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青岛科技人学研究生学位论文 几类偏微分方程的自适应最小二乘混合有限元方法 摘要 本文研究了实际问题中遇到的几类偏微分方程的数值方法，在系统地学习和 吸收有限元主要理论的基础之上，将自适应计算和最小二乘混合有限元方法相结 合求解二阶椭圆方程、四阶椭圆方程、二阶抛物方程、四阶抛物方程以及b u r g e r s 方程。根据这几类偏微分方程的特点运用自适应最小二乘混合有限元方法进行求 解，首先将原问题化为未知函数和通量函数的低阶方程组，而后将自适应最d x - 乘有限元方法用于此低阶方程组的每一个方程，因而可以同时得到对未知函数和 通量函数的最优逼近，该方法降低了有限元方法对有限元空间的光滑性要求；另 一方面，允许有限元空间具有不同的多项式次数，不必满足标准有限元空间所要 求的l b b 稳定性条件。本文对相应的有限元空间逼近格式做了理论上的分析，验 证了有限元空间构造的合理性。利用最小二乘函数构造了自适应计算中用到的后 验误差估计子，并对相应的后验误差估计子进行了有效的后验误差估计。本文重 点进行了自适应最小二乘混合有限元方法的理论研究，研究结果表明本文提出的 自适应最小二乘混合有限元方法是可行的。 本文共分为六章： 第一章绪论部分简要介绍了自适应最小二乘混合有限元法的发展历程以及 本文用到的基础知识。 第二至六章分别研究了二阶椭圆方程、四阶椭圆方程、二阶抛物方程、四阶 抛物方程以及b u r g e r s 方程的自适应最小二乘混合有限元方法。 关键词：自适应最小二乘混合有限元法椭圆方程抛物方程b u r g e r s 方程 后验误差估计 几类偏微分方程的白适应最d , - 乘混合有限元方法 a na d a p t i v el e a s ts q u a r e sm i x e d f i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rs e v e r a l p a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a b s t r a c t t h i sp a p e rf o c u s e so nt h en u m e r i c a ls o l u t i o n st os e v e r a lp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t h i sp a p e rs t u d i e st h es e c o n do r d e re l l i p t i ce q u a t i o n ，f o u r t ho r d e re l l i p t i c e q u a t i o n ，n o n l i n e a rp a r a b o l i cp r o b l e m s ，f o u r t ho r d e rp a r a b o l i cp r o b l e m sa n db u y e r s e q u a t i o no ft h ea d a p t i v el e a s ts q u a r e sm i x e df i n i t ee l e m e mm e t h o d t h i sm e t h o df i r s t s p l i tt h ei n i t i a lp r o b l e mi n t ol o w e r o r d e rs y s t e ma n dt h e np r o p o s eas y m m e t r i cv e r s i o n o fal e a s ts q u a r em e t h o dt h a ti sa na d a p t i v el e a s ts q u r a e r sm i x e df i n i t ee l e m e mm e t h o d f o rt h es o l u t i o na n di t sf l u x t h ed i s a d v a n t a g eo ft h em i x e de l e m e n tm e t h o di st h a tt h e l b bc o n d i t i o nm u s tb es a t i s f i e db yt h ef i n i t ee l e m e ms p a c e s i tr e s t r i c t st h ec h o i c eo f a p p r o x i m a t i o