（基础数学专业论文）球面中willmore超曲面的整体pinching定理.pdf

摘要 设m 是单位球面伊押( 1 ) 中的n 维可定向的紧致极小子流形，s 为m 的第二基 本形式模长的平方若s 蒴n 万，则s = o ，即m 是全测地子流形；或s 兰! 钫， 且满足s 兰e n ，p9 n 维极小子流形只有下面两种： 1 s 4 ( 1 ) 中的y e r d 眦s e 曲面，这时n = p = 2 2 伊+ 1 中的c t i f y o r d 超曲面。 之后，文献【2 】，【4 1 ， 6 】等改进和发展了上述结果。最近，h z l i ( 见文献【3 】 5 】 9 ) 研究了当m 是w i f f m o r e 子流形的情形，得到了下述结果： 定义：如果。：m s ”+ p 为嵌入在单位球面却( 1 ) 中的n _ 维子流形， 霉：m 一驴押称作w i l l m o r e 子流形，如果它是下面w i l l m o r e 泛涵的极值子流 形： ( s n i - l 2 ) d v ， j m 这里s = ( b ) 2 是第二基本形式模长的平方，日是m 的平均曲率 定理：如果m 是单位球面扩押( 1 ) 中的n 维紧致w i l l m o r e 子流形，那么 ：f 矿( 赤一p 2 ) d v o 如果 0 p 2 s 击 。 p 那么，或者p 2 三o ，m 是全脐予流形；或者矿三盘对于后一种情况，当p = 1 时，m ；黾w i l l m a r e 环；，一= ( 词舻”( ，鄹，l m n - - 1 当竹= 2 ，p = 2 时，m 是v e r o n e s e 曲面 显然p a k - 结果e e s 或s 一几日2 要求点点满足= p i n c h i n g 条件。对于整体p i n c h i n g 问题，首先由c l s h e n i s 作了研究之后h w 缸g 【1 6 】，j m l i n 和c y x i a 【7 1 和h w x u 【9 】对于整体的p i n c h i n g 的情形作了深入的研究。 本文对w i l l m o r e 超曲面的情形探讨了整体面砌饥g 问题，证明了下述定 理： 攮要 设m 3 ) 为n + 1 维单位球面s ”1 中雕j w i l l m o r e 紧致超曲面，设日和s 分别为肘的平均曲率和第二基本形式模长的平方。若 咿瞻 砑研而i n 矿( n 飘- 2 再) 3 研碉 其中凰= m 。a 盯x h 则矿兰o ，即m 是单位球面s t l + 1 中的全脐超曲面。 关键词：w i u m o r e 超曲面；平均曲率；第二基本形式；w i l l m o r e 泛函 a b s t r a c t l e tmb ea nn - d i m e n s i o n a l ( n 3 ) c o m p a c tm i n i m a ls u b m a n i f o l di n 竹+ p - d i m e n s i o n a lu n i ts p h e r es 州口hd e n o t e st h em e a nc u r v a t u r eo fm ，sd e n o t e s t h ee q u 缸eo ft h el e n g t ho ft h es e c o n df u n d a m e n t a lf o r m t h e nw eh a v e ： i f s 南，t h e n e i t h e r s 暑0 , a n d m i s t o t a l l yg e o d 耐c ，o rs 兰南i n t h el a t t e rc a s e 1 e i t h e r ，p = l a n dm i sac l i f f o r dt o r u se m ，n - mi ns 时1 2 o rn = 2 ，p = 2a n dm i st h ev e r o n e s es u r f a c ei ns 4 ( 1 ) a f t e rt h a t ， 2 】【4 】 6 i m p r o v e dt h ep i n c h i n gc o n d i t i o n r e c e n t l y , h ，z l i ，o b - t a i n e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t sw h e nm i saw i l l m o r es u b m a n i f o l d s ( s e e 【3 】【5 】【9 】) t h e o r e m ：l e tmb ea nw d i m e n s i o n a l 2 ) c o m p a c tw i l l m o r e8 u b m a j l - i f o l di nn + p - d i m e n s i o n a lu n i ts p h e r es ”押t h e nw eh a v e ：f 矿( 南列 i np a r t i c u l a r ，i f o 矿s 2 - i p t h e ne i t h e r 矿= 0a n dmi st o t a l l yu m b i l i c a l ，o r 矿三南i nt h el a t t e r c 铀e 七i t h e rp = 1a n dmi saw i u m o r et o r u s 服m md e f i n e db yt h ef o l l o w i n g e q u a t i o n ：w m ，。