（基础数学专业论文）非线性奇异三阶微分方程边值问题的正解.pdf

壅i 垦盘堂塑鲎焦途塞 一 垫差 _ o 。o - 。_ _ - 。_ _ p 。_ _ _ _ _ _ - _ - _ _ _ _ _ _ - _ _ - - - - _ _ _ _ _ - _ _ - _ _ - - _ - _ _ - _ - _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ - _ - _ _ - _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ - _ _ _ _ _ - _ 一一一 盟7 ， 非线性奇异三阶微分方程边值问题的正解 摘要 非线性常微分方程边值问题的研究是一个具有持久生命力的课题近一段时间以来， 非线性奇异常微分方程边值问题正解的存在性受到广泛的关注在研究过程中，很多文 献对右端的非线性函数提出了种种的约束条件本文第一章主要概述了一些文章对三阶 微分方程边值问题的研究，在第二章和第三章中，则从线性算子的特征值和谱半径的角 度出发，对边值问题中的线性函数提出了另一类的约束条件，利用不动点指数理论获得 了正解存在的结果，推广了一些文献中的相应结论 第二章讨论非线性奇异三阶两点边值问题： 怒端练a u n ( 1 ) + b u m m 0 l 甜( o ) = “( o ) = o ，( 1 ) = ， 一 假设： ( q ) a 0 ，6 0 ，且a 2 + 6 2 0 ； ( x 4 2 ) 办如( o ，1 ) ，办( f ) 不恒等于0 允许办o ) 在t = o 或f = l 处奇异且 0 上，( 1 一t ) h ( t ) d t a ，l i ms u p 地 五，1 1 哩s u p uu - 。o 型u 五， u + 下，其中丑是相应线性算子的第一特征值，则奇异边值问题( 1 ) 至少存在一个正解 第三章讨论了非线性奇异三阶周期边值问题： 丁“：唆+ p 3 7 ，) = 厂( f ，“) ，f ，= 0 , 2 r e ，p ( o ，击) 是常数， ( 2 ) ( o ) = 以2 万) ， f - 0 ，1 ，2 ， “ 一 假设： 堑达塑畦塑逾垒 擅璺 ( s ) 厂( f ，u ) = g ( f ) 向( “) ，f 【0 ，2 r e 】； ( 是) g ：( o ，2 万) o 【o ，+ ) 连续，g ( f ) 不恒为0 ，且o a ， “+ 0 + u “_ 佃 u 1 。 或 1 1 罂s u p 塑 a ，l i ms u p 塑 a ， 成立，且满足一定的条件，则周期边值问题( 2 ) 至少存在两个正解 关键词：边值问题，奇异，正解 i l l - p o s i t i v es o l u t i o n so fs i n g u l a rn o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sf o rt h i r do r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a b s t r a c t t h es t u d yo fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rn o n l i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a s i n t e r e s t e dp e o p l ef o ral o n gt i m ea n dt h er e s e a r c hi nt h i sf i e l di ss t i l lv e r ya c t i v e r e c e n t l y , t h e e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs i n g u l a rn o n l i n e a ro r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa t t r a c t sc l o s ea t t e n t i o n ，i nw h