（电工理论与新技术专业论文）交流可控电抗器磁场的数值分析与控制电路设计.pdf

塑垩查兰堡主兰垡堕塞 a b s t r a c t a c c o r d i n gt o ar u s s j a l lp r o f e s s o r si d e a , ac o n t r o l l a b l er e a c t o rm o d e lw i t hm u l t i c o n t r o ll o o p sh a sb e e nc o n s t i t u t e db yt h i sp a p e r t h e nb a s e do nt h ef i n i t ee l e m e n t m e t h o d ( f e m ) a n dc o m b i n i n gw i t ht h e c i r c u i tt h e o r y , t h em a t h e m a t i c a lm o d e lo f n o n l i n e a rm a g n e t i cf i e l di sp r e s e n t e df o rt h en u m e r i c a la n a l y s i so f t h em a g n e t i cf i e l d d i s t r i b u t i o na n dt h ei n d u c t a n c eo f t h ec o n t r o l l a b l er e a c t o rm o d e l f i r s t l y ，t h ec o n t r o l l a b l er e a c t o ri s c o n n e c t e dd i r e c t l yw i t hp o w e rn e t w o r k ，s oi ti sa e l e c t r o m a g n e t i cf i e l di n s p i r e db y b o t hv o l t a g es o u r c ea n dc u r r e n ts o u r c e w i t hf i n i t e e l e m e n tm e t h o da n dc i r c u i tt h e o r y , t h en o n l i n e a rd i s c r e t em a t h e m a t i c a lm o d e lo f c o n t r o l l a b l er e a c t o ri sp r e s e n t e d s e c o n d l y , s i n c et h e c o n t r o l l a b l er e a c t o ri s n o n l i n e a r , n e w t o n - r a p h s o nm e t h o di s a p p l i e d t os o l v et h en o n l i n e a rf i n i t ee l e m e n te q u a t i o n s o nt h eb a s i so ft h en u m e r i c a la n a l y s i s ，t h er e s u l t so fd i s c r e t em a t h e m a t i c a lm o d e la n d c o m p u t ep r o g r a mp r e s e n t e d i nt h i s p a p e r a r ev e r i f i e d b y t h e c o r r e s p o n d i n g e x p e r i m e n t s t h eo b t a i n e dn u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h ec o n t r o l l a b l er e a c t o r c a r l w e l ls e r v et h ee n g i n e e r i n g p u r p o s e k e yw o r d s ：f e m ，c o n t r o l l a b l er e a c t o r , n o n - l i n e a r , n e w t o n r a p h s o nm e t h o d 2 浙江大学硕士学位论文 第一章绪论 1 - 1 可控电抗器及其应用研究的现状 并联电抗器是交流电网中不可缺少的重要设备。