ns u b s p a c e s i nt h ea d a p t i v el e a s ts q u a r e sm i x e dm e t h o dal e a s ts q u a r e s r e s i d u a lm i n i m i z a t i o ni si n t r o d u c e df o rt h em i x e ds y s t e m t l l i sm e t h o dh a ss o m e a d v a n t a g e sa sf o l l o w s ：f i r s t l y , t h i sm e t h o di sn o ts u b j e c tt ot h el b bc o n d i t i o n ，s ow e c a ns e l e c tt h ef i l l i t ee l e m e ms p a c e sm o r ef l e x i b l y s e c o n d l y , t h ed i s c r e t es y s t e mi s s y s m m e t r i cp o s i t i v ed e f i n i t e ，n l i sp a p e rd o e st h e o r e t i c a la n a l y s i so nt h ec o r r e s p o n d i n g f m i t ee l e m e n ts p a c ea p p r o x i m a t i o na n dv e r i f y st h er e a s o n a b l e n e s so ft h ef i i l i t ee l e m e n t s p a c e so ft h es t r u c t u r e ap d s 纪，d r fe r r o re s t i m a t o r sw h i c ha r en e e d e di na l la d a p t i v e r e f i n e m e n ta l g o r i t h ma r ec o m p o s e dw i t ht h el e a s t s q u a r e sf u n c t i o n a l ，a n dt h e p o s t e r i o r ie r r o r sa r ee f f e c t i v e l ye s t i m a t e d mm a i nr e s e t so ft h i sp a p e ra r eo u t l i n e da s f o l l o w s ： i nc h a p t e ro n e ，t h ep a p e rb r i e f l yi n t r o d u c e st h ed e v e l o p m e n tp r o c e s so fa d a p t i v e l e a s ts q u a r e sm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o da n ds o m eb a s i ck n o w l e d g eu s e di nt h el a t t e r p a r to ft h i sp a p e r i nc h a p t e rt w ot os i x ，t h ep a p e rr e s p e c t i v e l ys t u d i e st h es e c o n do r d e re l l i p t i c e q u a t i o n ，f o u r t ho r d e re l l i p t i ce q u a t i o n ，n o n l i n e a rp a r a b o l i cp r o b l e m s ，f o u r t ho r d e r p a r a b o l i cp r o b l e m sa n db u r g e r se q u a t i o no fa d a p t i v el e a s ts q u a r e sm i x e df i n i t e e l e m e n tm e t h o d k e yw o r d s ：a d a p t i v el e a s ts q u a r e sm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d e l l i p t i c e q u a t i o np a r a b o l i cp r o b l e m sb u y e r se q u a t i o n a p o s t e r i o r ie r r o r 青岛科技人学研究生学位论文 声明 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申请 的论文或成果。