n , ( 3 7 ) - a t 昌d o l e 黜d a d e 指数公式【2 4 】，可得随机微分方程( 3 7 ) 的解为： 互= z 0 0 + h ) me x p f ( 以j l 一口( s ) ) 凼+ f ( q ( s ) 一( j ) ) 彤口 一寻f ( q ( 沪o - 2 ( 呦2 d s ( 3 8 ) 由正态过程的拉普拉斯变换，可证得z 是q 测度下的鞅。证毕 1 2 由于去除了期望收益率z 。( t ) ，与投资者对风险的偏好无关，故又称q 为风险中 性测度。对于贴现的未定权益( c o n t i n g e n tc l a i m ) x = f ( s r ) ，显然巨= ( 屏1 x ie ) 是一个鞅。 引理3 2 对欧式未定权益x = f ( s r ) ，在t 时刻的无套利价格为： 。 形= e ( f ( 品) i e ) = b ，e o ( f ( z t ( i + | i ) 坼e x p j r ( 铂一g ( j ) ) 凼+ j r ( q ( 占) 一c r 2 ( j ) 矽形口一号j r ( 吼o ) 一c r 2 ( j ) ) 2 西) ) ie ) 证：可仿照文献【2 5 】中推论2 5 前面我们已经将原来的p 测度转换成风险中立q 测度我们也可以再将风险 中立q 测度转换成风险中立的另一种测度r ，如此有利于以后求解定价的方便 定义测度r ：使得 毫= e x p r ( q ( j ) 一( j ) ) d 口一互1f ( o - i ( s ) 一c r 2 ( j ) ) 2 凼及 形r = 形口一f ( q ( s ) 一( s ) ) 凼 i 扫g - i r s a n o v 定理知，r 为q 的等价鞅测度，且形足为关于r 的标准b r o w m i 云_ 动。 则在r 测度下有 z ，= z 0 ( 1 + ，) me x p f ( - a h g ( j ) ) 凼+ f ( q ( j ) 一c r 2 0 ) ) d w f l + 吾f ( q ( s ) 一u 2 ( j ) ) 2 d s ( 3 9 ) 且 ( e x p r ( q ( s ) 一吒( j ) ) d 形口一寻r ( q ( s ) 一吒( j ) ) 2 a s l ) = ( l ) ( 3 1 0 ) 3 3 跳扩散模型下重置期权的定价 对规定时间的重置看涨期权，设到期日为t ，重置时间为互( o 互卸，在期 权的签订日设置的敲定价格为k 。如果在f = 互时刻原生资产的价格s t , k ，那 么重新设置敲定价格为黾，否则将保持原来的敲定价格k 不变。令 素：j 晌( k ，黾) ，互f r 【k ，0 s ， t 在到期日t 时刻期权的收益为 1 3 x = 僻一云广= 季二囊霎差篓：乏三 r g i 薹坐塑黑巡兰( 1 w ”产咖 ( 一口l ) ( 6 l ) 一s 拿( 1 + 1 ) m p 一曲( 而- ，) 一r 帕岫( 一q ) o ( 6 2 ) 觑 一 + 墨p 训m 胁冲( 1 + 矿一( 口i ，西，p ) 一k b , n ( a 2 , “p ) 】( o t t j 墨，4 7 - ，) - f 巾岫( 1 + h ) ( 2 ( t 。- t ) ) e - a c r - o o ( 乏) 础 磊) 尽艺n = o 擘( 一血n k ，岛) 马巡号； 一( 乏) ( 五s t 乃 ( 3 1 1 ) 其中： 啪剃= 琊1 零e x p - 筹舭为二元标准正态分布函 色。叫一瓜丽i 丽：小小瓜石丽而 1 4 ，= 一 互= 面一j f r ( q ( s ) 一吒( j ) ) 2 凼 证明：1 ) 当0 r k ) 尸( k ，品 k ) = 忍( ( 昂一黾) 两。