目前，世界各国大多数都采 用并联电抗器来补偿线路的充电容量，抑制轻负荷时线路末端电压的升高，并抑 制操作过电压，从而对系统安全运行起着重要的作用。工程实践的运行经验表明， 远距离输电系统不采用并联电抗器将难以实现其预定的运行状态，或者将使运行 复杂化。近年来，为了补偿大城市地下输电电缆的充电容量，亦普遍采用了低电 压并联电抗器的补偿方式。具体说来，并联电抗器在电网应用中的功能为：( 1 ) 以 并联电抗器的感性电磁能量补偿输电线路上的容性电磁能量；( 2 ) 稳定电网电 压，使其不超出系统所设定的电压绝缘水平的要求；( 3 ) 防止与电网联接的发电 机发生自励现象；( 4 ) 限制由甩负荷操作或线对地故障所产生的过电压。可见， 在电力系统中，无论是超高压或者低电压并联电抗器，都具有广阔的应用前景。 在并联电抗器需求量日益扩展的近代电力系统中，近年来，工程界开始致力 于以电感量可以调节的可控电抗器来适应电网稳定运行需求的新技术产品的研 究与开发。可控电抗器是指电抗器的电感可以调节的电抗器，含有铁心的电抗器 的电感调节主要是通过改变铁心的磁阻大小来实现的。显然，磁阻大，电感小； 反之，磁阻小，电感大。改变电抗器磁阻的方法一般有两种：一种是用附加磁通 的方法使磁路饱和，这样，铁心未饱和时磁阻小，饱和后磁阻大；另一种是借助 附加绕组产生反方向磁通，以达到调节电抗器磁场饱和度的方法。 第一种方法就是早己采用的直流控制结构，控制感抗是由外施直流电压来磁 化铁心柱，依靠铁心硅钢片的饱和来减小电抗器的感抗和增大电抗器的工作电 流，直到铁心柱饱和极限值。这种结构基于铁心饱和的调节原理，使电抗器的电 流畸变，产生的谐波分量较大，往往超过电力部门的限定值。同时，由于这种结 构在运行中铁心处于磁饱和状态，其振动、噪音都比较大，难以满足环境保护意 识日益增长的需求。正因直流可控电抗器存在着上述多方面的缺点，故长期以来 没有得到推广和发展。然而，可控并联电抗器是合理补偿系统充电容量，保障电 浙江大学硕士学位论文 网稳定、安全运行，提高线路输送容量和效率的最简单、最方便的有效方法。为 此，许多专家、学者在致力于研究如何解决直流可控电抗器不足之处时，都关注 于第二种方法的工程设计，及其特性与实施方案的研究。 第二种方法是借助附加绕组( 控制绕组) 产生反方向磁通来改变电抗器铁 心的磁阻。因控制绕组通过的电流为交流电，所以这种结构又称为交流可控电抗 器。交流可控电抗器的反方向磁通依靠控制绕组短路( 用二个相互并联但导通方 向相反的可控硅组件来实现双向控制) 的方式来实现。当控制绕组短路时，大量 磁通将从铁心磁路中被挤到主绕组与控制绕组之间的空间里。在此情况下，磁阻 增加，导致电抗器的感抗显著减小。应指出，借助于可控硅改变控制绕组的电流 来调节电抗器的磁通和容量。当可控硅全开通时，控制绕组的电流达到最大，主 绕组的电流也达到最大，这种控制为交流等容量控制，相当于变压器副绕组短路 运行。交流电抗器的铁心在正常工作状态下，不会呈现磁饱和，即电抗器本身不 会产生谐波，但是在可控硅非全开通情况下，电流发生畸变，由此产生与控制可 控硅导通角有关的谐波分量。如何消除或降低这些谐波电流，一直是人们在这类 可控电抗器结构设计中关注的要点。对此，俄罗斯圣彼得堡工业大学高电压电 器教研室主任，阿列克山德洛夫院士提出了一种即能平滑调节电抗器功率，又能 降低高次谐波电流的新型交流可控电抗器。这就是如图( 1 - i ) 所示的多绕组结 构形式的电抗器。基于这种原理的新型可控电抗器的研究在俄罗斯受到了高度重 视，并已获得了一定的应用。