天津市2019年中考数学试题研究二次函数综合题题库.docx

二次函数综合题1. 已知抛物线C：yax2bxc与x轴交于A、B(A在B的左侧)两点，与y轴交于点D(0，3)，且顶点为E(1，4). ()求抛物线C的解析式；()将抛物线C经过某种平移后得到抛物线C，顶点变为E(1，k)(k4)，设平移后D的对应点为D，且OD2.求抛物线C的解析式；点Q在抛物线C的对称轴上，若ADAQ，求点Q的坐标.解：()设抛物线C的解析式为ya(x1)24，代入D(0，3)，得a43，解得a1，抛物线C的解析式为y(x1)24，即yx22x3；()E(1，4)，E(1，k)(k4)，抛物线向下平移了(4k)个单位长度，D(0，34k)，即D(0, k1)，OD2，2，解得k3或k=1，抛物线C的解析式为y(x1)23或y(x1)21，即yx22x2或yx22x2；OD2，D(0，2)或D(0，2)令y0，则有x22x30，解得x1或x3，点A的坐标为(1，0)设点Q坐标为(1，m)AD2(0+1)2(20)25，AQ2(11)2(0m)2m24，m245，解得m1.Q点坐标为(1，1)或(1，1)2. 已知二次函数y x2bxc与x轴交于A、B两点()若A(2，0)，B(3，0)，求二次函数的解析式；()若b(3m1)，c2m22m(其中m1)二次函数与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)(x1x2)两点，且1x1x21，试求m的取值范围；当1x3时，二次函数的最小值是1，求m的值解：()把A(2，0)，B(3，0)代入y x2bxc，得，解得，二次函数的解析式为yx2x6；()令y0，则x2(3m1)x2m22m0，b24ac(3m1)24(2m22m)(m+1)2，x1m1，x22m，1x1x21，11，整理得9m3，m1，1m3；若对称轴x1，当x1时，二次函数有最小值1，此时1m1，代入(1，1)得：1(3m1)2m22m1，化简得2m25m30，解得m1或m(舍去)；若对称轴x3，当x3时，二次函数有最小值1，此时m，代入(3，1)得：93(3m1)2m22m1，化简得2m211m130，解得m或m(舍去)；若对称轴13，当x时，二次函数有最小值1，此时1m，代入(，1)，得2m22m1，化简得m22m30，解得m1或m3，(均舍去)综上所述，m的值为或1.3. 已知抛物线yax2bxc的对称轴为直线x1，该抛物线与x轴的两个交点分别为点A和B，与y轴的交点为C(0，3)，其中A(1，0)()求点B的坐标；()若抛物线上存在一点P，使得POC的面积是BOC的面积的2倍，求点P的坐标；()点M是线段BC上一点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点D，求线段MD长度的最大值解：()抛物线yax2bxc的对称轴为直线x1，A(1，0)，点B的坐标为(3，0)；()将点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）代入抛物线yax2bxc中，得，解得，抛物线的解析式为yx22x3，SBOC33.SPOC2SBOC9.设点P的横坐标为xP，则3|xp|9，解得xP6.点P的坐标为(6，21)或(6，45)；()点B(3，0)，C(0，3)，直线BC的解析式为yx3.设点M(a，a3)，则点D(a，a22a3)MDa3(a22a3)a23a(a)2，当a时，线段MD长的最大值为.4. 抛物线yx2bxc(b，c为常数)与y轴相交于点C，经过点C作直线CDx轴，交抛物线于点D，将直线CD向上平移t个单位长度，交抛物线于点A、B(A在B的左侧)，直线AB与抛物线的对称轴交于点E.()当b2，c1时，求抛物线顶点P的坐标；()若ACB90，求t的值；()在()的条件下，当以点A，C，D，E为顶点的四边形为平行四边形时，求b的值解：()当b2，c1时，yx22x1(x2)21，抛物线的顶点P的坐标为(2，1)；()如解图，连接AC，BC，CE，ACB90，AEEB，CEAB，由x2bxcct，解得xb，A(b，ct)，B(b，ct)，AB2.E(b，ct)，C(0，c)，CE.