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河北工业大学硕士学位论文 二维复合p o i s s o n 风险模型 的再保险分配比例问题 摘要 多维风险模型的研究较复杂，本文创造性的定义了二维复合p o i s s o n 模型，并基于此模型应用逐段决定马尔科夫过程( p d m p ) 的鞅方 法得到两参数指数鞅，由测度变换给出了破产概率的明确表达式，并 通过对调解系数的讨论得出了相依的二维复合p o i s s o n 风险模型再保 险的最佳分配比例。本文的另一个创新点是将以往定义在索赔变量上 的保留函数定义于整个过程上，意义在于对过程的研究可以解决更广 泛的问题。文章还分别对两种相依和独立三种情况的二维复合p o i s s o n 模型的具体例子进行了数值计算 本文共五章第一章是绪论，主要介绍了风险模型的背景和再保 险的知识；第二章介绍了二维复合p o i s s o n 模型的提出和对模型的假 设；第三章是本文的主体，通过对模型的分析，运用p d m p 的鞅方法 和测度变换技巧，讨论了二维复合p o i s s o n 模型的再保险分配比例问 题；第四章通过具体例子对两种相依和独立三种情况给出了数值计算 结果。第五章是结论，总结性的列出了本文的主要结果。 关键字：二维复合p o i s s o n 模型，再保险，破产概率，调解系数族 二维复合p o i s s o n 风险模型的再保险分配比例问题 r e i n s u r a n c ef o rt h ep r o p o r t i o n a l c o n t r a c ti nt w o d i m e n t i o n a l c o m p o u n dp o i s s o nm o d e l a b s t r a c t m u l t i d i m e n t i o u a lr i s km o d e li sv e r yc o m p l e x i nt h i sp a p e rw ed e f i n e t w o - d i m e n t i o n a lc o m p o u n dp o i s s o nm o d e lc r e a t i v e l y a p p l yt h em a r t i n g a l ea p p r o a c ho fp i e c e w i s ed e t e r m i n i s t i cm a r k o vp r o c e s s ( p d m p ) a n dt h e c h a n g eo fp r o b a b i l i t ym e a s u r et ot h ea s s u m e dm o d e l t h e nw eo b t a i nt h e e x p l i c i te x p r e s s i o n so ft h er u i np r o b a b i l i t y a n a l y z i n gt h ea d j u s t m e tc o e f f i c i e n t st h eo p t i m a lp r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c ec o n t r a c ti nt h et w o - d i m e n t i o n a l c o m p o u n dp o i s s o nm o d e lc a nb ea c q u i r e d i no r d e rt om a k et h ef u r t h e rr e - s e a r c h ，w ed e f i n et h er e t e n t i o nf u n c t i o no nt h ep r o c e s s ，b u tn o to nt h ec l a i m s i z e t h i si sa n o t h e rc r e a t i v eo p i n i o nw ep u tf o r w a r d a tl a s t n u m e r i c a l e x a m p l e sa r ep r e s e n t e d t h i sp a p e ri n c l u d e sf i v ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h er e l a t i v eb a c k g r o u n di sg i v e n w ep r o p o s et h en e wm o d e la n ds o m eh y p o t h e s e si nt h e s e c o n dp a r t t h em a r t i n g a l ea p p r o a c ho fp d m pa n