据报道，俄罗斯已生产出这类新技术成果的产品， 但在其它国家尚未见到这方面的报道。 图( 1 - 1 ) 多绕组结构的交流可控电抗器示意图 4 组件 浙江大学硕士学位论文 这种新型交流可控电抗器的工作绕组称为主绕组，每相只有一个。在其可控 调节的运行过程中，主绕组匝数不变，但基于控制绕组的引入，可控制调节绕组 中的电流，即工作绕组对应的电抗器容量可以调节，这正是可控电抗器所要达到 的功能。该可控电抗器每相控制绕组可由多个构成，其结构与所需限制的高次谐 波分量的要求相关。同时，已如前述，该可控电抗器的容量就是利用可控硅短接 控制绕组来调节的。 这种新型交流可控电抗器是一种新技术，它的研制成功有多方面的应用价 值：可用于高、低压电力系统中的并联电抗器，也可用于电磁负荷变化较大的供 电网络中的补偿装置用电抗器。现在，国内对交流可控电抗器的研究工作已经起 步，例如，文献 1 介绍了一种新型可控电抗器的结构、工作原理及工作状态， 并且推导了它的基本方程，在此基础上分析其基本特性；文献 2 介绍了一种高 速响应可控电抗器的工作原理，推导了选择主要参数的计算公式，叙述了降低铁 心损耗的方法。事实上，后者正是阿列克山德洛夫院士提出的多绕组结构形式的 电抗器在工程产品上的一种构思。值得指出，在国内外的相关文献上均未涉及可 控电抗器电磁参数的分析和计算。 1 2 电磁场数值分析的发展与现状 电磁场数值分析属综合性的应用学科分支，涉及电磁场理论、数值分析、计 算方法、计算机应用基础及高级语言等多方面领域的知识。电磁场数值计算的任 务在于根据电磁场的基本特性，即基于麦克斯韦方程组，首先建立逼近实际工程 电磁场问题的连续型的数学模型，然后采用相应的数值计算方法，经离散化处理， 把连续性数学模型转化为等价的离散型数学模型，即由离散数值构成的联立代数 方程组( 离散方程组) ，应用有效的代数方程组解法，计算出待求离散数学模型 的离散解( 数值解) 。最后将通常所得电磁场的位函数再经各种后处理过程，就 可以得出场域中任意点处的场强，或任意区域的能量、损耗分布，以及各类电磁 参数值等，以达到对工程电磁场问题的理论分析、工程判断和优化设计等目的。 浙江大学硕士学位论文 随着计算工具高速、大容量电子计算机的发展，电磁场数值分析已深入 到工业生产的各个领域，解决的面愈来愈广，分析的问题也日益复杂，已从线性 场的计算发展到非线性场的计算，从恒定场到时变场，从稳态场到瞬变场，从单 一物理场发展到多种物理场的耦合场等。实践表明，为适应电磁装置和系统的发 展需要，在完善各类电气产品的电磁性能，设计并开发出新型电磁产品等方面， 电磁场数值计算理论及其工程应用始终是一个具有重要学术意义和学科前瞻性 的应用研究课题与现实的研究方向。 电磁场数值分析基于计算机技术、计算数学的发展，并在工程实际问题不断 提出新的研究课题的推动下，取得了一系列的进展。一般说来，电磁场数值计算 方法主要分为：积分法( 积分方程法、边界积分法和边界元法等) 、微分法( 有 限差分法、有限元法和网络图论法等) ，以及微分一积分相结合的方法( 或称之 为组合法) 。 有限差分法( f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ，简称f d m 法) 是电磁场数值分析中 应用最早的一种方法。为了获得足够精度的数值解，有限差分法要求精细的网格 剖分，但是这往往受到计算机内存容量的限制。而且，实践证明，在相同剖分情 况下，有限元法的计算精度高于有限差分法；尤其当场域几何特征很不规则时， 有限差分法的适应性更远逊于有限元法。因此，除了在时域离散数学模型的构造 中，有限差分法( 即所谓f i n i t e d i f f e r e n c et i m ed o m a i nm e t h o d ，简称f d t d 法) 依然在电磁散射、电磁兼容、辐射等工程领域的电磁场数值分析中得到广泛应用 外，有限元法事实上已取代了有限差分法的应用。 7 0 年代初，r r s i l v e s t e r 等人把有限元法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，简称f e m 法) 引入到电磁场数值计算领域中，并应用于电机工业，得出了电机电磁场问题 的第一个通用非线性变分表述以及相应的有限元法的构造。