r 岛，两) ) + 忍岛( ( 昌一k ) 两丛西，石) ) = c l + c 2 因为标的的价格随机过程呈现- - 5 尔可夫性质，即股价在前后期的行为是独 立的。因此，在重设时点i 标的资产的价格黾而，】名册! 疗! “啊“姊锄p = s p 一舳c r - r 卜r “1 ) 出萋；皇二至：兰：! 二等耋琶1 2 1 幽 r ( 黾 黾) ：s i g h ( r - o - 胁凼薹坐竺黑掣巡型舢& j i 乙7 i l n 南嘲( h ) + 枷肛三( ( 啪h ( 跚埘 因为：f ( 吼( s ) 一c r y ( j ) ) d 形r n ( o ，r ( q ( j ) 一吒o ) ) 2 a s ) ， = s e - , t h ( r - t ) - j ：q o ) a s 急寻( 1 + h ) m + e - t ( r - o ( 历a , ( ! t 刀i ! - t ) ) = 3 ( t - t 1 ) r ( - o a ) ( 岛) 厶= 忍( 两岛 禺i ) ) = j 5 i ( 乞两“即) ) 畸b 包te - 舳( 叫咖薹堂堂攀筹幽哑 岣 m 0 ，；，“ r ( 黾 ) ：墨拿p 圳一舯凼艺坠盟竺垫凳必坠坠丝。( 一q ) ( 6 2 ) 6 - mra=o ! 刀! 、一 叶 ：，“ 1 6 c l = 薹坐塑= = ! 鼍鲁幽坚墨! 蔓丝瞩e 棚即吖“岫似1 燃钔一暗p 一螂o f “帕。( 1 ) ( 6 2 ) 】 同样利用测度的转换和鞅的性质，第二部分g 计算如下： c 2 = e 岛( 品岛丛西，足) ) 一五丑( 向丛西 置) ) = 厶一l 厶2e ( 岛厶禺l 丛焉，幻) = s p 一肭仃叫卜r “订凼薹塑l 生丝= = 二生二! 二号5 募f 1 2 2 衄r ( k ，品 k ) ：矿掷- 1 ) 胁灿艺丛贮竺墨盟型螋r ( r ( 吼( j ) 一吒( s ) ) 识r 怠 m l n 1 一一 ”“。 1 1 1 否x 睾f _ f + 旯乃( 五一d + r ；g ( j ) 凼一三r ；( q ( d c r 2 ( s ) ) 2 凼，f r ( q ( s ) 一c r 2 ( j ) ) d 形r l i l 靠+ 胛- ，) + 胁肛互1 j f r ( q 一咖) ) 2 埘 ：墨p 埘c 小舳艺坠鲨! 里黑型幽( q ，面，夕) = 二 m ! r l ! 厶= 魍薹坐鳖黑蚴( 巴珈) ，因此 c 2 = 薹掣生等籍嗡驴州m 胁。咖卜码眦a 2 , 站p ) 】 为 于是r c t 可求。 2 ) 如果重置时间， 互，是否重置将为已知，则在到期日t 时刻期权的收益 x = ( 品一m i l l ，k 】) + 于是 尺g = 尽岛( ( 昌一m i - t 黾，k 】) + ie ) = 盈龟( 品& s r ，m 佃峨x dle ) 一e 岛( 磁昂加叫两，置dle ) 1 7 i = e 岛( z ，( 1 + ) * 懿p r ( 以i l g ( 呦凼+ r ( q ( s ) 一c r 2 0 脚形口一三r ( q ( s ) 一吒( 劝2 出 “，叫舢i e ) 设在o ，t 】时段内跳跃n 次，则 m 产小岫茎型等噬气( e x p r ( q ”咖) ) 聊 一丢r ( q ( 沪c r 2 ( 呦2 凼) k 岫。) = s t e - ：, c r - t ) * - j ：q o ) , 矗薹盟幽竺矾一) ：s t - , t ( 7 - t ) h - j ：如) 出艺坠业坚掣r ( p 山 黾闳) - n * o 刀! 、。 