dt h ec h a n g eo fp r o b - a b i l i t ym e a s u r ea r ee m b o d i e di nt h et h i r dc h a p t e r - t h em a i nb o d yo ft h e p a p e r b ya n a l y z i n gt h ec o r r e l a t i o no ft h em o d e lt h er u i np r o b a b i l i t ya n d t h er e i n s u r a n c ef o rt h ep r o p o r t i o n a lc o n t r a c ta r ed e r i v e d i nt h ef o u r t h c h a p t e rn u m e r i c a le x a m p l e sa r eg i v e n c o n c l u s i o ni st h el a s tp a r t k e yw o r d s ：t w o - d i m e n t i o n a lc o m p o u n dp o i s s o nm o d e l ，r e i n s u r a n c e ， r u i np r o b a b i l i t y ，a d j u s t m e n tc o e f f i c i e n t s 二维挝台p o i s s o n 风险横型的再保险分配比例问题 符号说明 韶件a 的示性嘲敷 一鼹、e 上的b o r e ln 代鼗 一跃态空瓣 一数学期望 景件数学期望 e x f 叠) ) 毋布函数 盯一代数 一难整数集 实数襄 。一非受实数巢f o ，。o ) 一包括无穷犬的非鱼实数集【0 ，。l 定义于 取越聚数左投右连蕊鼗空涟 概率空巍 琶生成函数 保费收入率 潺带系数 索赔刭这时澍间隔序耐 瘃赔额序列 琏机变量t 的期墼 最氅疆产裰辜 翦限时间破产概率 弗 研蛳 0 碱e e哪f，肆餮酶肆瞩删。了黼船荆槲 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注秆i 致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写的研究成果，也不包含为获得河北工业大学或其他教育机构的学位或证书所使用过 豹材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 啄了谢意。 学位论文作者签名：杏袈 f 期： d 2 羽5 ，5 痨 关于学位论文版权使用授权的说明 本学位论文作者完全了解河北工业大学有关保留、使用学位论文的规定。特授权河北 t 业大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文 的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：杏老 导师签名：劢f 聃 h 期：如5 占鸪 日期：j 渺s 、s 河北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 风险理论是当前精算界和数学界研究的热门课题。它作为精算科学中的重要组成部分， 主要是阱保险公司的风险业务为研究对象的在保险公司的日常经营中，公司的主要资金往 来为保费的收入和理赔的支出作为保险精算的一部分，最初主要借助随机过程理论来构造 保险经营中的余额过程，并研究其破产概率、调节系数、精算量等问题风险理论的研究溯 源于瑞典精算师l u n d b e r g 在1 9 0 3 年发表的博士论文【“，至今已有一百余年的历史，他 的工作奠定了保险风险理论的基础，l u n d b e r g 意识到复合p o i s s o n 过程是非寿险模型的 关键所在在此基础上，h a r a _ l dc r a r a d r ( 1 9 5 5 ) 和他的研究机构构筑丁非寿险数学模型 的概率基础，使得风险理论成为概率论和数理统计的一个非常活跃的分支。因此，风险理论 较为系统的形成应该说始于l u n d b e r g 2 】和c r a m s r 3 一【5 1 那么如何处理保险风险呢? 为此人们总试图建立各种风险模型，并广泛地把马氏过程、 鞅和布朗运动、更新过程等理论应用到这些模型破产理论的研究中去并取得了重大的突破 和获得了众多优美的结果对风险理论系统地论述当属g e r b e r 6 一【l u 】在多种处理风险 模型的方法中，鞅作为一种理论工具占重要的地位应用鞅理论于风险模型中的方法始于 g e r b e r ，其主要思想是通过构造适当的鞅以推导所求其后出现了大批应用鞅工具求解的 风险模型，特别是在参考文献f 1 1 】中，应用这种鞅方法不仅简化了经典风险模型l u n d b e r g 不等式的推导，而且把这种方法推广应用于更新模型和c o x 模型，得到了相应的l u n d b e r g 不等式的推广1 9 8 4 年d a v i s 提出了一种非扩散的随机过程一逐段决定马尔科夫过程，并 解决了其广义生成算子的表达式及定义域的刻茴这种理论一经提出，就立即引起了许多学 者的注意在保险风险方面，正如e m b r e c h t s “j 指出的那样，这种过程可以为风险理论的 应用性研究提供一种标准的理论其后e m b r e c h t s 等成功的利用这种理论和鞅方法研究了 经典风险模型的一些推广模型。