有限元法能有效地计 算非线性二维、三维静态、瞬变及交流稳态涡流场等问题。发展至今，有限元法 在电磁场数值分析领域中得到了越来越广泛的应用。其突出特点在于：( 1 ) 场 域离散化过程保持了明显的物理意义基于物理的最小作用原理；( 2 ) 解题 能力强，这主要表现在：a 能够处理边界几何形状复杂，场域中存在多种媒质 的问题；b 对于第二和第三类边界不必作单独处理；c 能够自动满足不同媒质 分界面上的边界条件：d 离散点分布具有随意性；e 计算精度较高；f 程序通 浙江大学硕士学位论文 用性强。( 3 ) 从数学上讲，有限元法拓宽了微分方程的求解方法，推动了泛函 分析、计算方法的发展。因此，自有限元法诞生以来，在各个学科与工程领域内， 该方法得到了极其广泛的重视和应用，产生了大量有价值的研究成果。 有限元法和有限差分法的共同点是用有限个自由度来近似描述一个连续体。 在开域问题中，这两种方法均要求把边值为零的外边界取定在足够远处，致使计 算的场域变得很大，剖分网格的节点数亦随之增加。对此，积分方程方法能较好 地解决开域问题以及连续场的计算问题，因为它只需对源区进行离散。就线性问 题而言，积分方程法具有较高的精度；但是，对于非线性问题，所形成的离散方 程的系数矩阵是非对称满秩矩阵，需要相当大的内存来存储。相比之下，微分法 解非线性场时，形成的系数阵为对称稀疏矩阵，换句话说，对应非线性、多媒质 问题，积分方程法的实际应用受到明显的限制。 由边界积分法得到改进的积分方程法( b o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o nm e t h o d ) ， 即边界积分的离散只涉及到铁区边界，从而使未知数大大减少。此外，系数矩阵 的形成吸取了有限元插值方法，减少了计算时间。对于线性或近似线性的情况， 可达到相当高的计算精度。为了解决非线性问题，1 9 7 8 年c w t r o w b r i d g e 等人 提出了双标量磁位法，该方法就是用两种标量位分别描述不同场区内磁场的数学 模型：在有电流存在的区域采用简化标量位，而在其他区域( 如铁区) 则用全标 量位来描述。这种方法亦称为积分一微分方程法。 近年来，边界元法( b o u n d a r ye l e m e mm e t h o d ，简称b e m 法) 也在工程计算 中得到了应用。它以边界积分法为基础，通过加权余量法或格林定理的变换，将 场域问题转换为边界积分求解的数学模型，从而可以求解无界域的电磁场定解问 题。对于线性问题，只需划分边界单元，可以降低方程维数。边界元法的不足之 处在于形成代数方程组的系数矩阵不是稀疏矩阵，所有元素都要用数值积分求 出，所需计算时间难以压缩；对多种媒质中场的问题，方法的应用需分别对每一 种媒质取边界、建立方程，然后联立求解。因此，如果场区材料性质复杂，则难 度明显增大；同样，对于非线性问题，其应用难度亦明显增大。 网络图论法( g r a p h t h e o r e t i c f i e l dm e t h o d ) 是将网络图论应用到电磁场数 值计算中，对连续场域问题，直接从物理图象建立代数方程组。因此，也可称为 直接离散模型，它体现了“场”与“路”两种方法的结合和两种理论的统一。该 浙江大学硕士学位论文 方法在恒定磁场、交流稳态涡流场等问题的求解中有所应用。 从电磁场数值计算的现状而言，如上所述，已经发展了许多方法。为适应电 磁装置和系统在高能量密度、高技术经济性能指标，以及新材料应用等方面日益 发展的需求，基于电磁场数值计算的计算机辅助分析( c a a ) 和计算机辅助设计 ( c a d ) 等定量分析的研究，已成为一系列工程电磁场问题分析的可靠依据，并 进而作出相应的工程判据、优化设计等。 