i c ht h en o n l i n e a rf u n c t i o ni se n d o w e d 谢也 t h ec o n d i t i o n so fs o m ed i f f e r e n tk i n d si nm u c hl i t e r a t u r e i nt h i st h e s i s ，c h a p t e r1h a ss t a t e d s o m ea u t h o r s s t u d i e sf o rt h i r do r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s o m ee x i s t e n c er e s u l t so fp o s i t i v e s o l u t i o n sa r eo b t a i n e di nc h a p t e r2a n dc h a p t e r3 ，i nw h i c hw ec o n s i d e rs i n g u l a rn o n l i n e a r b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rt h i r do r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，、v i t ht h ea p p l i c a t i o no ft h e f i x e d - p o i n ti n d e xt h e o r e mi nc o n e sa n d t h es i g n i f i c a n te i g e n v a l u ec r i t e r i a 、析ms p e c t r a lr a d i u s i nc h a p t e r2 ，w ec o n s i d e rs i n g u l a rn o n l i n e a rt h i r do r d e rt w o p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ： f “”( f ) + 乃( f ) ( 扰) = 0 ， l “( o ) = 材7 ( o ) = 0 ，a u ( 1 ) + b u ( 1 ) = 0 ， s u p p o s e ： ( q ) 口0 ，b 0 ，a n dd 2 + 6 2 0 ； ( 1 ) ( 以) 办g o 。( o ，1 ) ，a n dn o ta l w a y se q u i v a l e n tt o0 w h e r eh q ) i s a l l o w e dt ob es i n g u l a r a tf = 0o rt = 1 a n d o r 0 i t - - - i + o u躲s 印掣 a ， a r es a t i s f i e d h e r e i st h ef i r s te i g e n v a l u eo ft h er e l e v a n tl i n e a ro p e r a t o r t h e ns i n g u l a r i v 壅蔓垦盘鲎亟圭茔焦迨支 垒曼延煎 b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( 1 ) h a s 出l e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o n i nc h a p t e r3 ，w ed e a l 、i t l lt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o nf o rt h es i n g u l a rn o n l i n e a rt h i r d o r d e rp e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ： ”卅办( ，) = 巾) ，卜【o ，2 砟夕( o ，万1 i ) i 5 a c o n s 协n t ， ( 2 ) izi 