一般说来，风险模型中鞅的构造需要技巧，而基于逐段决定 马尔科夫过程( p d m p ) 的鞅方法则为所需鞅的构造提供了程式化的方法。 用p d m p 理论研究风险模型的一般方法： i 将风险模型纳入p d m p 框架，得到p d m pf j ，； i i 确定过程 j ，t ) 的广义生成算子一4 ，并求解方程，4 ，= 0 仃口( 一4 ) ) 事实上，我 们仅需一个适当的特解； i i i 应用鞅论于鞅 ，( 托) ) 以寻求原风险模型的结果 我们再来介绍一下本文涉及的另个重要概念“再保险”。 再保险的产生与发展与保险的产生与发展紧密相连再保险与保险都是从海上保险开 始萌芽的。中世纪末期，随着海上贸易的不断扩大，经济的不断繁荣，西欧尤其是在意大利 1 三维复合p o i s s o n 风险模型的再保险分配比例问题 荦羹终残蔽萨羼錾 h a n s e a t i cl e a g u e ) 翡藏奉，逐辩彩我了糅险静蠢盈诧耩专堑讫。翠赣 出于没肖统计数据，没脊概率表和概率论，保险人仅篼个人对风险的判断决定是否墩保。为 了避免遭受更大损失，保险人慢慢的蠛过再保险的方妓将部分甚至叠部风险转移给其他再 保险人，从露在窖鼹上产生了对再保险鲍霞要。1 3 7 0 笨，一位意大剃鲍海上保险人嚣次签 发了一份转嫁风殓责径懿保单。匏将海上靛程分作两裁，褥风险较大的鄂部分航程的风险责 任转嫁给其他保险人承揽这种做法虽然与现代再保险不同，但从风险分担的角度考虑，仍 属于再保险的开端 菇镰陵是一转安黪，运遘宅擐验公霭袋一爨凌多努) 豫睑含瓣将金帮袁邦分菇验转 移给另一窳公司转移风险的公司叫分如公司，承担胤陵的公司叫分入公司或再保险公司。 实际上，籀发保单的保陵公司从另一家保险人处购买了保险通常，辩保险公司承担一份保 险合耐璞下孵部分损失资柽然而，在菜些情况下，髯保险公司承担了藤保险合同的念裸责 任。两襻，霉绦隆公霉嵌会遘蔓l 类稼懿猎提，掰戮也会褥一部分矮子鑫畦静风险转交绘第三 个保陵公闭如此下去，一个较大的风险将会分成较小的部分由不同的保险公司承担这样 的过程降低了单个保险公司的承担风险，但总的风险却没有发生任何变化再保险的避用扩 晨了鼹除鲢分整，使褥保险交易对保险入秘愿被保陵入来说都更女e 安众。 分搬公霹运角再像陵主要是为了繇护自身，避免在菜一事故中遭受超过规定金额 印 自留金额) 的损失市场宽争和销售越力要求签发大额保单，如果一家公司只签发不商于其 自留金额的保单，则无疑将极大的限制戴市场机会许多被保人更愿意就一件损失标的向一 家公蠢羧镲。雨量，每次承舞夫壤鼹险瓣，签发多秘僚纂是疆不方襞戆。 再保险对于保险的购买者也是有意义。这是因为，首先，再保黢通过分散风陡增加了 保险人的经济稳定性，由此也增加了原保险人支付索赔的能力其次，弭保险使得将犬额或 异常的风险载体置于一裳公司成为可能，这样就减少了用于寻找保险的时闻，而且对予每一 最陵载棒不嚣嚣要 牟多绦单，这无疑洚撬了买者囊卖纛豹交易戚率攀三，再缳险捷褥小公 司也可以在市场上立足，由此增强丁保险业的竞争 基于上面所述再保随的实际背景，为解决比例苒保险中的最优比例问题，本文搬出了 一种凝的模型，即二线攫会p o i s s o n 撰毽。垮经典复会p 矗s s o n 摸蘩( 一维) 中的p d m p 鞅方法帮涮度变换的技巧乎行推广到二维模型串，剜丰富的理论霹可爝来研究嚣i 陵耩毽的 各个方面。文中给出了一些结果，如新濑j 度下过程的一贱性质、二维复含p o i s s o n 模掇破产 概率的表达式等同时，本文还介绍了两种相依风险模戏并通过对具体例子的数值计算得出 了再缳羧雏最魂毫秘分辩。 2 河北工业大学硕士学位论文 第二章模型的提出及基本假设 先来回顾一下经典的一维风险余额过程 r ( t ) = u + d s ( t ) = u + d 其中“0 为保险公司的初始准备金；c 0 为单位时间的保费收入( 保费收入率) ，s ( t ) 为( 0 ，硝时问间隔内的总索赔额，它是参数为 的复合p o i s s o n 过程，每次索赔大小的分布 函数为毋，( z ) ；r ( t ) 表示t 时刻保险公司的盈余 面在现实中单一险种存在一定的局限性，由于保险公司风险经营规模的不断扩大，即 风险经营险种的多元化，有必要为多险种风险经营过程提供较单一险种更为客观实际的风 险经营模型基于这种想法建立了多睑种风险模型在风险分析理论中经常假定保险公司接 受到的各索赔量是相互独立的，然而在实际保险公司的运营中，经常遇到有相依关系的索赔 