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第三次作业1、 设R是交换环，证明： (1) R中任意两个幂零元的和仍然是幂零元。(2) R中任意元素与幂零元的乘积是幂零元。(3) R中可逆元与幂零元的和是可逆元。证明：（1）设，则，当时，即时，。当时，。，所以，所以是幂零元。（2），且b是幂零元，则。，是幂零元。（3）设为可逆元，为幂零元，且。因为所以可逆。故有，也可逆。2、 设R是一个元素个数大于1的有限集，证明：关于数的加法和乘法，R不能构成环。证：设是数集，为自然数。不妨设，于是对任意自然数，如果是环，则。因此存在，使得，即存在自然数使得，这与数集矛盾，因此不构成环。3、 在中计算下面两个多项式的加法运算和乘法运算： f(x)=, g(x)=解：4、 求出中次数不超过2的所有可逆多项式。解：零次可逆多项式：一次可逆多项式：二次可逆多项式5、 在环中，求元素。解：设，则，从而。对18，29 用辗转相除法 ，所以，所以，故6、 在整数环Z中，求生成元a, b使得=+, =.解：因为+=，所以a=12。因为= ,所以b=72.7、 设、都是环R的理想，如果证明这些理想的并集是R的理想。证明：（1），则存在,使得，不妨设，则，。因为是环R的理想，则，因而，对减法封闭。（2），则存在,使得。因为是环R的理想，则，具有左右吸收性。综合（1）（2）知，是R的理想。8、 设f：R 是环的满同态，证明：(1) 如果R是交换环，则也是交换环。(2) 举例说明：是交换环，但R未必是交换环。证明：（1），由于f：R 是环的满同态，则，使得，因而，。因为R是交换环，则，则，所以。由交换群的定义知，也是交换环。（2） 设R 是元素为整数的一切2阶方阵关于方阵的加法与乘法形成的环，则显然R不是交换环。但是环满同态。9、 设R是有单位元1的环，证明是多项式环的真子环（即不等于的子环），并且有环同构：。证明：显然是的子环。又因为，但，所以是多项式环的真子环。令，使得。显然F 是一个映射。若，则，故F 是单射。，使得，故F 是满射。故由环同构的定义知F是环同构。所以。10、 设=a+bi | a, bZ,证明：(1) 按复数的通常运算，是一个整环。（通常称是高斯整环）(2) 如果p是一个素数，证明。证：（1），有，所以，故加法满足交换律。，有所以，故加法满足结合律。，有，使得，故存在零元。，有，使得，故逆元存在。，有，故乘法满足结合律。，有，故乘法对加法满足左右分配律。综上可知，是一个环。有单位元：，有，使得，故1是单位元。乘法满足交换律：，有，所以，故乘法满足交换律。没有零因子：，因此中任意两个非零元乘积非零。，故是整环。（2）令，其中，是自然同态，于是是环的满同态。因为，所以，由环的第一同态定理知：11、 有理系数多项式环Qx中，证明： 是极大理想，也是素理想。证明：，所以是极大理想，也是素理想。12、设p是素数，在偶数环2Z中，证明主理想是极大理想，但是素理想的充分且必要条件：p是不等于2的素数。证明：如果理想，则有,但，于是n与p互质,从而存在整数使得。从而。故。这表明是的极大理想。必要性：（反证法）如果，则，但，因此不是素理想。充分性：如果，并且，则。于是或，从而或，因此是素理想。13、 设R=a+3bi | a, bZ,(1) 按通常数的运算，证明：R是整环。(2) 求R的所有可逆元。证明：（1）证：（1），有，所以，故加法满足交换律。，有所以，故加法满足结合律。，有，使得，故存在零元。，有，使得，故逆元存在。，有，故乘法满足结合律。，有，故乘法对加法满足左右分配律。综上可知，R是一个环。有单位元：，有，使得，故1是单位元。乘法满足交换律：，有，所以，故乘法满足交换律。没有零因子：，因此中任意两个非零元乘积非零。故是整环。（2）如果,则于是，故，即中可逆元只有。14、 在高斯整环中，证明3是素元，但2不是素元。证：设，则，于是。只有或或或。所以3是的素元。但，所以2不是素元。15、在高斯整环中将元素15进行既约元因子分解。解：只须验证都是既约元。证明3是既约元：设则，于是又无整数解，故或从而为可逆元，或为可逆。同理可证是既约元。16、证明：按数的通常运算，=a + bi | a, bQ 是一个域。()证：，有，所以，故加法满足交换律。，有所以，故加法满足结合律。，有，使得，故存在零元。，有，使得，故