【u o ) ( o ) = 材7 ( 2 乃) ，i = o ，1 ，2 ， s u p p o s e ： ( s ) f ( t ，u ) = g ( ，) 办( “) ，f 【0 ，2 x ； ( s 2 ) g ：( o ，2 r e ) _ 【o ，+ o o ) i sc o n t i n u o u s ，g ( t ) i sn o ta l w a y se q u i v a l e n tt o0 ，a n d 0 u - + + a o u l i ms u p 塑 ， 口_ o + ” 1 i mi n fh ( u ) 丑， “_ + o ” 姆s 叩警 o ，不等式r 疗f ( s , r ) d s + o 。成立 其中作者利用了s e h a u d e r 不动点定理，扰动技术，以及先验估计原理证明了上述周 期问题至少存在一个正解 在参考文献 1 5 】中，针对上面同一问题，对非线性函数f ( t ，u ) 赋予的条件如下： ( z ，) f ( t ，材) 满足c a r a t h e d o r y 条件，并且f ( t ，甜) g ( t ) h ( u ) ，t ( 0 , 2 t r ) ，”( 0 , + o o ) ， 其中g 三【，r + 】，办【( 0 ，佃) ，r + 】，且o o ； ( z 3 ) 存在r 0 和c 0 ，使得当u r 时，乃 ) c 甜且c r ( l o ) 1 其中作者利用了不动点指数的理论完成了上述定理的证明，得到了周期边值问题 至少有一个正解存在的结论 本文则是运用不动点指数理论，在与一个线性算子相关的第一特征值的条件下，得 到了周期边值问题正解存在的结果，其中不要求右端非线性函数f ( t ，u ) 具有单调性且 运用的方法与匕述文献不同 一2 一 第二章非线性奇异三阶两点边值问题的正解 2 1 引言 或 研究如下非线性奇异三阶微分方程 “胛o ) + 办( ，) ( “) = 0 满足如下边值条件： 材( 0 ) = z ，( 0 ) = 0 ，a u ( 1 ) + b u ( 1 ) = 0 作如下假设： ( q ) a 0 ，b 0 ，g ta 2 + 6 2 0 ； ( 2 1 ) f 2 2 ) ( - 2 ) 办如( o ，1 ) ，办 ) 不恒等于0 允许h ( t ) r f f t = o 或，= 1 处奇异且 0 f f ( 卜t ) h ( t ) d t 0 ，vt ( 0 ，1 ) ； ( i i ) “( f ) = f g ( f ，s ) 办( s ) 厂( 缸( s ) ) 出，o ，s 1 其中g ( t ，s ) = s f 一土s 2 + 竺s 2 f 2 一竺皇s f 20 s f 1 2 2 ( a + 2 b ) a + 2 b 三“丽s2t2一而a+b舻，ots2 7 g ( 叭 ，三，o j l ，其中k 落1 其中g ( s ) = 丢s ( 1 一j ) 2 一4 一 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 壅韭基鲎塑茎焦缝塞釜三童韭缝些壹是兰险亟点垫焦圈题鲍堡艋 证明令 故 砸酬一丢 面a 两卉2 一而a + b ，呱娜1 ， m ) = 面a 两n 2 一篇胚协n 加= 扣2 ，一j + 而a s t 2 2 口( a + + 2 b 6 ) r 】 = 互1 廿州等) t 2 + 2 t = 丢j 【一s 一三警0 2 一互云2 i ( a 而+ 2 b ) ，+ ( 蒜) 2 ) 】 = 扣卜等”丽a 州+ 2 b 一伽) 2 十而a + 2 b o ，f o ，1 1 1 ，则p 是c o ，1 上的一个正锥 一7 一 丕：j 垦叁芏塑主生焦迨墨 箜三芏| e 缉：陛委显兰险亟盛丝值塑塑煎垂竖 取眉= 甜( ，) 尸l 艘“( ，) ，u “l | ) ，则眉为c 【o ，1 】上的锥且冀c p 1 44 令 ( 么“) ( f ) = f g ( t ，s ) 办( j ) 厂( 甜( j ) ) 凼，【o ，l 】 ( 2 6 ) ( 死) ( ，) = cg ( ，s ) 矗( j ) “( s ) a s ，【o ，l 】 ( 2 7 ) 取昧= “o ) c o ，1 】l l u l i r 