一。= s m ( 产) 铲一”( 、帚，1 si r t 竹一1 o rn = 2 , p 。2a n dm i st h ev e r o n e s es u r f a c e o b v i o u s l y , a l lt h ea b o v er e s u l t sh a v ep o i n t w i s ec o n d i t i o n f o rso rs n h 。i t 8 e e 脚t ob ei n t e r e s t i n gt os t u d yt h el q - p i n c h i n gt h e o r e m i ti sf i r s ti n i t i a t e db y c l i s h e n 【8 l i l a t t e rh w a n g 【1 6 ，j m l i na n dc y x i a 【7 】，h w x u 9 】i m p r o v e d t h et h e o r e m s i nt h i st h e s i s ，w h e nmi sw i l l m o r ec o m p a c th y p e r s u r f a c ew ep r o v e d t h e o r e m l e tm ( n 3 ) b en - d i m e n s i o n a lc o m p a c tw i l l m o r eh y p e r s u r - f a c ei nu n i ts p h e r es 1 日d e n o t e st h em e a nc u r v a t u r eo fm a n dsd e n o t e st h e s q u a r eo ft h el e n g t ho ft h es e c o n df u n d a m e m a lf o r m i f 刑2 孬丽讯再可n ( 耳- 石2 ) s j 河厕 w h e r e 凰。搿日 t h e n 矿三0 ，i em i st o t a l l yu m b i l i c a lh y p e r s u r f a c ei n s ”+ 1 第一章引言 子流形的结构和第二基本形式的关系是整体微分几何中的一个绕有兴趣的 问题，特别是口一埘n e h i n g 问题已成为国际微分几何领域中备受关注的课题， 它主要研究子流形在妒一川n c h i n g 条件下的几何结构和拓扑结构 1 9 6 8 年，从j s i m o n s 开始，就有许多文章在讨论这个问题。j s i m o 璐证明 了下述著名的刚性定理。 定理a ( f 1 】) 设m 是单位球面s ”押( 1 ) 中可定向的n 维紧致极小子流形，s 为m 的第二基本形式模长的平方若s j 彘，则s = 0 1 即m 是全测地子流形； 或s 5 2 - 了”p 之后，在1 9 7 1 年，s s c h e r n ，m d o c a r m o ，s k o b a y a s h i ，确定了s 兰高：时， m 的几何结构，他们证明：铲却( 1 ) 中满足s 兰j ! 的紧致极小子流形或为伊( 1 ) 中的v e r o n e s e 曲面；或为伊+ 1 中的c l i f f o r d 超曲面 在文献【1 8 】中，h w x u 证明了下述结果 定理b ( x u 1 s ) 设m ”为单位球面伊却( 1 ) 中n 维紧致的具有平行平均曲率 的子流形，日和s 分别为平均曲率和第二基本形式模长平方若： s sc ( n ，p ，h ) 那么肘“必为f 列情形之一： ( 1 ) 铲( 了南) ； ( 2 ) 伊“中等参超曲面s ”1 ( 了两1 贾i ) s 1 ( 7 1 杀) ； ( 3 ) s ”( 1 ) 6 p c i i f f o r d 极小超曲面伊( 、：) 铲- k ( 、譬) ； ( 4 ) s 3 ( r ) 中c l i f f o r d 环面s 1 ( r 1 ) s 1 ( r 2 ) ，其中r 1 ，r 2 = e 2 ( i + 日2 ) 土2 h o ( 1 + h 2 ) 】寻，r = ( 1 + 日2 一瑶) 警，0 - r i o 日； ( 5 ) ( 刁 万) 中_ 册伽曲面 这s 埔c ( n ，p ，h ) 由下式给出： e 棚= 端川m + 唧，象美鬈篓篙 第一章引害 2 其中口，日) = n + 丽岛俨一爱舞h 日+ 矛百f f 巧同 a 2 赤呻+ 归丽丽刁 文献 1 9 1 进一步推广了上述结果 对于w i l l m o r e 子流形的情形，h z l i 得到了下述结果： 定理c ( 【9 】) 如果m 是嵌入在单位球面s ”押( 1 ) 中的，l 维紧致w i l l m o r e 子流 形，那么 ：f 矿( 南一p 2 ) d v _ o 如果 0 墨p 2 墨高 。 p 伊= s n i - 1 2 或者矿兰0 ，m 是全脐子流形；或者p 2 兰；了r 8 对于后一种情形，当p = 1 时，m 是w i l l m o r e 环；。= 伊( 习扩一”( 和，1 m n 1 当n = 2 ，p = 2 时，m 是v e r o n e s e 曲面 对于流形整体的驴一p i n c h i n g 条件下的几何结构和拓扑结构。1 9 8 6 年， c l i s h e n 首次对球面中的极小超曲面作了研究。