湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 2.1.1椭圆及其标准方程课件2 新人教A版选修11.ppt

椭圆第二节 1 知识与技能掌握椭圆的定义 会推导椭圆的标准方程 2 过程与方法会用待定系数法求椭圆的标准方程 本节重点 椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式 本节难点 椭圆标准方程的建立和推导 1 对于椭圆定义的理解 要抓住椭圆上的点所要满足的条件 即椭圆上点的几何性质 可以对比圆的定义来理解 2 在理解椭圆的定义时 要注意到对 常数 的限定 即常数要大于 f1f2 这样就能避免忽略两种特殊情况 即 当常数等于 f1f2 时轨迹是一条线段 当常数小于 f1f2 时点不存在 1 平面内与两个定点f1 f2的距离之和等于定长 大于 f1f2 的点的轨迹叫做 这两个定点f1 f2叫做椭圆的 两焦点的距离 f1f2 叫做椭圆的 2 在椭圆定义中 条件2a f1f2 不应忽视 若2a f1f2 则这样的点不存在 若2a f1f2 则动点的轨迹是 椭圆 焦点 焦距 线段 例3 已知圆a x 3 2 y2 100 圆a内一定点b 3 0 圆p过b且与圆a内切 求圆心p的轨迹方程 分析 根据两圆内切的特点 得出 pa pb 10 由于a点的坐标为 3 0 b点的坐标为 3 0 所以点p的轨迹方程是以a b为焦点的椭圆的标准方程 这就把求点p的轨迹方程的问题转化成了求a2 b2的问题 解析 设圆p的半径为r 又圆p过点b pb r 又 圆p与圆a内切 圆a的半径为10 两圆的圆心距 pa 10 r 即 pa pb 10 大于 ab 点p的轨迹是以a b为焦点的椭圆 2a 10 2c ab 6 a 5 c 3 b2 a2 c2 25 9 16 点评 在求动点的轨迹方程时 要对动点的运动规律仔细分析 去伪存真 当发现有动点到两定点的距离之和为定值时 要马上和椭圆的定义进行联系 若符合椭圆的定义 即可直接写出对应的椭圆方程 这种方法也叫定义法求轨迹方程 已知f1 f2是两点 f1f2 8 动点m满足 mf1 mf2 10 则点m的轨迹是 动点m满足 mf1 mf2 8 则点m的轨迹是 答案 以f1 f2为焦点 焦距为8的椭圆线段f1f2 解析 因为 f1f2 8且动点m满足 mf1 mf2 10 8 f1f2 由椭圆定义知 动点m的轨迹是以f1 f2为焦点 焦距为8的椭圆 其方程为因为 mf1 mf2 8 f1f2 所以动点m的轨迹是线段f1f2 例4 如图所示 已知点p是椭圆 1上的点 f1和f2是焦点 且 f1pf2 30 求 f1pf2的面积 已知椭圆 1上一点p f1 f2为椭圆的焦点 若 f1pf2 求 f1pf2的面积 解析 由椭圆的定义 有 pf1 pf2 2a 而在 f1pf2中 由余弦定理有 pf1 2 pf2 2 2 pf1 pf2 cos f1f2 2 4c2 pf1 pf2 2 2 pf1 pf2 2 pf1 pf2 cos 4c2 即4a2 4c2 2 pf1 pf2 1 cos 点评 椭圆上一点p与两焦点f1 f2构成的三角形pf1f2我们通常称其为焦点三角形 在这个三角形中 既可运用到椭圆定义 又能用到正 余弦定理 上述解答过程中还运用了整体思想直接求出 pf1 pf2 没有单独求 pf1 pf2 以减少运算量 例5 设p为椭圆 1上任意一点 f1为它的一个焦点 求 pf1 的最大值和最小值 解析 设f2为椭圆的另一焦点 则由椭圆定义得 pf1 pf2 2a pf1 pf2 2c 2c pf1 pf2 2c 2a 2c 2 pf1 2a 2c 即a c pf1 a c pf1 的最大值为a c 最小值为a c 点评 椭圆上到某一焦点的最远点与最近点分别是长轴的两个端点 应掌握这一性质 二 填空题5 2009 北京文 13 椭圆 1的焦点为f1 f2 点p在椭圆上 若 pf1 4 则 pf2 f1pf2的大小为 答案 2120 辨析 上述解法只注意了焦点在y轴上 而没有考虑到m2 0且 m 1 2 0 这是经常出现的一种错误 一定要避免 辨析 由a2 m 1 2及b2 m2 应得a m 1 及b m m 1与m不一定是