引理2 5 如果假设( q ) 一( 鸽) 满足，则由( 2 6 ) 定义的算子a ：_ 全连续，且 么( 鼻) c 只并且a 的非零不动点就是边值问题( 2 1 ) ( 2 2 ) 的正解 证明由( 2 4 ) 可知 _ “) ( f ) = fg ( f ，s ) 办( s ) 厂( 甜( s ) ) 凼f g ( s ) 办( j ) 厂( “( s ) ) 凼， 则有 怕“1 1 - 0 ，使得sl ( v u q ) 则 卜m a x lfg ( 舶) 琊) m ( 呦幽l 丢f 娟叫2 ) 厂( 吣) ) 凼 一8 一 j 1 蹦厂( 妒) 小( 1 一s ) 2 向( s ) 出 j 1 躐厂( 妒) f j ( 1 一s ) 办( s ) 凼 佃， 因此，彳( q ) 有界故彳( 只) 一致有界 由弓 理2 3 知， ) 训f i 塑a 盟t i m ( s ) ) 凼 o ，取万= 昙，v f 2 【0 ，1 ，当1 t , - , 2 1 万时，有 ) ( f 1 ) 一( 删心) i = i j cg ( ) 郴) 弛( 呦西一fg ( 秘) ) 他( 呦幽l f l g ( ，s ) 一g ( t 2 ，s ) l 办( s ) ( 材( j ) ) 幽 脚m a ；x lf ( 办南io g 研( t , 堂卜：出 呦m a ；x l f ( q ) s ( 1 一j ) 办( s ) 幽| f l _ ，2 l = c i t 。一f 2 i 0 ，使c t g 少，则谱半径，( 丁) 0 ，且丁有关于第一 特征值丑的特征函数妒，即有妒= 丁伊 引理2 8 假定( 日：) 成立，呗u 由( 2 7 ) 定义的算子t 的谱半径r ( 丁) 0 ，且r 有关于第 一特征值 = ( ，( r ) ) 。1 的正的特征函数 证明由( 鸩) 可知，存在【f l ，f 2 ，使得f 2 j ( 1 一j ) 办o ) d s 0 否则，s o - s ) h ( s ) 几乎处处为0 ，与( 2 3 ) 矛盾从而更有f 2j ( 1 - s ) 2 办o ) d s 0 取“皇，使得甜( ，) 0 ，r ( ，t 2 ) ，而“( f ) = o ，r 叠( f l ，f 2 ) 于是，对， t it 2 】有 ) ( f ) = f g ( f ，s ) 矗( j ) “o ) a s 圭f 2 叩叫2 琊) 心) d s 0 所以存在常数c 0 ，使得c ( t u ) ( t ) “( ，) ，v t 【0 ，l 】 再由引理2 7 则可知结论可证 引理2 9 1 设e 是b a n a c h 空间，尸是e 中的锥，n ( p ) cp 是有界开集 a ：q ( 尸) 。p 是全连续算子如果存在“。p o ) ，使得 “一a u a u o ，v u o n ( p ) ，a 0 ， 则不动点指数 f ( 么，q ( 尸) ，p ) = 0 引理2 1 0 2 0 1 设e 是b a n a c h 空间，尸是e 中的锥，9 2 ( p ) cp 是有界开集，且 一1n 一 壅i 堡盘鲎塑堂焦逾塞蔓三童i e 线：堕壹是三险亟：量垫焦闰塑煎堡竖 0 n ( p ) a ：n ( p ) _ p 是全连续算子如果 a u t u ，v u a q ( p ) ，a l ， 则不动点指数 f ( 彳，q ( 尸) ，户) = 1 2 3 主要结论 定理2 1 如果假设( 日。) 一( 羁) 满足，且 l i mi n ff ( u ) 兄， ( 2 8 ) u - , , o + 弘 l i ms u p 趔 0 ，使得v o u ，有厂 ) a 甜 设“是丁的关于 的特征函数，则“+ = a 砌 因为f ( u ) q u ，v o u 吒， 所以有 ( 彳“) ( ，) = fg ( f ，s ) 办( s ) ( 材( s ) ) 凼 afg ( f ，s 谛( s ) “( s ) d s = a r ( “) 假设a 在强n # 上没有不动点( 否则结论成立) 现证 扰一么”l a u + ，0 否则，存在“l ，及0 ，使得甜。