问题例如，在车险中除了车本身的损失外还会牵连到人身保险、医疗保睑等随着保险与 再保险研究的逐步深入，人们已经更多的注意到了相依风险模型的重要性g o o v a e r t sa n d d h a e n e 1 3 ，d e n u i te ta lf 14 1 ，a m b a g a s p i t i y a 1 5 1 d h a e n ea n dd e n u i t 1 6 1 等都曾深入研 究过此类问题本文将经典的一维风险模型推广至二维的情形并在第三章中具体阐述r 相 依结构 推广的二维复合p o i s s o n 模型为； ( 一( ：) + ( ： ) 堇( 铭) n ， 我们给出关于此模型的基本假设： “1 ，u 2 分另4 是两个风险分量过程x ( t ) ，y ( t ) 的初始准备金，u 】兰0 ，u 2 0 q ，国分别是两个风险分量过程x ( t ) ，y ( t ) 的保费收入率，e l 0 ，。2 0 ； x ( t ) 表示( 0 ，t 时间区间内过程到达的索赔个数，服从参数为a 的p o i s s o n 分布； ( 【k ，k ) 是表示索赔大小的二维随机向量，相互独立具有相同的分布地y ( u ， ) ，且 与0 ) 是独立的； 过程满足净收益条件c i # 岫 0 ，q # y 0 那么如何在这种新的模型下建立再保险呢? 在再保险业务中，分出公司根据自己的业 务承受能力承担的责任称为自留额( r e t e n t i o n ) 或自负责任额。经过分保由分人公司接受并 承担的责任称为分保额( l i a b i l i t y ) 或分保责任额按责任分配方式可将再保险分为比例再 保险( p r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c e ) 和非比例再保险( n o n p r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c e ) 。 保险( p r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c e ) 和非比例再保险( n o n p r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c e ) 。 维复合p o i s s o n 风f 碴模型的再保险分配比例问题 定义保留函数h ( x ) ：豫+ 一r + ，即h ( x ) 表示风险由分出公司的承担部分，则x h ( x 1 表示再保险公司所要承担的风险。一般情况下再保险合同用以明确这部分风险可以看出 ( z 1 具有以下性质： h ( x ) ，z h ( x ) 都是增函数。这是非常合理的，因为若索赔增大，那么两公司都会相 应承担更大风险 0 曼h ( x ) x ，特别的h ( o ) = 0 通常我们有以下几种方式选择保留函数 ( z ) ： h ( x ) = n z ( 0 0 ) ，称为截尾合同 本文主要讨论比例再保险这里我们把保留函数定义于过程上，对于二维风险模型给 出两个比例合同： h l ( x ( t ) ) = a x ( t ) ， 2 ( y ( t ) ) = b y ( t ) 则对于分出公司而言，我们得到了定义在二维复合p o i s s o n 模型上的比例再保险模型： ( 苫器) = ( 乏) + ( 篡；) 一篓( ：铭) 令； n ( t ) 冗。( f ) = o x o ) + b y ( t ) = ( n u l 十乩2 ) + ( n c l + b c 2 ) t 一( d + b y e ) 冗( 。，6 ) ( t ) 表示分出公司的余额过程 定义： 破产时刻： 咒= 丑。0 s 郇i 。d ) = 及吼6 ) = i n f t 0 ：r ( 。，“) o ) ，o = a l c t a l l ： 破产概率： 币d ( a u l + b u 2 ) = p ( 2 乙 o 。j r ( 8 ， ( o ) = a , a 1 + b u 2 ) 。 我们所关心的问题就是如何调整o ，6 的比例关系使得破产概率i 口( o “l + b u 2 ) 最小 4 河北工业大学硕士学位论文 第三章模型分析及主要结果 3 1 模型分析 前面提到两类风险可能存在某种相依关系，在这里我们就介绍两种相依性，即i r 模式 和p c s 模式，它们在风险理论的研究中应用比较广泛另外的i n d 模式是两类风险独立 的结构。 1i r 模式( i n t e r a c t i o nm o d e l ) 考虑这样一种保险，它是由两类相依的风险构成，每一类都有两种索赔方式：主索赔 与副索赔，即某一类索赔的发生会以某概率牵连另一类索赔的发生例如，在一次交通事 故中，车受到损坏，同时司机也可能受到伤害，那么车险的产生又引出了相关人身保险的索 赔，在这里车险可以看作是主索赔，人身保险可以看作是副索赔用哪”( f = 1 ，2 ) 表示第 f 类的索赔计数过程，则 州。) ：“+ 2 “ 说明： ( 1 ) 耐“是参数为的p o i s s o n 过程，表示( 0 ，t 时间区间内z 类中的主索赔发生个 数； ( 2 ) 州“( k z ) 是参数为a m f 的p o i s s o n 过程，p k z 表示k 类中的主索赔产生z 类中的副索赔的概率，其中0 p k f 1 且女f 所以耐栅表示在( o ，叫时间区间内由 于类中的主索赔而引发的2 类中的副索赔的个数。