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了 明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：日期：年月日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解青岛科技大学有关保留、使用学位论文的规定，有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。本人离校后发表或 使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署名单位仍然为青岛科 技大学。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 本学位论文属于： 保密口，在 年解密后适用于本声明。 不保密口。 ( 请在以上方框内打“ ) 本人签名： 导师签名： 日期： 日期： 5 3 年月日 年月日 青岛科技人学研究生学位论文 1 1 问题提出的背景 1 绪论 现代的科学、技术、工程中的大量数学模型都可以用偏微分方程来描述，很 多近代自然科学的基本方程本身就是偏微分方程。从微积分理论形成以来，人们 一直用微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，不断地取得了显著的成效， 偏微分方程的研究无论在理论和实践上都有很重要的意义，它的数值解法长期以 来吸引着许多数学家、物理学家和工程师们的注意，有限元方法作为求解偏微分 方程的一个强有力的手段随之产生。 有限元方法是r c o u r a n t 于1 9 4 3 年首先提出，二十世纪5 0 年代由航空结构 工程师们所发展，随着逐渐波及到土木结构工程，到了6 0 年代，在一些连续领 域都愈来愈广泛地得到运用。 我国冯康教授和西方科学家各自独立奠定了有限元方法的数学理论基础。由 于愈来愈多的数学家加入了发展有限元方法的行列，这种方法便由工程局限性中 解脱出来，代之以统一的观点和严密的数学描述，并确定了它的数学基础。有限 元方法是利用场函数分片多项式逼近模式来实现离散化过程的，也就是说，有限 元方法依赖于这样的有限维子空间，它的基函数系是具有微小支集的函数系，这 样的函数系与大范围分析相结合，反映了场内任何两个局部地点场变量的互相依 赖关系。任何一个局部地点，它的影响函数和影响区域正是基函数本身和它的支 集。 混合有限元方法是一种基于限制或者约束条件的变分形式的有限元方法。混 合有限元直接对未知函数的微分算子进行求解，同时得到函数本身与通量的相同 阶的逼近，与标准的有限元只能通过后处理对微分算子进行计算相比，其数值解 的精度往往会提高很多。混合有限元的一般理论由b a b u s k a 和b r e z z i 于2 0 世纪 7 0 年代初创立，其主要结果就是b b 相容性条件。r a v i a r t 和t h o m a s 在1 9 7 9 年 针对二阶椭圆问题，提出了r a v i a r t t h o m a s 混合有限元的构造方法。2 0 世纪8 0 年代初，f a l k 和o s b o m 提出了一种改进的方法，扩展了混合有限元方法的适应 性。混合有限元方法的优点是通过引入中间变量( 一般具有实际的物理意义) ，可 以将高阶微分方程降阶，从而也就能够降低有限元空间的光滑性的要求。在处理 许多实际问题，如多孔介质渗流问题、石油蓄存两相流的易混合位移问题、不可 几类偏微分方程的自适应最小二乘混合有限元方法 压缩两相驱动渗流问题和一些水文和生化现象时，经常用到混合有限元方法进行 求解。 最小二乘混合有限元方法是由b r a m b l e 和n i t s c h e 在研究d i r i c h l e t 问题时最 早提出来的，r a v i a r t 、t h o m a s 和b r e z z i ，c a r e y 和o d e n 发展了这一方法( 文献 1 1 - - 4 1 ) 。这种方法与混合有限元方法一样，能同时得到函数本身与通量的相同阶 的逼近，而不需要通过后处理计算函数逼近解的梯度，该方法的优点：1 1 混合元 空间不需要满足匹配条件( l b b 条件) ，有限元空间可以灵活选取，形式简单；劲 混合元系数矩阵的形式简单，且系数矩阵对称正定，可用许多有效的方法对其进 行数值求解。