- a u l = i o u 显然可知 0 ， 且 = a u l + “+ 盘a 盘芏题芏焦焦圭星三主韭巍：丝童盘三睑煎：量垫焦虽熊煎生鲢 0 n ( j p ) a ：q ( 尸) _ p 是全连续算子如果 a u ，v u a n ( 尸) ，2 1 ， 则不动点指数 i ( a ，q ( j d ) ，p ) = 1 2 3 主要结论 定理2 1 如果假设( 日) 一( h s ) 满足，且 姆1 n f 掣， ， ( 2 - 8 ) l hs u p 趔 0 ，使得v o “，有，( “) m 。 设“是丁的关于丑的特征函数，则“+ = 2 1 t u ， 凼为f ( u ) “，v o r t ， 所以有 ( 4 “) ( ，) = f g ( r ，j ) ( s ) ，( ”( s ) ) 凼 f g ( t ，s 冲( s ) n ( s ) a s = 丑r ( m ) 假设a 在加。f i e , 上没有不动点( 否则结论成立) 现证 “一a u “+ ，t l 0 ， 否则，存在“，及f 。! o ，使得“l - a u l = f o “显然可知f 。 0 ， 否则，存在“。，及f 。 - 0 ，使得一a h = f 0 “显然可知r q 0 ， 且 “1 = a u j + b “h 壅i 垦盘堂塑鲎焦逾塞 差三童韭缮：些壹是晏睑亟盘垫焦塑塑的垂盟 令r + = s u p r “。f 材) ，则显然有r t o o ，且“。f 甜又因为丁( 露) c ( 露) ，则有 磊丁( “1 ) r 0 材) = f 弛= f + “+ 因此 u l = 彳蚝+ f o u 2 h t ( u 1 ) + f o “f “+ + r o “= ( f + f o ) 扰。 此与f 的定义相矛盾，故假设不成立 所以，有 “一a u 王，+ ，2 0 因此，由引理2 9 知 f ( 么，巨n 鼻，置) = 0 ( 2 1 0 ) 由( 2 9 ) 知，存在r 2 ，0 仃 1 ，使得v u z 吃，有( ”) 观甜 令( 墨材) ( f ) = 以( 死) ( f ) ，v u c o ，1 】。 则显然有正：c o ，1 】专c o ，1 1 是有界线性全连续算子，且互( 置) c 置 设m = s u pc a ( t ，s ) h ( s ) f ( u ( s ) ) d s ，显然有m 吃) 则 材( f ) = ( 么材) ( ，) = pfg ( t , s ) 向( s ) ( “( s ) ) 幽 sf g ( f ，s ) 向( s ) ( 厂( ”) ) ( s ) d s = ( 。) g ( ，j 妒o ) ( s ) ) 出+ l l 】、百( 。) g ( r ，j ) 厅o ) o ) ) c 妇 砜fg ( ，s ) 厅( j ) “( s ) a s + fg ( ，s ) 办( j ) ( 历( j ) ) 幽 ( t l u ) ( t ) + m ， 于是 ( ，一互) ( 甜) m 一1 2 盔i 盘鲎塑堂焦迨塞签三主韭缮：睦壹爰三险圆：量垫焦固煎的垦鲤 由于 是丁的第特征值，且0 m a x r 2 ，s u p w ) 由不动点的同伦不变性知， f ( 彳，b ，3n p , ，f i ) = f ( 矽，气n e , ，f i ) = i ( 2 1 1 ) ( 其中设日( ，u ) = 甜) 所以，由( 2 1 0 ) 和( 2 11 ) 可知 f ( 彳，( & n 舅) ( bn e ) ，只) = f ( 彳，& a f t ，f i ) 一f ( 么，见n f i ，f i ) = 1 0 = 1 故彳在( & n 舅) ( 或r i p , ) 上至少存在一个不动点 这就意味着两点边值问题( 2 1 ) ( 2 2 ) 至少存在一个正解 定理2 2 若假设( h i ) - ( - 3 ) 满足，且 l i r au p 警 五， ( 2 1 3 ) 其中凡是丁的第一特征值则三阶两点边值问题( 2 1 ) ( 2 2 ) 至少存在一个正解 证明由( 2 1 2 ) 知，存在 0 ，使得 ) a “，0 甜，i 定义( 互甜) ( r ) = ( 砌) ( f ) ，v u c o ，l 】 因此，正：c o ，1 】哼c o ，1 是线性全连续有界算子且e ( 弓) c 置，( 正) = 1 于是，v u 强n 互，则有 ( 么甜) o ) afg ( r ，s ) 办( s ) 甜( s ) 出= ( 正材) ( r ) ， 