我们也可以把n ( u ) 看作是p 2 l = 1 的 特殊情况； ( 3 ) 假设 硝“，2 = l ，2 ，z 女) 与耐“是相互独立的 关于此类相依风险的更多细节问题可以参考【1 1 设z 表示2 类中的第n 个索赔大小，我们假设所有的索赔额随机变量都是相互独立 的， 硝，n = 1 ，2 ，) 有共同的分布函数巳( 1 ) ，f = 1 ，2 同时每个索赔额随机变量与 主、副索赔计数过程也是相互独立的则相依风险余额过程： f 1 川2 鹏6 ( t ) = n x ( ) + a v ( t ) = ( m n + 地2 ) + ( 0 c l + b c ：) t a 砑一6 踏。 n = ln = 1 其中 j p o i ( a 1 + a 2 p 2 1 ) ，艇2 ) p o i ( a 2 + a l p l 2 ) 5 二维复合p o i s s o n 风险模型的再保险分配比例问题 借助y u e na n dw a n g 1 7 中的方法可将其变形为二维复合p o i 8 s o n 模型 _ ( t ) r 6 o ) = a x ( t ) + b y ( t ) = ( n u l + b u 2 ) + ( o c l + b c 2 ) t 一( a g 十b y e ) n = 1 经过简单计算，可知 n ( t ) p o i ( ) ， = a 1 十a 2 ， 功，v ( q 掣) = ；【( a 1 一a 2 p 2 1 ) f z ( t ) ( z ) + ( a 2 一a 1 p 1 2 ) f z ( 。) ( ) + ( a 2 p 2 1 + a 1 p 1 2 ) f z ( ，) ( z ) f z ( 2 ) 。) 】 我们称这种相依结构为i r 模式。 2 p c s 模式( p o i s s o nm o d e lw i t hc o m m o ns h o c k ) 这是另外一种相依结构，考虑： 趔1 捌2 五。( t ) = a x ( t ) + b y ( t ) = ( 口“1 + 她2 ) 十( l + b c 2 ) t 一口墨1 ) 一6 霸孙 n = 1n = l 与i r 模式有所不同的地方在于嬲，踏所对应的索赔计数过程赋1 与趔2 1 ，其他符 号定义与第一种相依情况的定义是完全相同的在这里 趔1 ) = 川”+ 厩，赋2 ) = 耐2 2 + 厩 其中厩服从参数为x 的p o i s s o n 分布，这三个p o i s s o n 过程是独立的且 膨1 ) 一p o i ( a 1 + x ) ，赋2 ) 一p o i ( a 2 + x ) 由此可以看出第二种相依模式与第一种相依模式区别在于此处两类索赔计数过程中相 互影响部分为共同的m 这种思想已不再适用于主、副索赔的解释方法，共同过程肌的 发生可以更恰当的解释为与两个独立风险2 擘) ，球独立的外部因素的作用相关文献可 查阅a m b a g a s p i t i y a 【1 5 1 1 18 1 ，p a r t r a t 1 9 。 同样，可以将其变形为二维复合p o i s s o n 模型经过简单计算，我们可以得到如下结 果： n ( t ) 一p o i ( a ) ， = a l + a 2 + a ， 1 功，y ( 。，y ) = 毒【 l f z ( 1 ) ( 。) + a 2 f z ( 2 ) ( y ) + 屹( 1 ) ( z ) 巴 。) ( 蚺 a 这种由共同因素影响的结构称为p c s 模式。 6 3 i n d 模式( i n d e p e n d e n tm o d e l ) 河北工业大学硕士学位论文 这种情况的讨论就相对容易一些，模型： 司1 瓦。埘( t ) = x ( t ) + b y ( t ) = ( 咖十b u 2 ) + ( 。c 1 十b c 2 ) t 一n 露) n = 1 其中 l ”p o i ( a 1 ) ，_ ”p o i ( a 2 ) 变形为二维复合p o i s s o n 模型后，有 n ( t ) 一p o i ( a ) ，a = a 1 + a 2 ， 1 地y ( 。