近年来，最小二乘混合有限元方法引起了国内外学者的广泛兴趣， 国外的l a z a r o v 和p e h l i v a n o v ，e w i n g 、w a n g 、b r a n d t s 和我国的顾海明和羊丹平、 罗振东、黄云清和陈艳萍等都对最小二乘混合有限元的发展作出了卓有成效的工 作( 文献【5 卜【1 0 】) 。 自适应有限元方法的思想最早出现在1 9 7 8 年，美国数学家b a b u s k a 完成了这 一方法的基本理论，但那个时候，自适应有限元方法被用来解决一些比较简单的 数学模型问题，经过近十多年的理论研究和应用，现在已经发展到用它来解决比 较复杂和困难的工程问题。自适应有限元方法以常规有限元方法为基础，以后验 误差估计和自适应网格改进技术为核心，通过自适应分析，自动调整算法以改进 求解过程的数值方法，是一种效率高、可靠性好的计算方法( 文献f 1 1 1 ) 。 自适应最小二乘混合有限元方法克服了单纯有限元方法的缺点，综合了混合 元方法和最小二乘方法以及自适应计算的优点，能更好的解决相应的偏微分方 程，为求解偏微分方程夯实了计算的理论基础，z h i q i a n gc a i 等人对线性弹性力 学问题进行了深入的研究( 文献f 1 2 1 ) 。 总而言之，有限元方法作为偏微分方程数值解法的两大基本方法之一，在处 理工业生产中的许多实际问题时发挥着十分巨大的作用( 文献1 3 1 ) 。 1 2 n4 1 发展方程简介 现代的科学、技术、工程中的大量数学模型都可以用偏微分方程来描述，很 多近代自然科学的基本方程本身就是偏微分方程。从微积分理论形成以来，人们 就一直用微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，不断地取得了显著的成效。 发展方程是偏微分方程中一类很重要的方程，它是包含时间变量t 的许多重 要的数学物理偏微分方程的统称。在自然现象中，我们所遇到的许多问题，都要 求我们弄清楚：当在t 时刻给定系统为某一状态时，在这以后的时刻系统将处于 2 青岛科技大学研究生学位论文 怎样的状态? 当然，这时需要知道支配该系统随时问发展的运动规律，不过即便 能给出这种规律，问题也还没有完全解决，实际上还有根据这样的规律寻求系统 随时间变化的问题。也就是说，必须解出用数学公式表达这一规律的，并以t 刻 系统状态量的值为初始值的数学问题，这样的问题就叫做初值问题。所谓可以求 解状态量随时间变化的问题，换言之，初值问题在数学上有意义这件事，可以用 下面的方式表达：有某个方程，它的解对给定的初值是唯一确定的，并且对初始 值的任何微小变化，方程的解也只有微小的变化，这时就称该初值问题是适定的 ( w e l l p o s e d ) ，初值问题是适定的这种方程就叫做发展方程( e v o l u t i o ne q u a t i o n ) 。 根据解析的方法求发展方程的解，并通过已知函数表示出来，这只在极个别 的情形才能做到。而在多数的情形下，有关系统随时间变化的定量方面的问题， 则需要用数值解法来求解。特别是当发展方程为非线性时，就不能不依赖于数值 解方法。在实际求解给定的种种问题时，数值解方法是具有非常实用的价值。由 于采用了数值解，问题不但在定量方面得以处理，而且最终从本质上弄清楚了系 统的整个发展过程。 1 3 m 1 预备知识 记 用”，p ( q ) 表示q 上的m ，p 阶s o b o l e v 空间，其范数为： o “i b 。，。q ，t ( i 篆l l 。“l 匕。q ，) “，1 s p i l u b ( q ) 。豫渺m k ) ，p 2 形。”( o ，r ；m ，口( q ) ) = “j 可c 3 s u ：【o ，刀一矿”p ( q ) ， i lu l b ，一( 罗，( q ) ) z 时，则，( q ) _ 一7 ，p ( q ) ，而且存在只与q 有关的常数m ，使得 i lub q smi lu k 口 其中一一表示紧嵌入，即对幻( q ) 中的任意序列仁肼 必存在子序列 弘m ( ；l 2 ，) ，在妇( q ) 中收敛。 定理1 3 5 ( 嵌入定理3 ) 如果露 一n ，“，p ( q ) ，让区域q 被任一维数为 p s 忍一拙的平面所截，在其截形见上定义平方可积函数( 称为甜的迹) ，则 p ( q ) - p 他) ，而且 b ( d ) s mi l uk q ， 其嵌入算子是有界及全连续的。 