于是 ( a u ) ( t ) ( t 2 u ) ( t ) ，v u 强r 鼻 一1 3 一 盔i 垦基鲎墅鲎焦迨塞 一一 墓三童韭垡：些盘差三险亟盛垫焦豳塑鳢垂鲤 假设彳在强n 皇上无不动点( 否则结论成立) 现证 a u 彬，v u a 醌n 鼻，a 1 否则，存在芦o 1 ，u 1g 强n 暑，使得么甜1 = t o 铭1 显然有鳓 1 且 硒u 1 = a u l 疋铭1 由于五( 异) c 鼻，所以有 a o ”u l 正”u l ， = 1 , 2 ，) ， 因此，厮”互”u l u 1 即是 所”互”l 玎= 1 ，2 ， c 掰互l “。) 又因为d = 口， 甜鼻i 甜) ) o ，所以0 压”正“。0 d ( 以= 1 ，2 ，) 故 i i 正 u 御珈t | l 南聃啪) 由g e l f a n d 公式，得到 付l i m , 、，厕t 熙厮铂儿 与，( 瓦) = 1 矛盾故假设不成立 所以， a u 删 因此，由引理2 1 0 知 f ( 彳，en 墨，置) = 1 ( 2 1 4 ) 由( 2 1 3 ) 失h ，存在心 1 ，使得f ( u ) a “，v u ，吃 令列。是r 关于 的正的特征函数，于是有u 。= & r u 。，且 严1 马( f ) = ( 死。) ( ，) = f g ( t ，s ) 办( s ) 甜。( s ) d s 二s ，s 二 丕a 垦盘鲎塑堂焦途塞签三芏韭缉：建盘是三险塑：量垫焦阈塑鳢垂竖 ，f g ( s ) 办( j ) ( s ) d s z 五f g ( ，s ) | f l ( s ) z t o ) d s = z 帆0 ， 则有u 。只 口) v u 峨n f i ，由于材，t o ，1 】， 故有 ( 彳甜) ) fg ( ，s ) 办( s 弦o ) a s = 五( 砌) o ) 假设4 在弛吃nf i 上无不动点( 否则结论成立) 现证 掰一a u j u u o ，v u a ne , ，0 。 否则，存在“：氓n 冀，p 。0 ，使得甜2 一a u 2 = p o z ，。，显然有风 0 且 “2 = a u 2 + p o u o p o u o 令p = s u p pu 2 p u o ) ，则显然有p p o 0 ，n _ u 2 p 材o 由于t ( f i ) c 置，所以有 a ( 砌2 ) p ( 砌o ) = p 于是 “2 = a u 2 + 风“ 砌2 + 风列o p 甜o + p o 甜o ， 七与p + 的定义相矛盾。故假设不成立 所以 “一a u u u o 因此，由引理2 9 知 f ( 彳，n f i ，f i ) = 0 ( 2 1 5 ) 由( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 则知 f ( 彳，( b ，2n 墨) ( 吃n 驾) ，) = f ( 么，& n 鼻，f i ) 一f ( & n f i ，f i ) 一1 气一 盍韭盘堂墅茔焦迨塞 签三童韭线：建立是兰险煎：盎垫焦i m - 圈塑约垦鲤 - - _ _ - _ _ ，州_ _ _ 二- = _ - _ _ _ 二= = l = = _ 二i 厶l _ = = 三l 二二_ ! 生盐_ ! 蔓_ ，竖”v 一，旷l = 0 一l = - 1 故a 在( & n 墨) ( 磊ni l ) 上至少存在一个不动点。 这就意味着两点边值问题( 2 1 ) ( 2 2 ) 至少存在个正解 推论2 1 假设( q ) ( 凰) 满足记 兀“m i n f 掣，驴掣l i r au p u - - ，+ o o掣，材 o 十 甜 如果0 五 ，姆s u p 型u 五， ”_ 0 由定理2 2 可知，上述边值问题至少存在一个正解 推论2 2 假设( ) 一( 皿) 满足记 无= 熙s u p 地，驴l i m + i n f u趔u ， 一十o 0 如果0 无 兀+ o o 则对任意的 五4 f o ， 奇异边值问题 f 材村( ，) + 名办( f ) ( 甜( ，) ) = 0 ， 【扰( o ) = 材( o ) = o ，a u ( 1 ) + b u7 ( 1 ) = 0 ， 至少存在一个正解 证明因为 l i ms u p 型 ， “_ + u “_ 0 + “ 一1 6 盔韭这茎墅圭茎焦逾塞 一一 笈三主韭缉：丝查是至险亟：蕊垫焦圈塑丝堡鲤 。