此后，h w a n g ，j m l i n 和h w x u 深入研究了整体p i n c h i n g 问题 最近，h w x u 和j r g u 研究了n + 雠完备连通黎曼流形舻却中n 维可定 向的具有平行平均瞌率子流形m 的l n 2 一p i n c h i n g 问题，得到以下结果 定理d ( h w x ua n dj r g u l l 0 ) 设m n ( n 3 ) 为舻切中的完备的具有平 行平均曲率的完备子流形，设h 和s 分别为平均曲率和第二基本形式模长的平 方如果 ( s 一仡日2 ) n 2 d m e ( n ) j m 这里e ( 佗) 是一个仅于佗有关的正常数则s 兰h i - 1 2 b p m n 是全脐子流形特别 地，当日一0 时，m = j p ；当日0 时，m = s ”( 刍) 进一步有： 第一章弓i 言3 定理e ( h w x ua n dj r g u i o ) 设m “23 ) 为f “却( c ) 中的完备的具有 平行平均曲率的完备子流形，其中p 件( c ) 为n + p 维的完备单连通的具有非负 常曲率c 的空间形式，设h 和s 分别为平均曲率和第二基本形式模长的平方如果 ( s n 舻p 2 o 对( 3 1 2 ) 两边积分 厶；矿_ 2 ( p 2 ) 2 一n ( n 1 ) j _ 矿一2 l v 月1 2 + j _ 矿一2 e ( h j h k u ) j + f m 矿m + n 舻一p 2 ) + n 厶n h e 西k k 一；l p n 一2 ( n 铲) ) d 一 ( 3 1 3 ) 第三章引理和几何不等式9 把( 3 8 ) ( 3 1 0 ) 代入( 3 1 3 ) ，我们得到 2 【一礼m 一1 ) 凡矿- 2 ( 豇甚h + 祀丘日c o - _ 2 ) 村( n 日西一b ) 一n ( n 1 ) j _ - 铲a ( p 一2 ) 一2 n ( n 一1 ) f m h v ( p ”2 ) v h 一竹厶h p n - 2 ( 日p 2 + b ) 】+ n f m 日( 矿_ 2 ) 出 + n 2 f m l - l v c o 一2 ) v 明+ j _ 矿( n + n i - 1 2 一矿) + n j k h p n 一2 f 3 1 5 ) k 礁k 一；凡矿2 a ( n - p ) = 2 f m 矿- 2 ( 日甄) t + n 2j _ 日2 a ( p n _ 2 ) 一n ( n 一1 ) 厶日2 ( p “一2 ) 一2 n ( n 一1 ) j o h v ( p n 一2 ) v 日 + n 2 厶h v ( 矿一2 ) v h + f m p n ( n p 2 ) 一j 1j _ 矿一2 a ( n h 2 ) ) = l m p n ( n 一萨、 引理3 83 l g ：果m 是单位球面伊+ 1 中的紧致超曲面n 3 ，则x c - - t ：t j t r + 有： i iv 萨1 1 ； - 采焉 雨1 南_ ( 1 + 啾，+ i 1 川州) 证明：根据命题( 2 ) 很容易推得 第四章主要定理的证明 定理( 4 1 ) i 匣m ( n 3 ) 为n + 1 维单位球面+ 1 中的w i l l m o r e 紧致超曲面， 设日和s 分别为m 的平均曲率和第二基本形式模长的平方。若 9 刎 砑研而i , 酽1 ( n 可- 2 再p 帝丽 其中h o = m & x 日 x e m 则p 2 三0 ，即m 是单位球面扩+ 1 中的全脐超曲面。 证明：首先计算恒等式如下： ；缈) = 掣l v 川2 + 扩2 ( p 2 ) ( 4 1 ) 对( 4 1 ) 两边在m 上作积分有： 。= 厶；) = 2 ( ”n - 2 ) 凡fi v p 邳+ 厶；矿- 2 ( 矿) ( 4 2 ) 有引理( 3 7 ) 矛f l ( 3 8 ) 知 0 = 厶；) 磊不”t - - 23 否南i i p no 南一( 1 + 瑶) ( 1 + ) 8 矿) + n fp n ( n p 2 ) = 环嵩蒜雨i i 矿怯一刘p n + 2i l + 譬一丝2 n ! ( 坠n - 。) 孕t 矿h ( 4 3 ) 录j f f h b l d e r 不等式，有 u 1 1 _ 1 1p 2i i l l 矿0 南 贝i j ( 4 3 1 变成 二蕃霸弑引b k 心a ， + 害一错矿o ： 译a 取t = 生嘉警告掣则( 4 4 ) 变成 南丽毒一扣刖郎。( 4 9 第四章主要定理的证明1 1 显然，若 1 1p 2l i 2 而丽若筹磬碱 其中o = m 譬日则矿三o ，t l p m 是单位球面s 1 中的全脐超曲面。 z t 朋 参考文献 【1 】j s i m o n s ，m i n i m a l v a r i e t i e si nr i e m a n n i a nm a n i f o l d s ，a n n o f m a t h 8 9 ( 1 9 6 s ) ，p p6 2 - 1 0 5 【2 】a m l ia n dj m l i ，a ni n t r i n s i cr i g i d i t yt h e o r e mf o rm i n i m a ls u b m a n i f o l di n as p h e r e ，a r c h m a t h 5 8 ( 1 9 9 2 ) ，p p 5 8 2 5 9 4 3 】h l i ，w i u m o r es u r f a c e si ns “，a n n g l o b