5 几类偏微分方程的自适应最d x _ _ - 乘混合有限元方法 2 二阶椭圆方程的自适应最d , - - 乘混合有限元法 2 1 二阶椭圆方程的最小二乘格式 设q 是带l i p s c h i t z 边界1 1 的有界区域，并且满足r = f dn r 和r d 的测度是 正的，现考虑下面二阶椭圆方程： 一d i v ( a v u ) 一b v u = ， 工q ( 2 1 1 ) u ；0 ， x r d ( 2 1 2 ) 疗( 一a v u ) 一g ，x e f ( 2 1 3 ) 这里系数矩阵a = ( ( 力) ：，q ，x e q 是正定的且系数嘞c 1 ( q ) n c o ( 孬) ，也就是， 存在正常数q 和口：使得 q 矿刀s 矿a 刁s6 t 2 t r r ( 2 1 4 ) 对所有的r e r ”和所有的x q 。 下面引入盯= - a v “，其中盯一( q ，吒) ，有v h 一一a - 1 盯，可以得到下面关 于盯和u 的方程： d i v o + b r a 一1 仃= f ， z q ( 2 1 5 ) c r + a v u = 0 ， x q ( 2 1 6 ) u1 0 ，x r d ( 2 1 7 ) “盯= g ， x f m ( 2 1 8 ) 现引入s o b o l e v 空间： h ( d i v ，q ) = p r ( q ) 2 ：d i v s e l 2 ( f 苫) 日1 ( q ) 一仞r ( q ) ：砌r ( q ) 2 ) 6 青岛科技大学研究生学位论文 要找到”和盯：o r v + ；，满足： 仃n - g x r 仃日h ( d i v ，回2 = ph ( d i v ，q ) 2 ：f = 0 ，x e f ) u e 吒( q ) 2 = v e h l ( q ) 2 ： ，= o ，x e f 。) 使得仃和u 满足( 2 1 5 ) ( 2 1 8 ) 。 下面我们引入最小二乘函数： f ( 仃，) - i id i v e r + b r a 。1 0 r - 忆+ i i 盯+ a v u 嵫( 2 1 9 ) 对应的双线性形式为： b ( a ，u ；r ，v ) - ( d i v o + b r a 一1 c ，d i v r + b r a 一1 f ) o ，q + ( c r + a v 比，r + a v v ) o q( 2 1 1 0 ) 其中( 盯，u ) e h ( d i v ，q ) 2x h l ( q ) 2 ，( f ，v ) e h ( d i v ，q ) 2x h l ( q ) 2 。 定义线性函数为： l ( r ，v ) = - ( d i v o e v + 矿a q 盯一厂，d i v t + b r a 一1 d 0 q 一( 一，r + a v v ) 。，q( 2 1 1 1 ) 其中( f ，v ) h ( d i v ，q ) 2x h l ( q ) 2 。 求解( 2 1 9 ) 式的最小值就等价于求解z ，和仃= 一+ ；，使得： b p ，“；f ，1 ，) = l ( r ，1 ，) ( 2 1 1 2 ) 对所有的( f ，v ) e h r n ( d i v ，q ) 2 吒( q ) 2 。 定理2 1 1 双线性形式b ( ，；，) 满足连续性和强制性条件，即存在正常数口和 ，使得： 即川掣脚川乳i 鲥协i 砌：叫3 ) ( 1 l v u i 最, q + | | 西阿眩q + l lc r l l ；, 。) j 曰( f ，嵋r ，d 苫口( v ，i 臣q + i id v ri 臣q + l itl 匠q ) ( 2 1 1 4 ) 对所有的( 盯，“) 日r ( d i v ，q ) 2 砣( q ) 2 和( f ，1 ，) 日r ( d i v ，q ) 2 n 1 。( q ) 2 。 证明：( 1 ) 对连续性有： 7 几类偏微分方程的自适应最小二乘混合有限元方法 曰( f ，v ；r ，v ) ；l i 加+ 6 r a 一1 f l 臣q + i i r + a v v i 学, q s | | 沈啊嵫+ ( 1 + l l b r a 11 1 2 ) 1 1 f 忆+ i i a v v i 鹾, q 0 ，可以得到双线性形式b ( ，；，) 的强 制性条件，即取g 而丢可，由p 。i n c a r e - f r i e d r i c h s 不等式有i i ，k q c i iv v q ， 而由双线性形式曰( ，； ) 可知： b o ，v ；r ，v ) ( f + a v y ，f + 胛d o q b ( r ，v ；r ，d ( d i r t + b r a 。