1 - 3 本文的研究课题 本文工作以浙江大学电气工程学院电磁场应用研究所的研究项目：“交流可 控电抗器的应用原理与结构设计研究”为背景，环绕该新技术产品的关键技术 电感量的平滑调节，确立“交流可控电抗器磁场的数值分析与控制电路的设 计”研究课题，具体展开的研究工作如下： 一、设计并制作模拟交流可控电抗器； 二、基于有限元法，通过非线性离散数学模型的构造，计算模拟电抗器在各种 不同运行工况( 空载、副边调控的单绕组和多绕组工况) 下的磁场分布， 及其电感参数，从而通过计算机仿真研究对电抗器容量的可控调节给出分 析工程依据； 三、在模拟电抗器的计算机辅助分析中，以工程实际需要为前提，采用场一路 结合的方法，构造在电压源激励条件下有足够计算精度的非线性离散数学 模型： 四、对模拟电抗器迸行实测研究，并与计算机仿真结果相比较； 五、设计交流可控电抗器的控制电路，并对其工程应用的实际意义与前景，进 行了初步的探讨； 塑垩查兰堡圭兰垡兰茎 一 - _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ 一 第二章有限元法的基本原理 2 - 1 概述 有限单元的思想最早由c o u r a n t 于1 9 4 3 年提出。五十年代初期，由于工程 分析的需要，有限元法在复杂的航空结构分析中最先得到应用，而有限元法 ( f i n i n t e l e m e n t m e t h o d ) 这个名称则由c l o u g h 于1 9 6 0 年在其著作中首先提出。 1 9 6 5 年，w i n s l o w 首先将有限元法应用于电气工程问题，其后，1 9 6 9 年s i l v e s t e r 将有限元法推广应用于时谐电磁场问题。发展至今，对于电气工程领域，有限元 法已经成为各类电磁场、电磁波工程问题定量分析与优化设计的主导数值计算方 法。 传统的有限元法以变分原理为基础，首先，把所要求解的微分方程型数学模 型边值问题，转化为相应的变分问题，即泛函求极值问题；然后，利用剖分 插值，离散化变分问题为普通多元函数的极值问题，即最终归结为求解多元的代 数方程组问题，解之便得待求边值问题的数值解。可以看出，有限元法的核心在 于剖分插值，它是将所研究的连续场域分割为有限个单元，然后用比较简单的插 值函数来表示每个单元的解，但是，它并不要求每个单元的试探解都满足边界条 件，而是在全部单元总体合成后再引入边界条件。这样，就有可能对于内部和边 界上的单元采用同样的插值函数，使方法构造极大地得到简化。此外，由于变分 原理的应用，使第二、三类及不同媒质分界面上的边界条件作为自然边界条件在 总体合成时隐含地得到满足。也就是说，自然边界条件将被包含在泛函达到极值 的要求之中，不必单独列出，而唯一需考虑的仅是强制边界条件( 第一类边界条 件) 的处理，这就进一步简化了方法的构造。有限元法的主要特点可概括如下： ( 1 ) 离散化过程保持了明显的物理意义。这是因为，变分原理描述了支配物理 现象的物理学中的最小作用原理。所以，基于问题固有的物理特性而予以离散化 处理，列出计算公式，即可保证方法的正确性、数值解的存在与稳定性等前提要 素。 浙江大学硕士学位论文 ( 2 ) 优异的解题能力。与其他数值计算方法相比较，有限元法在适应场域边界 几何形状以及媒质物理性质变异情况复杂的问题求解上，有突出的优点。换句话 说，方法应用不受上述二个方面复杂程度的限制，而且如前所述，不同媒质分界 面上的边界条件自动满足，第二、三类边界条件不必单独处理。另外，离散点配 置比较随意，并且取决于有限单元剖分密度和单元插值函数的选取，可以获得令 人满意的数值计算精度。 ( 3 ) 可方便地编写通用计算程序，使之构成模块化的子程序集合，以适应各种 不同类型物理场计算和分析功能延拓的需要，从而构成各种高效能的计算软件 包。 ( 4 ) 从数学理论意义上讲，有限元法作为应用数学的一个重要分支，很少有其 他方法应用得这样广泛。它使微分方程的解法与理论面目一新，推动了泛函分析 与计算方法的发展。 总之，有限元法在众多的数值计算方法中已经确立其主导地位，它的发展与 应用前景令人瞩目。 2 - 2 变分原理的应用基础 有限元法是以变分原理为基础的一种数值计算方法。变分问题的经典解法可 归结为两大类。