解得t2或t0(舍去)，t2；第4题解图()由题意得CDAE，A(b，ct)，E(b，ct)，且点A在点E的左侧，AE.C(0，c)，D(2b，c)，CD|2b|，|2b|，3b22t，t2，b.5. 已知抛物线yax2bxc(a0) 经过点(1，4a)，(4，5a)()证明：抛物线与x轴有两个不同的交点；()设抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若ACB90，求a 的值；()若点D和点E的坐标分别为(0，4)，(4，4)抛物线与线段DE恰有一个公共点，求a的取值范围()证明：把点(1，4a)，(4，5a)代入yax2bxc，得 ，解得 ，抛物线的解析式为yax22ax3a，b2-4ac(2a)24a(3a)4a212a216a20，抛物线与x轴有两个不同的交点；()解：令ax22ax3a0，解得x11，x23，设A，B两点的坐标分别为(1，0)，B(3，0)，令x0，则y3a，点C的坐标为(0，3a)，ACB90，AC2BC2AB2，AC2(1)2(3a)219a2，BC232(3a)299a2，AB23(1)216，19a299a216，解得a.a的值为；()解：由()知，抛物线与x轴的交点为(1，0)，(3，0)，抛物线关于直线x1对称，a的正负不确定，需分类讨论；当a0时，如解图，将x0代入抛物线解析式得y3a，抛物线与线段DE恰有一个公共点，3a4，解得a，将x4代入抛物线解析式得y5a，5a4，解得a，a，当a0时，如解图，将x0代入抛物线解析式得y3a，抛物线与线段DE恰有一个公共点，3a4，解得a，将x4代入抛物线解析式得y5a，5a4，解得a，a；当抛物线的顶点在线段DE上时，则顶点为(1，4)，如解图，将点(1，4)代入抛物线得4a2a3a，解得a1.综上所述，a或a或a1.第5题解图6. 已知抛物线yax2bxc经过A(0，2)，B(2，2)两点()求a，b满足的关系式；()当a时，y值为正整数，求满足条件的x值；()若a0，线段AB下方的抛物线上有一点D，求DAB的面积最大时，D点的横坐标解：()将A(0，2)，B(2，2)代入抛物线yax2bxc中，得，4a2b22，整理得2ab2，即a，b满足的关系式为2ab2；()由()知，c2，b2a2，a ，b1，抛物线解析式为yx2x2(x1)2，y值为正数，(x1)20，(x1)250，1x1，y值为整数，即(x1)2为整数，(x1)2是奇数，综上所述，满足条件的x值为2或0；()由()知，c2，b2a2，抛物线的解析式为yax2(2a2)x2，A(0，2)，B(2，2)，直线AB的解析式为y2x2，点D在线段AB下方的抛物线上，设点D（m，am2(2a2)m2），如解图，过点D作y轴的平行线DE交AB于点E，E(m，2m2)，DE2m2am2(2a2)m2a(m1)2a，SDAB DE(xBxA)a(m1)2a，a0，a0，当m1时，DAB的面积最大，此时D点的横坐标为1.第6题解图 7. 一次函数yx的图象与二次函数yax24axc的图象交于A、B两点(其中点A在点B的左侧)，与这个二次函数图象的对称轴交于点C.()求点C的坐标；(II)设二次函数图象的顶点为D.若点D与点C关于x轴对称，且ACD的面积等于3，求此二次函数的解析式；若CDAC，且ACD的面积等于10，求此二次函数的解析式解：()yax24axca(x2)24ac，二次函数图象的对称轴为直线x2. 当x2时，yx，C(2，)；()点D与点C关于x轴对称，D(2，)，CD3.设A(m，m) (m2)，由SACD3，得3(2m)3，解得m0，A(0，0). 将A(0，0)、 D(2，)代入yax24axc中，得， 解得. 此二次函数的解析式为yx2x；设A(m，m)(m2)，如解图，过点A作AECD于E，第7题解图则AE2m，CEm， AC(2m)，CDAC，CD(2m). 由SACD10得(2m)210，解得m2或m6(舍去)，m2.A(2，)，CD5. 