1 f ，d i v r + b r a 一1 f ) o q 所以有：忙忆 1 1 r + a v v 1 0 ) , q + i i a v vi 学, q c b ( r ，v ；r ，d ， i id v r 啦s i i 饿w + 矿a 1 f + i 妒a 1 r sc ( j id i v rl 层, q + 忙嵫) c b ( r ，v ；r ，d ， 所以曰( f ，嵋f ，d 之a ( 1 lv vl l i , q + i id i v rl 岛+ 忪i 屯) ，定理得证。 定理2 1 2 如果厂r ( q ) ，那么问题( 2 1 1 2 ) 存在唯一的解，且解为： ( 盯，u ) h ( d i v ，q ) 2x h l ( q ) 2 。 证明：通过定理2 1 1 的证明可知，双线性形式曰( ，； ) 满足连续性和强制性 条件，所以由l a x m i l g r a m 引理可知问题( 2 1 1 2 ) 存在唯一解，且解为 ( 盯，u ) h ( d i v ，q ) 2x h l ( q ) 2 。 8 青岛科技大学研究生学位论文 f i e - 因为问题( 2 1 1 2 ) 等价于问题( 2 1 5 ) 一( 2 1 8 ) ，即问题( 2 1 5 ) 一( 2 1 8 ) 存在唯 一解。 2 2 有限元逼近 一股来说，自适应最小二乘混合有限兀方法的有限兀逼近是选取适当的有限 维子空间邑c ( d i v ，q ) 2 ，kch ；- o ( q ) 2 使得( 2 1 9 ) 式最小化，这里选取的合适 有限维子空间一般是基于q 的三角剖分瓦和满足充分连续性条件的分片多项式 的。 特别的，有限元逼近性质也可以由非协调有限元空间k 旺日乞( q ) 2 和只须保 证分片多项式在两单元公共边的g u a s s 点上具有连续性得到，所以本节选取 k 旺日乞( q ) 2 和分片多项式在两单元公共边的g u a s s 点上具有连续性来研究有限 元逼近的性质。 现定义： e ( 仃，“) 2 磊( 机盯+ 矿a 。1 仃一，i 岛+ l i 盯+ a v “i 岛) ( 2 2 1 ) 那么求k 和吒= 矿+ 云( 云以) 使得( 2 2 1 ) 极小，等价于求云邑， k 使得 色( ，；f ，1 ，) = 厶( f ，)( 2 2 2 ) 对所有的( f ，d ( 邑，k ) 。 其中玩( ，；，) 和厶( ，) 的定义如下： b ( 盯，砧；f ，d2 乏“加盯+ 6 r a 1 仃，硪竹+ b r a - 1 f ) 。j + p + 胛“，f + a v v ) o x )( 2 2 3 ) 厶( f ，力i 一磊( ( 讲阳一+ 6 r a - 1 仃一厂，访玎+ 6 r a 1 力。z 一( ，f + a v v ) o a ) ( 2 2 4 ) 定理2 2 1 设k 是k 维非协调有限元空间，邑是k k 的r a v i a r t t h o m a s 空间，则存在两个常数口和使得： 9 几类偏微分方程的白适应最小二乘混合有限元方法 岛( 仃，甜；f ，v ) ( r z 。毛( 1 l v l ，略+ i i 伽f 嵫+ 1 1 r 岫) 芝 ( 嘲z ( 1 lv “嵫+ 咖仃晦+ l l o l l ；, r ) ) j b ( f ， ，；f ， ，) 口磊( 1 lv ，i 艮+ i id i w i 岛+ l l f l 岛) ( 2 2 6 ) 对所有的( 仃，u ) 6 h r ( d i v ，q ) 2 ( h 己( q ) 2 + k ) 和( f ，d ，k ) 。 证明：( 1 ) 类似于定理2 1 1 的证明： 吃( f ，v ；r ，v ) 一毒( i id i v r + b r a 1 ri 岛+ i ir + a v vl 艮) c l s c 磊( i id 浙l 岛+ i l fi 岛+ l lv ，i b ) 对f 日h ( d i v ，q ) 2 和 ，( 日匕( q ) 2 + k ) 是成立的，又因为双线性形式吃( ，；，) 是 对称的，所以( 2 2 5 ) 式成立。 ( 2 ) 吃( 删叫) 。磊( ( 撕+ 6 r a - l r , d i v r + b r a - l r ) 。j + ( f + 胛v + a v d 。，) 乏磊“f + 胛咿+ a v v ) o ；r + i l 撕i 岛一e 2 l lb r a 。1 fl 岛) 。羞( ( v ) 。，+ ，a v v ) 0 , r + ( 硼，哆。，砑一( 撕，a v ) o x + i i d i v ri 艮 一吃i 炒a 。f i 巳) 其中：磊( 硼，v ) o s t e ，姜，( 舢，d 。j + 玉( t o n , v ) 。声+ 磊( 硼，d 。