q 。“ = 墨p 一钺r - f 汕一r “j ) 凼主三堑生生竺i 二垦兰鱼三i 1 2 1 ：! 二竺兰 r ( r ( 铂_ g ( j 舳+ r ( 啪卜吒) 彤4 + 三f ( 啪卜c r 2 ( 呦2 凼 l i l 篆筹) = $ , e - 双r - o h - 似出薹幽等型r ( 艨 一扪 = 誓扣似凼茎幽等翌( 乏) 同理： i i = m 埘黾，k 】忍( k 州, x d lf ) = 曲吼，固忍q ( 品 m i n s 五，k 】) = m i r i 【黾，k b , q ( i n z , + l n ( 1 + b y 一r | i l + g ( s ) ) 西+ r ( q ( s ) 一吒o ) ) d 形口 一百1f ( q ( j ) 一吼( s ) ) 2 凼 l n i i l i n 【，k 】) = m i n s n ，k 】e 茎塑墅竽( 乏) 将i 和i i 带入即可证。 由定理很容易推得下列推论： 推论3 1 重置看跌期权在r ( r k ，s t x = 一品+ k ，岛k ，s k 10 ，其他 与看涨期权的收益进行比较，易证。 若令( 3 1 1 ) 中f = 0 ，则有： 定理3 2 在跳扩散模型( 3 5 ) 中，到期日为t ，重置时间为互( 0 五 t ) 的重置看涨期权在0 时刻的定价公式为： r c o = 薹兰：二堑坚弓三毛：笋! 二玛& ( 1 + 办) 肼p 一舳卜c “。凼( 一口1 ) ( 6 1 ) 一s o 争- ( 1 + h ) m e - 枷- r 帕油( 一口1 ) ( 6 2 ) + 墨e 一肋r r 咖冲( 1 + 厅) m + 一( 口l ，碣，p ) 其中： - k b o n ( a 2 ，d 2 ，p ) 】 ( 3 1 3 ) 6 l = 吼：q 一瓜丽i 丽如= 0 一瓜而 1 9 p = 蕊磊 作为定理3 1 的特殊情形，有以下两个推论： 推论3 2 若市场无风险利率，( ，) 、股价瞬时波动率c r ( t ) 、连续股利率g ( r ) 均 为时间t 的非随机函数，则重置看涨期权在t 时刻的无套利价格为： 薹竺幽篇巡蔓( 1 + ，m ( 一磊) ( 匠) 一墨( 1 + 厅) m e 一坝五叫巾曲叫。9 。冲中( 一面) ( 匠)( 一磊) ( 6 1 ) 一墨( 1 + 厅) ”叫4 一如中( 一面) ( 如) + 墨e 一川n 卜j t 仲净( 1 + 办) ”棚j r ( a , ，覆，动一k e j t 巾油( 嘎，远，声) 】 ( o f 劢 墨p 叫州丁f ( j p 茎掣半! 竺。( 万) 其中： 侧硒胁凼茎鲣孚竺( 互) 6 i = 旎= 磊一腼 4 = 匠= 云一瓜丽 乏：盂一瓜磊 p 2 何f 乃 ( 3 1 4 ) a ：= a ：一丽 推论3 3 若市场无风险利率、指数连续股利率、指数瞬时波动率均为常数， 与时间无关，即：r ( t ) 、g ( f ) 、仃( f ) 为常数，则重置看涨期权在t 时刻的无套利价 格为： 薹苎盟考掣堑玛踟w v 州川 西( 一f i l ) ( 五) 一墨( 1 + 协”e 一州五一卜，( 7 一再卜覃五叫( 一f i i ) ( 匠) + s t e 一舶r h ( 1 + 厅) “+ “( 磊，蟊，声) 一k e 一 r 一( 盈，之，声) 】( o f 写) 一e 以弘帖和艺丛业冬尘坚竺( 盂) 篙 刀! 一 一m i i l ，聂) e - ，薹垡堡竽( 之) 何鲥 d ( 3 1 5 ) 其中： 磊：竺望二兰笔娄三塑型嘲一盯厕t口l = 卫7 = = = = _ = 一 口2 口i 一盯、i 厶一) 1 仃( 互一r ) 。 p =