若a0，则点D在点C下方，D(2，)，由A(2，)、D(2，)得， 解得，yx2x3. 若a0，则点D在点C上方，D(2，)，由A(2，)、D(2，)得， 解得 ，yx22x.综上，二次函数的解析式为yx2x3或yx22x. 8. 已知二次函数yx2(2m2)xm22m3(m是常数)的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)()如果二次函数的图象经过原点求m的值；若m0，点C是一次函数yxb(b0)图象上的一点，且ACB90，求b的取值范围；()当3x2时，函数的最大值为5，求m的值解：()二次函数的图象经过原点，m22m30，解得m11，m23.m0，m1.把m1代入yx2(2m2)xm22m3中，得：yx24x，当yx24x0时，解得x10，x24，AB4.以AB为直径作P，根据直径所对的圆周角为直角，可知：当一次函数yxb(b0)的图象与圆相交时，可得ACB90.如解图，一次函数yxb(b0)的图象与P相切于点C，与y轴交于点E，与x轴交于点F，连接PC，易得PCF90.第8题解图当x0时，yxbb，点E(0，b).当yxb0时，xb，点F(b，0)，AEAFb，又PCF90，PCF为等腰直角三角形，PFPC2，bAF22，b的取值范围为0b22；()yx2(2m2)xm22m3(xm1)24，抛物线的对称轴为直线x1m，当1m，即m1.5时，根据二次函数的对称性及增减性，当x2时，函数最大值为5，(2m1)245，解得：m2或m4(舍去)；当1m，即m1.5时，根据二次函数的对称性及增减性，当x3时，函数最大值为5，(3m1)245，解得：m1或m7(舍去)综上所述，m2或m1.9. 已知抛物线ya(xh)22(a，h是常数，a0)，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点M为抛物线的顶点()若点A(1，0)，B(5，0)，求抛物线的解析式；()若点A(1，0)，且ABM是直角三角形，求抛物线的解析式；()若抛物线与直线yx6相交于M、D两点，当CDx轴时，求抛物线的解析式解：()抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(5，0)，5hh(1)，h2.把A(1，0)代入ya(x2)22，有a(12)220，解得a，抛物线的解析式为y(x2)22；()抛物线与x轴交于A、B两点，顶点M在直线y2上，如解图.a0.由a(xh)220，得xh.|AB|(h)(h)2.设对称轴xh交x轴于点H，则MH2.ABM是等腰直角三角形，AB2MH，24，解得a，把A(1，0)代入y(xh)22，得(1h)220，解得h11，h23，抛物线的解析式为y(x1)22或y(x3)22；第9题解图()如解图，点M(h，2)在直线yx6上，2h6，解得h4.ya(x4)22ax28ax16a2，C(0，16a2)，由x6ax28ax16a2，即ax2(8a1)x16a40.解得x14，x24，把x4代入yx6，得y2，D(4，2)CDx轴，点C与点D关于直线xh4对称，16a22，a，当a时，点C与点D重合，不合题意，故舍去，a，抛物线的解析式为y(x4)22.第9题解图10. 已知抛物线yx2bxc与直线ykxm交于A(1，3)，B(4，0)两点，点P是抛物线上A、B之间(不与点A、B重合)的一个动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C、D.()求抛物线与直线AB的解析式；()当点C为线段AB的中点时，求PC的长；()设点E的坐标为(s，t)，以点P，C，D，E为顶点的四边形为矩形时，用含有t的式子表示s，并求出s的取值范围解：()点A(1，3)，B(4，0)在抛物线上，解得，抛物线的解析式为yx24x.点A(1，3)，B(4，0)在直线ykxm上，解得，直线AB的解析式为yx4；()根据题意，点C的坐标为(，)，且PCx轴，x24x，解得x2(舍去)或x2，即点P的横坐标为x2，第10题