j ( 2 2 7 ) ( 2 2 7 ) 式表示三角剖分毛所有边上的和，f y l 表示v 在e 上的跳量，而在边界 f _ hr n = 0 ，现在看( 2 2 7 ) 式后面两项，f ，2 至多是k 一1 次的，v 或【y 】是k 次多 项式，它们在高斯点为零，在这两项中为2 k 一1 次多项式在k 高斯点上为零，也 就是： 磊( 绷，d 。矿o ， 所以类似于定理2 1 1 的证明，利用p o i n c a r e f r i e d r i c h s 不等式 i l y i i d 丁s c i i v v j ，1 ，k ，贝l j 有： 1 0 青岛科技大学研究生学位论文 既( 训；f ，d2 磊“v ) 。 r + ( a v l ，a v ，) 旷( 撕，a ，) 。r + i id i wi i 岛一酬b r a - l ri 艮) 磊( | i fi 岛+ i ia v 川岛+ 成wi 岛一e ：l lb r a - 1 , i 艮一i id v ri 岛一i ia ，i 岛) 苫( 1 一q ) 磊胛v i 岛+ ( 1 一吃b r a - 11 1 2 ) 磊岛 只要选择合适的正常数e l 和吃就司以保证强制性条件成立，在这里选取 e l 1 ，吃 i il lb r a 一1n 则有： 玩( f ，嵋f ，功芝c 磊l i v y l 岛， 磊岛s 磊( 忻胛y i 岛+ l | 胛v l 岛) s 呱( 州f ，d ， 旭。i i d i v ri 学, r s 碱i ld i v r + 6 f a d fi 岛+ i i6 r a 4 f l 岛sc b h ( f ，y ；丁，d ， 所以玩( f ，1 ，；f ，d 苫口喝( 1 l v ，i 巴+ i i 旃竹l 岛+ i ifi 岛) ，定理成立。 通过应用l a x m i l g r a m 引理可以得到问题( 2 2 2 ) 解的存在唯一性，所以有如 下定理： 定理2 2 2 如果，r ( q ) ，那么问题( 2 2 2 ) 存在唯一的解，且解为 ( 盯，h ) 日r ( d i v ，q ) 2 乇( q ) 2 + k ) 。 2 3 后验误差估计 自适应剖分是利用有限单元后验误差估计的大小来进行的，而自适应剖分的 好坏取决于后验误差估计的好坏，所以设计一个好的后验误差估计子并得到有效 的后验误差估计对自适应计算是非常重要的。 本节用最小二乘函数构造后验误差估计子，并进行后验误差估计。 定义最小二乘函数 e ( ，) 互( 1 l d i v a h + b r a _ 1 吒- fi 岛+ i i 吒+ a v u l 岛) ( 2 3 1 ) 而e ( 盯，“) 一( 1 1d i v a + b r a - 1 盯一厂l 岛+ i io + a v ui 巳) ，所以有 e ( 吒- - 0 ，一“) 一墨( 1 1d i v ( c r h - a ) + b r a 4 ( - o ) - fi 岛+ i i 一仃+ 胛 一“) i 岛) 1 1 几类偏微分方程的白适应最小二乘混合有限元方法 定义后验误差估计子为 盏露暑最( 一仃，一嚣) 。t e h ( 1 l 破，( 一仃) + 矿a ( o h 一仃) 一， + i i 吒一盯+ a v ( “ 一“) l 臣r ) 定理2 3 1 假设，r ( q ) ，如果选取 珊( 1 ld i v ( c r h - a ) + b r a 1 ( 吒- o - ) - ，i 岛+ i la h 一仃+ 胛 - u ) i 艮) u 2 ， 那么存在正常数口。和，使得下式成立： 喊( 1 lv ( u h - - u ) i 岛+ i l 讲y ( 吒一仃) l 岛+ i i 一仃i 岛) s 磊瑶 s ”磊( i l v ( 一“) 嵫+ i id i v ( 。r h 一仃) l 岛+ 慨一仃岫 证明：因为 ( 2 3 2 ) t i e r k 裤。盖( 1 ld v ( 吒一仃) + 6 r a 一1 ( o h 一仃) 一厂l 艮+ 吒一盯+ a v ( u , - u ) i 学s ) 。磊“柳( 吒一盯) + b r a 1 ( 吒一盯) 一，d i v ( o - , 一盯) + 矿a 1 ( 吒一仃) 一厂) 。， + ( 吒一盯+ 胛( 一嚣) ，a h 一仃+ 胛( 王 一秘) ) o 丁) 因为厂r ( q ) ，所以上式有： 孵= c ( ( 机( 吒一盯) + 矿a - 1 ( 吒一盯) 一厂，d i v ( a h 一盯) + 矿a 1 ( 吒一一厂) 町 n 现旧i + ( 吒一盯+ a v ( 配 一“) ，a h 一盯+ 胛( m 一“) ) o f ) 一c b h ( o h 一盯，u 一“；一盯，u h 一“) ， 由定理2 2 1 可知 玩( 吒一仃, u h - u ；o h 一盯，一“) 董喝( 1 1 v ( u h - u ) l 岛+ i id i v ( o 一一仃) l 岛+ i i 吒一盯i 岛) 玩( 吒一仃, u h - u ；吒一仃，一“) 苫口喊( 1 1 v 帆一“) l 岛+ | l 咖( 吒一盯) l 岛+ i i o , 一仃i 岛) 所以定理2 3 1 成立。 