，y ) = ； 1 巳( 1 ) ( 。) + a 2 兄( ) 由于此时丙 1 与司2 相互独立，所以称i n d 模式 许多研究相依风险的文章中，有些问题只有在z ( ，z ( 2 ) 属于某些特定的分布时才可 以得到解决对于一般化的分布定理、公式可能不再适用而从上面的模型分析中可以看出 二维复合p o i s s o n 模型的提出不再对z ( ”，z ( 2 ) 的分布加以限制，这就使得问题的研究具有 了普遍性在接下来的一章中，将把p d m p 的鞅方法和测度变换的技巧推广应用到二维复 合p o i s s o n 模型中，由于此类方法在经典风险模型理论中的不断完善，因此为二维甚至多维 的风险模型的研究提供了手段 7 砰 n 铲d 二维复台p o i s s o n 风险模型的再保险分配比例问题 3 2p d m p 方法求指数鞅 我们将应用p d m p 的方法得到一个二维风险余额过程即( i i ) 式的两参数指数鞅， 相关内容可参考 2 1 。容易看出 ( x ( # ) ，y ( t ) ，z ) ) 是一个逐断决定马尔科夫过程( p d m p ) ， 状态空间e = r r r + 。p d m p ( x ( ) ，y ( t ) ，t ) ) 的特征由下式给出： x ( 。m t ) = ( c z 鬈十c z 筹差m 巩 ( z ，y ，t ) = a ， 0 ( ( z ，y ，t ) ，b i b 2 b 3 ) = ( 亡b 3 ) f u v ( x b 1 ，y 一邑) 其中 。一b i = 。一性：珏b 1 ，分一召2 = 彭一移：口b 毫) ， b i b ( r ) i = l ，2 ，b 3 日( r + ) 则p d m p ( x ( t ) ，y ( t ) ，t ) ) 的广义生成元有如下形式： _ m m t ) = ( q 瓦o + c z 苗+ 髻m 卅 ( 以 ( x - u , y - v , t ) 魄y ( d u , d v ) 一m m t ) ) 想要得到一个 ，( x ( t ) ，y ( t ) ，t ) ，t 0 ) 形式的鞅，我们需要解方程a f = 0 ，事实上只需 求得一个特解试求形如 ，( z ，y ，t ) = e x p ( 一r z s y o t ) 形式的解在此假设r h u , v ( r ，s ) = 肌2c r u + s v 地v ( d u ，d v ) 0 ，等价地： 目( r ，8 ) = a ( r h u ，v ( r ，8 ) 1 ) 一c l r c 2 s 。( 3 1 ) 由p d m p 的鞅方法可知欲证 ，( x ( t ) ，y ( t ) ，t ) ) 为鞅，只需证当 ，( z ，y ，t ) = e x p ( - r x s y 一口( r ，s ) t ) 时有下式成立， n ( t ) e ( i f ( x ( w d ，y ( n ) ，1 ) 一，( x ( 丁t j ，y ( 矗一) ，n 一) i ) o ) 2 = 1 8 河北工业大学硕士学位论文 其中n 是第i 个索赔到达的时刻，目( r ，s ) 由( 31 ) 式给出事实上， e ( ( e 训1 ) 剞一e 一x ( “十8 y ( n 一) e 一。( ”) 1 ) n ( t ) se ( e ”m ) - s y ( m a x 1 ，e 叫”) ) ) n ( t )z e ( e x p ( p + s k ) ) ) m a x 1 , e - o ( 聊) 5 e ( n ( t ) e x p ( e ( r 配。+ 5 ) ) m “( 1 ，e 一8 ( ”) f = e ( n ( t ) ) e ( e x p ( ( r + s v , o i n ( t ) ) m a x ( 1 ，e 一。( 忡) = e ( ( ( 最u 矿( ? ，s ) ) n ( 2 ) ) m a x l ，e - a ( - , s = 妻( m u , v ( r ) s 矿警e t m m a x i,e-一(rs)tmax1)= ( ”) ) ) k = l = a t 氟，v ( t ，s ) e 一1 。e a t 赢v , v ( - “m a x 1 ，e 晰8 ) ) = a t 疏u ，v ( r ，5 ) e m ( 沆“，”( 即卜1 jm 觚 1 ，e - o ( ”q 因此，有下面的定理成立 定理3 2 1 若危u ，v ( r ，s ) 。，则 ，( t ) = e x p 一r ( x ( t ) 一“1 ) 一s ( y ( t ) 一“2 ) 一日( r s )( 3 2 ) 是初值”( 0 ) = 1 的指数鞅其中p ( ns ) 的表达式由( 3 1 ) 式给出 ；维复合p o i s s o n 风险模型的再保险分配比倒问题 3 3 测度变换 考虑二维风险余额过程 ( x ( t ) ，y ( t ) ) ，t 0 ) 的标准概率空间( n ，p ) ，其中q 为 ( x ( ) ，( ) ) 的所有可能样本轨道组成的d ( 醚+ ) 渡雷尔子集，= 召( 回令 五 是 “x ( t ) ，y ( t ) ) ) 的自然代数流易见，对每一n ，索赔到达时刻是，一停时 若r ，s r 固定时，有仇u ，y ( r ，s ) o ) ，定义如下： 只( ”( a ) = e 阻( t ) ；刎，a 五。 ( 3 3 ) 由k o h n o g o r o v s 扩张定理可知存在( n ，刁上的概率测度p f f , “，使得 巧”= p ( | ， 即巧”为p ( ”在五下的限制记e ( ”) 为在概率测度p ( 下的期望。 引理3 3 1 对所有t 0 和a 五，有： p ( 7 ，5 ) ( a ) = e e x p - - r ( x o ) 一u 1 ) 一s ( y ( t ) 一让2 ) 一目( r ，s ) t ) ；a i( 3 4 ) 及 p ( a ) = e ( 7 ，8 ) e x p r ( x ) 一札1 ) + s ( y ( ) 一u 2 ) + 口( r ，s h ) ；a 】 ( 3 5 ) 其中o f f ，s ) 由( 3 1 ) 式给出进一步，若r 为五一停时且a p o 。) ，使得a ，； 成立，则有 p 7 ，5 ) ( a ) = e e x p 一r ( x ( f ) 一u 1 ) s ( v f f ) 一“2 ) 一日( r ，s ) r ) ；a 】( 3 6 ) 及 p ( 4 ) = e f t , s ) b x p r ( x f f ) 一u 1 ) + s ( y ( r ) 一“2 ) 十日( r ，s ) 丁) ；a 】( 3 7 ) 证明：易见( 3 4 ) 和( 3 5 ) 可由定义( 3 3 ) 出发直接得出进一步，应用条件期望的性质 及鞅性，可推得( 36 ) 成立。由于在给定的概率空间( n ，- p ( ”) 上， m 一1 ( t ) ，t o ) 是 鞅，由鞅性有( 37 ) 成立。口 l o 河北工业大学硕士学位论文 由引理33 1 ，在新测度p ( ) 下可以很容易的得到破产概率妒沁1 ，u 2 ) ，妒m l ，u 2 ；x ) 的表达式 定理3 3 2 若r ，8 r ，且m u y ( r ，s ) 。，则对任意停时t ，有 讪( 钍1 ，u 2 ) = p ( r 。o ) = e ( 7 ，5 ) e x p r x ( t ) + s y ( t ) + e ( r ，s ) ) ；r o o e 一“- 一8 ”2 咖( 钍1 ，u 2 ；z ) = p ( r z ) = e ( r 1 5 ) e x p r x ( t ) + s y ( t ) + 臼( r ，s ”) ；下z 】e 一7 “1 一轧眙 引理3 3 1 中测度变换的技巧结合p d m p 的鞅方法是研究风险理论中破产概率的有 力工具接下来，我们要证明的是在测度p ( ”) 下，过程 ( x ( ) ，y ( t ) ) ) 仍然是二维复合 p o i s s o n 模型的风险余额过程。为方便起见，记p ( o ，o ) = p 定理3 3 3 对r ，s r ，且俄玑v ( r ，s ) 0 0 ，考虑概率空闻( n ，p n 3 ) ) ，则下述 命题成立： ( o ) 在测度p ( ”) 下，风险余额过程 ( x ( t ) ，y ( t ) ) ) 是二维复合p o i s s o n 过程，且保 费收入率为( c l ，c 2 ) ，索赔到达率为a ( ”) = a 晚v , v ( r ，s ) ，索赔额大小的分布函数为： f ( r ，5 1 ( z ，可) = j 孑j 孑e u r + v s d f ( u ，u ) ，亍。以y ( r ，s ) 特另0 的， 咖慨1 ) 咱) = 一翌型o r 加s ) ( y ( 1 ) 一2 ) = 一1 0 8 ( f r , s ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 6 ) 若r ，s r ，赢u y ( r 7 ，s ) 0 m u ，v ( p oc o s 血，p os i n o ) 0 ， 上面的式子表明p ( 纠是一个凸函数它的一盼导数目( 1 ) ( p ) 在p = 0 处有 臼( 1 ) ( o ) = ( a p u c 1 ) c o s+ ( a 卢y 一。2 ) s i n 0 。 而o ( o ) = 0 ，因此方程o ( p ) = 0 可能存在第二个根，如果根p 0 存在，那么它是严格正 的，并且是唯一的正根如果它是存在的，我们就称这个饵为有关n 的调节系数，用7 陋) 表示 引理3 4 i 对固定的旺【0 ，暑】，假设存在p o o 戚+ 使得痈u ，v ( p c o s q ，p s i n a ) o 。 对于p 。 其中甓= c 。g ，o sc f + 两o os i n a 。 1 4 河北工业大学硕士学位论文 证明：由上面的讨论我们可以得出当p p 。时，o ( p ) = o ( p c o s o ，p s i n ) 是趋于 无穷的由于o ( o ) = 0 ，目( 1 ) ( o ) 。 假设对于o 【0 ， 】，调节系数族7 ( d ) 是存在的，那么作为o ( 【0 ，割) 的函数，由 一r ( n ) 的定义可知7 ( o ) 满足方程： a ( 开。