a l a n a l g e o m 3 ( 2 0 0 2 ) ，p p 2 0 3 - 2 1 3 【4 】h w x u ，ar i g i d i t yt h e o r e mf o rs u b m a n i f o l d sw i t hp a r r e l l e lm e a nc u r v a t u r e i nas p h e r e ，a r c h m a t h 6 1 ( 1 9 9 3 ) ，p p 4 8 9 - 4 9 6 【5 】h l i ，w i u m o r es u r f a c e si nas p h e r ，a s i a nj m a t h 5 ( 2 0 0 1 ) ，p p 3 6 5 - 3 7 7 6 】h w x u ，ap i n c h i n gc o n s t a n t o fs i m o n s t y p ea n di s o m e t r i ci m m e r - s i o n ，c h i n e s e a n n m a t h 1 2 ( 1 9 9 1 ) ，p p 2 6 1 - 2 6 9 f 7 1j m l i na n dc y x i a ，g l o b a lp i n c h i n gt h e o r e mf o re v e nd i m e n s i o n a lm i n i m a l s u b m a n i f o l d si nau n i ts p h e r e ，m a t h z 2 0 1 ( 1 9 8 9 ) ，p p 3 8 1 3 8 9 【8 】c l s h e n ，a9 1 0 b a lp i n c h i n gt h e o r e mf o rm i n i m a lh y p e r s u r f a c e s i na s p h e r e ，p r o c a i i l e r m a t h s o c ，1 0 5 ( 1 9 8 9 ) ，p p 1 9 2 - 1 9 8 【9 】h l i ，w i l l m o r es u b m a n i f o l d si nas p h e r em a t h e r e s e l e t t ，9 ( 2 0 0 2 ) ，p p 7 7 1 - 7 9 0 f 1 0 h w x ua n dj r g u ，ag e n e r a lg a pt h e o r e m f o rs u b m a n i f ： o l d sw i t hp a r a l l e l m e a nc u r a t u r ei n 形却，c o r n a n a l g e o m1 5 ( 2 0 0 7 ) ，p p 1 7 5 - 1 9 3 【1 1 】b y c h e r t ，s o m e c o n f o n n a li n v a r i a n t so fs u b m a n i f o l d sa n dt h e i r a p p l i c a t i o n ，b o l l ，u n m a t i t a l 1 0 ( 1 9 9 5 ) ，p p 3 8 0 - 3 8 5 【1 2 h l i ，g l o b a lr i g i d i t yt h e r o r e m s o fh y p e r s u r f a c e s ，a r k m a t 3 5 ( 1 9 9 7 ) ，p p 3 2 7 - 3 5 1 参考文献 【1 3 1h w x u ，工2 p i n c h i n gt h e o r e m sf o rs u b m a n i f o l d sw i t hp a r a l l e lm e a | i lc u r v a - t u r ei nas p h e r e ，4 6 ( 1 9 9 4 ) ，p p 5 0 3 - 5 1 5 【1 4 1r s h o e n ，i - s i m o na n ds t y a u ，c u r v a t u r ee s t i m a t sf o rm i n i m a lh y p e r s u r - f a c e s ，a c t am a t h 1 3 4 ( 1 9 7 5 ) ，p p 2 7 5 - 2 8 8 【1 5 】c p w a n g ，m o e b i u sg e o m e t r yo fs u b m a n i f o l d si n 伊，m a n u e s c r i p t a m a t h 9 6 ( 1 9 9 8 ) ，p p 5 1 7 - 5 3 4 【1 6 h w a n g ，s o m eg l o b a lp i n c h i n gt h e o r e m s f o rm i n i m a ls u b m a n i f o l d si n s p h e r e ，a c t a m a t h s n 3 1 ( 1 9 s s ) ，p p 5 0 3 - 5 0 9 1 7 g h u i s k e n ， f l o w b y m e a i lc u r v a t u r e s p h e r e s ，j d i f f e r e n t i a l g e o m ，2 0 ( 1 9 8 4 ) ，p p 2 3 7 - 2 6 6 【