注：自适应最小二乘混合有限元方法的自适应剖分规则就是利用后验误差估 计子珊的大小来进行的，在加密单元时就是加密那些珊值较大的单元。 青岛科技大学研究生学位论文 3 四阶椭圆方程的自适应最小二乘混合有限元法 3 1 四阶椭圆方程的最1 1 , , - - 乘格式 我们首先考察如下的四阶椭圆方程刖 ： a z ui ， 在q 中， “10 在o q _ l ， ( 3 1 1 ) 丝。0在a q 上 o n 这里qc r “是一个带有边界孢的有界区域。下面我们进行关于方程( 3 1 1 ) 的自 适应最 b - - - - - 乘混合有限元法的研究。 现设l = 一盯，那么方程( 3 1 1 ) 等价于如下格式： 一a c ti ， 在q 中， “+ 盯一0在q 中， 比一0 在a q 上， ( 3 1 2 ) 丝；0在o f le , o n 现定义s o b o l e v 空间如下： 日1 ( q ) = p r ( q ) ：唧r ( q ) ， h o ( o ) i v e h ”( q ) ：d 口v l 擒= 0 ，l 口i 0 ， f 所以可以得到曰( 留，；q ，d 之口( | i 目眩q + l | 留i 巳+ i i a v i 屯) 。定理得证。 定理3 1 2 设f e l l 。1 ( q ) ，则( 3 1 3 ) 式存在唯一的解p ，u ) e h l ( f 1 ) x h o ( f 1 ) 。 证明：由定理3 1 i 知，双线性形式曰( ，；，) 在日1 ( q ) 硪( q ) 上满足强制性 1 4 青岛科技人学研究生学位论文 和连续性条件，所以由l a x m i l g r a m 引理知定理成立。 3 2 有限元逼近 在本章中，( 3 1 5 ) 式最小二乘混合有限元法的有限元空间是选择子空间 见( q ) c 日1 ( 9 2 ) 年- i m 。( q ) c 磁( q ) ，合适的有限元空间是基于q 的剖分瓦，设瓦 是q 的拟一致剖分。 定义最d , - 乘函数： e ( 仃，“) 。荟( 1 1a o - + 厂i 巳+ 以+ o - , l ) ( 3 2 1 ) 求( 3 2 1 ) 式的最小值就等价于求解日。和e m 。使得： 吼( t ，；留，叻= 一( 厂，d ，( 3 2 2 ) 对所有的( 留，v ) e 巩( q ) x m 。( q ) 都成立。 定义离散的双线性形式玩( ，；，) 如下： b ( ，u h ；q ，d 。磊“吒，鼋) 。，+ ( a + 吒，血+ 彩。，) ， ( 3 2 3 ) 对所有的( 吒，u 。) 巩( q ) m 。( q ) ，( g ，v ) e 巩( q ) m 。( q ) 都成立。 定理3 2 1 双线性形式b ( ，；，) 具有连续性和强制性，也就是，存在两个正 常数和孱使得： 玩( ，u h ；q ，v ) 孱( ( i i 吒j 层，+ 1 1 i 艮+ j j j 层7 ”2 喝 ， ( 3 2 4 ) 掣口嵫+ 咖r + 咖j ， 吃( q ，嵋q ，d 之磊( i i gi 岛+ i lq i 岛+ i ia vl l 百) ，( 3 2 5 ) 对所有的( 吒，) 巩( q ) m 。( q ) ，( 留，d 巩( q ) m 。( q ) 都成立。 证明：i ) 对连续性有： 几类偏微分方程的自适应最小二乘混合有限元方法 b ( 留，嵋q ，d 。善( ( q ，a q ) 。，+ ( v + g ，+ q ) 。，) t 羔( | l 蛔i 岛+ i i q + a v i a n , ) 托巩 s c ( 1 i 留i 巳+ i l q l 岛+ i i a v i 艮) t e t k 7。 因为双线性形式色( ，。；，) 是对称的，所以定理3 2 1q h 的( 3 2 4 ) 式成立。 i i ) 对强制性有： b h ( q ，巧q ，d 。磊( ( a q ，a q ) 。，+ ( ，+ 日， ，+ 鸟) 。，) 。盏“幻，a q ) 。了+ ( a v ，y ) 叮+ ( 鸟，彩。，+ 2 ( a v , q ) o z ) 磊( ( q ，幻) 。，+ ( a v , a v l ) 0 r + ( q ，q ) 0 , t - - 2 q ( ，q ) 。，) 烈训川i i a v l l i ，吲酬伽r + 毕) = 互( 1 1 a q