以y ( ( q ) c o s q ，7 ( n ) s i n c e ) 一1 ) 一c 1 7 ( q ) c o s a c 2 7 ( a ) s i n 。= 0 ( 3 1 2 ) 对于一阶导数7 ( 1 ) m ) 我们有： 铲k h 蔼x o , n v , v 焉羞蔼o , “v 鬻v 埘 由引理3 4 1 与( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 式可以看出p ) ( 死 。) = 1 因此有下面的定理 即破产概率的表达式。 那么 定理3 4 - 2 若n “，o 【0 ，】) 是调节系数集，且满足 r h v y ( c o s a ，s i n n ) p ( 咒 ) = e ( 1 a ) 【e x p x ( 咒) c o sa + y ( 咒) s i n a e 一1 “( “lc o s & + u 2s i n a ) = e h h ) e x p x ( 死) c o so t + y ( 咒) s i na e 一“ p ( t a 曼z ) = e ( h ) e x p x ( t a ) 7 。c o s o e + y ( 咒) s i n o r ；咒z 】e 一1 一。 其中u = “lc o s o + u 2s i n q 1 5 二维复合p o i s s o n 风险模型的再保险分配比例问题 第四章具体应用实例 在保险公司的运营中，分出公司设法找出两种风险的最优比例组合以使得自己的破产 概率尽可能的小而依照这种组合进行分担风险，分入公司却往往不能接受，因为这种比例 可能加大他们的破产可能性这样一来，分出公司与分入公司就要进行一下协调，达成双方 都满意的组合方式，只有双方满意再保险的业务才有可能开展。所以在这部分中我们分别对 i n d ，p c s ，i r 三种情况的再保险问题进行讨论首先考虑仅利于分出公司的最优比例，从 中可以看出两类险种独立经营时破产的可能性要超过最优比例时的经营，所以对风险合理 的分配比例是有意义的其次，兼顾分入公司的实际利益，考虑：= 1 时( 即分出公司与 分入公司获得相同的比例，此时利益均衡) ，调整保费收入率c 1 ，。2 使两公司风险都达到最 小解决问题的出发点就是定理3 4 2 中p ( b 0 0 ) 的表达式： p ( 死 0 ：r o ) 。= a r c t a l l ：， 知x ( 死) c o s o + y ( 死) s i n o p ( 哪l ”，丙1 2 ) 并且，三种情况下单位时间内总索赔的期望值为1 7 1 7 。 三堡塞鑫墅! ! ! ! ! 丝堕堡型墼墨堡堕坌照些型旦垦 4 一l 对i n d 模式的讨论 先对戮囊 孽形连杼讨论，塞第三部分撰穗分折霹翱 咖( 呱删叫一屁。“0 + w 咖慨，巾川 一熹z 。沙一”d 殇z ；十主z ”护y s i n c l d 。妇) 代入( 3 1 2 ) 式，有： 57 1 2 ，y nc o s 口 锰8 l n 口 s i n 2 a ( c lc o s o e + 。2s i n q ) 镌牛 1 2 s i n 2 0 ! 一( c lc o s l 9 ：+ c 2 s i n a ) ( s i n e , 十2c o s 吐) 】h 十( c 1c o s o z + 如s l n o ) 一7 s i n a 1 0 c 0 8 0 z 篇0 。 ( 4 1 ) 闻题1 ：囊巍险u , v 懿裰对安全受赫箨喜寿西一1 ) 提霹时，我靛要求褥一个撵 使褥最大，瞧印分警公司的破产风险鼓，j 、。 由 码= 鲁巴( z ) ，e u = 西5 五f 。z 曩1 e 一 。d 。= ；， 两( 。) - 壶疋m ( 笋) ，e v = 乏互y e - y d y = 壶 77 ，。7 所以； 栌醵c l t 2 彘一，。啦- 静： c l i 0 c 2 7 盎假设c 1 + c 2 = 1 8 7 ，赠： c 1 = i i ，c 2 ：7 7 。 将其代入( 4 1 ) ，当o = 0 时， r a = 0 0 4 5 4 5j 当o = 时，= 0 0 9 0 9 当o 0 最o 三时出l 一2 c o s o t 0 ，1 一8 i n 0 ，我们稳； f l2 s 遍2 0 十7 7 + 1 4 3 c o s 2 a ) 2 瓦石甄丽丽蔷巧瓦五亍 1 真 鼢 | | “ 踢 岫 阱 蚌 一 强 一班强 汁 妨 一 甄 | | “ x 瞰 鄹 河北工业大学硕士学位论文 圈1 ：i n d 模式下。与的关系 2s i n 2 a ( 1 lc o s o + 7 7 s i n a ) 。 由图1 可知，当。= 1 2 9 4 3 时，取到最大值，即 。= o 1 0 7 4 4 此时口，b 的最 优比值为：= t a no l = 3 5 2 4 问题2 ：调整两种风险的保费收入率。l ，c 2 ，使得分出公司与分入公司都获得相同的 调解系数时风险最小也就是说在a = ：处取得最大值，这样一来名与k 以1