o o _ _ _ _ _ _ 。- - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ - _ - _ _ - - _ - _ _ _ _ _ - _ _ - - _ _ - - - _ _ _ - 二二_ _ _ - j - - - 二= 】j = = 二i z j = = = 二二l = 二l i 竺! = ! 女l b ! ! ! ! ! 里”! o 一，q 由定理2 1 可知，上述边值问题至少存在一个正解 例2 1 取口= 6 = 1 ，办( r ) = ，厂( “) = ( 1 + 2 5 6 z r 2a r g t a n u ) u 则 因此满足假设( 马) 记 则显然有 f s ( 一j ) s - 1 出= 圭 + o 。， ( t u ) t = f g ( 柚s - l u ( s ) d s ， ( 互“) f = f g ( t ，j ) “( s ) d s ， f g ( 柚) j 。西f g ( 柚) a s ， 从而有 2 帑l l r u l l m a x ( f g ( 和) s - i 凼) 谐( f g o ，s ) 凼) = ， 进步，可以得到 i t 俐i ， 由g e l f a n d 公式，有 a 2 丽1丽1 ( 等) ， a ， “- + o “ “_ o u 3 1 i m 丛堕：l i m ( 4 a r ) 3 e - u u ：0 6 a ， l i m 丛堕：l i m u + ( 4 x ) 3 l n ( 1 + u ) h 。+ + “ + 伸 = 1 1 2 a ， 根据定理2 1 可知，边值问题： 匕 ：! j 勰兰1 三+ “) 】= 。， 至少存在一个正解 则 例2 4 取口= o ，6 = 1 ，= 西1 ，m ) = “g “ 类似例2 1 ，容易验证 卜( 1 - s ) 击凼= i 1 五， “_ + + o 斗+ 根据定理2 2 可知，边值问题： p + 西1 = o ， i “( 0 ) = “( 0 ) = o ，“( 1 ) = 0 ， 至少存在一个正解 一1 9 第三章非线性奇异三阶周期边值问题的正解 3 1 引言 甜r e + p 3 u = f ( t , u ) ，f ，_ 【o ，2 列( o ，去) 是常数，( 3 1 ) 【甜o ( o ) = u ( o ( 2 万) ，i = o ，1 ，2 ， 在参考文献【1 4 】中，对非线性函数f ( t ，“) 赋予下述三个条件： ( a 1 ) f ( t ，u ) 是定义在【0 , 2 7 r 】( o ，十o o ) 上的非负函数，并且对每个周定的甜( 0 ，+ o o ) ， 有f ( t ，u ) 在【o ，2 石】上可积； ( 么2 ) 对几乎所有的，【0 , 2 1 r 】，f ( t ，u ) 关于u o 是非增的，并且有 l i m f ( t ，材) = + o o ，l i mf ( t ，z ，) = 0 ， 1 4 - - i - o “- - t , + 在， 0 , 2 r c 上一致成立； ( 么。) 对于每个固定的常数7 0 ，不等式f ”f ( s , q d s + 成立。 其中作者利用了s c h a u d e r 不动点定理，扰动技术，以及先验估计原理证明了问题 ( 3 1 ) 至少存在一个正解 在参考文献【1 5 】中，对非线性函数f ( t ，u ) 赋予的条件如下： ( z 1 ) f ( t ，砧) 满足c a r a t h e d o r y 条件，并且f ( t ，u ) g ( t ) h ( u ) ，( 0 , 2 x ) ，材( o ，+ ) ， 其中g j ，又+ 】，办【( o ，+ o 。) ，r + 】，且o 0 ； ( z 3 ) 存在r o 和c 0 ，使得当u r 时，而 ) c uf j ic r ( l o ) 1 壅：j 垦基鲎塑圭鲎焦迨塞 釜墨主韭垡：睦查是三险周塑垫焦闰墼的垂鲢 ( 3 1 ) 至少存在一个正解存在的结论 本文则是运用不动点指数理论，在与一个线性算子相关的条件下，得到周期边值问 题( 3 1 ) 至少存在一个正解的结论其中不要求右端非线性函数f ( t ，“) 具有单调性 3 2 一些引理 首先，如同在参考文献【1 4 】中，先将( 3 1 ) 转化为积分方程 对任意的函数u c o ，2 n 】，定义算子 ( 屁) ( f ) = 【虿( f ，x ) u ( x ) a x 摊石 其中 g ( t ，x ) = 0 x f 2 万， 0 f x 2 n ， ( 3 2 ) ( 3 3 ) 现在考虑下述问题： 倦u ( o 箍u p ( o 葛i 尝1 4 ， i( o ) =( 2 万) ，= o ， v 。 如果u 是( 3 4 ) 的一个正解，显然y ( t ) = ( 如) ( f ) 是( 3 1 ) 的一个正解因此只需考虑问题 ( 3 4 ) 引理3 1b 4 周期边值问题( 3 4 ) 等价于积分方程 “( f ) ：f ” ，( 妇) ( j ) 灿(：30(ts ) f ( s 5 ) “( f ) 2 j ： ，( 妇) ( j ) 灿( ：5 其中 g ( f ，j ) = 2 p 卜5 【s i n 孚p ( 2 万一f + j ) + p 一胪s i n 粤p ( t - s ) 】 s f ， 3 p ( e 肼+ p 叫一2 c o s 4 3 p n ) r 36 、 2 e 能x 2 疗+ 一“ s i n 粤p ( s f ) + p 一s i n 4 p ( 2 r c - s + t ) 】 0 37 p ( e p “+ e _ p “一2 c o s 0 3 p 心 j s t ， 引理3 2 【1 4 1 由( 3 6 ) 定义的g ( t ，s ) ，有如下不等式成立： 一2 1 一 一一一 盎韭盔生塑鲎焦逾塞 一 筮三主皇e 垡：丝盘是三险厘塑垫焦问堑盟4 里蟹 。- - _ _ - _ - - _ - _ _ _ _ _ _ _ - _ _ 。_ _ _ _ _ - ，_ _ _ _ - - 二- = = 二_ l _ _ 二= j = = j z ! 竺兰! 且z _ ! z ! o 釜l _ l ，。”j ，町 ，=j2写s：i乏n而(-、j3pa)s g 。，j ) sj 写赢= ，： ( 3 7 ) 引理3 3 如果材( f ) 是( 3 4 ) 的一个正解，显然y ( ，) = ( 如) ( f ) 是( 3 1 ) 的一个正解其中z f ( f ) 为( 3 5 ) 所定义的 证明经过计算可知 【( 妇) ( 州= 以( f ) 一烈( 以) ( f ) 】； 【( 如) ( f ) 】”= 甜( f ) 一p u ( t ) + p 2 【( 以) ( 纠； 【( 山) ( r ) 】胛= u ( t ) - p u7 ( ，) + p 2 u ( t ) - p 3 【( 比) ( f ) 】 所以 【( 如) ( f ) 】辫+ p 3 【( 如) ( f ) 】- u ( t ) - p u ( ，) + p 2 “( f ) 一p 3 【( 比) ( f ) 】+ p 3 【( 以) ( ，) 】 = u ( t ) - p u ( r ) + p 2 u ( t ) = f ( t ，j u ) ( 由( 3 4 ) 知) 显然边值条件也满足故结论可证 引理3 4 由( 3 2 ) 定义的，在z f ( f ) 为固定常数( 不妨设为c ) 时，积分算子，为一个常 数，且为c 上 p 证明，由( 3 2 ) ( ，x ) u ( x ) d x = c f 厅酏x ) 出 ( ) = 【 ， = c 【虿( f ，x ) 出 = c f 酏x ) 出+ f r ”酏，x 边 证完 = “等辜+ c 广嵩出 = c 击c 一l pe p ( 2 ，r - t ) + 妒州) 一分 1 p 一2 2 壅韭盘茔塑鲎焦途盘 箜兰主j e 垡造壹是圣险围塑垫焦豳堑鲍垦鲤 3 3 主要结论 为 万便起见，先做如f1 陵设： ( 墨) f ( t ，材) = g ( f ) 乃( 甜) ，r 【o ，2 x 】； ( s og ：( o ，2 疗) 专【o ，+ ) 连续，g ( ，) 不恒为0 ，且o f * g ( t ) d t + o o ，允许在r = o 或 f = 2 7 r 处奇异； ( 墨) h ：( o ，+ ) 一【0 ，+ ) 连续，允许h ( u ) 在甜= o 处奇异