一类称为直接解法，即直接研究所提出的变分问题，其共同思想 在于把极值问题近似地转化为一般多元函数的极值问题，用有穷维予空间的函数 去逼近无穷维空间中的极值函数，从而近似地求得泛函的极值。例如瑞利一里兹 法、康脱洛维奇法、迦辽金法等；另一类称为间接解法，即把变分问题转化为偏 微分方程( 所谓尤拉方程) 的定解问题( 边值问题) 来求解。 有限元法解题的第一步与传统的变分法一样，首先把待求的边值问题转化为 等价的变分问题，然后通过有限单元剖分的离散化处理，构造一个分片解析的有 限元子空间，把变分问题近似地转化为有限元子空间中的多元函数极值问题，由 此直接探求变分问题的近似解( 极值函数解) ，以此作为所求边值问题的近似解， 这就是有限元法的变分原理。 浙江大学硕士学位论文 从有限元法构造的需要出发，本文首先研究如下式( 2 - - 1 ) 所示的最简形式 的泛函，导出变分问题的解答( 极值函数) 所必须满足的必要条件尤拉方程。 ，【j ，】= rf ( x ，y ，y ) d x ( 2 - i ) 式中，f 为单个自变j x 、单个函数y ( x ) 及其导数y ( x ) 的己知函数。泛函j y 的 自变量不是一般的自变量，而是一个或几个函数所定义的函数族，例如y ( x ) 等。 设想函数y ( x ) 稍有变动，记作y + 砂( 这里咖称为函数y ( x ) 的变分，它反 映了整个函数的变化量) ，这样，泛函j y 的值也随之变化，其相应于函数变分砂 的泛函增量为： ，= j y + 咖卜j y ：r 【舷y + 旁，y ，+ 5 y ，) 一盹) 协 2 - 2 设函数f 充分光滑，则由多元函数的泰勒公式可将式( 2 - 2 ) 展成： u = 脚茜咖+ 可o f 刎+ 去e 等2 + z 翥删芬c 硼，出 ：6 。7 + 6 2 。i + 5 3 j + 占j ( 2 3 ) 式( 2 3 ) 中，作为泛函增量，的线性主部( 泛函的一次变分彤) ： 肌e 1 【誓$ + 可o f 胡出 ( 2 _ 4 ) 令变分问题的解为 y = y ( 曲 ( 2 - 5 ) 同样设想函数y 从极值解 式( 2 5 ) 稍稍变动到y + 旁，并把变分砂改记为s 玎( x ) ， 其中占是一个任意给定的微量实参数，叩( x ) 是定义在区间i x ，x 2 上且满足齐次边 晃条件，即有7 7 ( _ ) = r ( x ：) ；0 的任意选定的可微函数。这样，泛函以y + 研】= e ( e ) 成为参数s 的函数，且当s = 0 时泛函即获极值函数的解。 根据微积分学可知，函数妒( ) 在s = 0 时取得极值的必要条件是： 妒( s ) b = 伊( 0 ) = 0 ( 2 6 ) 翌翌奎兰竺圭兰竺兰圣 _ 一 一 由于 妒( s ) = e f x ，y ( x ，占) ，y ( x ，占) 】出 因此 认加e 1 熹耶以圳( 洲去m + 嘉m ，贴一，八础) 丢八v ) ) 出 其中，杀y ( w ) = 杀【y ( x ) + 吲瑚= ，7 ( 班昙y 协，s ) = 杀( x ) 们 = r f 0 6 ( 班 o so s u 6 故可得， 妒( s ) l 2e 2 k _ y ( t ) ，y ( 五占) 】叩( x ) + b r k y ( 置占) ，y ( 五占) 】q 7 工地= 。出( 2 7 ) = e 2 眠【x ，y ( z ) ，_ y ( 工) 切( x ) + ， x ，y ( x ) ，y ( x ) m x ) 油 简写为， 删= 2 【等叮+ 争体 沼s ) 将式( 2 8 ) 与式( 2 - - 4 ) 相比较，可见，只相差一个数值因子5 ，所以极值函 数解式( 2 5 ) 1 必须满足的必要条件【式( 2 6 ) 】等同于如下的变分方程： 彭= 妒( o ) = 0即r i o f 旁+ 等砂，】出：o ( 2 9 ) o o 】c v0 v 式( 2 9 ) 的积分号内既有砂，义有4 v 。士兕利用分鄙积分，且很借父万勺傲万 顺序可以互换的原理，得： 彤= e 2 等舳+ r 1 万o f 忑d ( 舭 = 2 爹驰+ ( 爹印) 它一2 丢( 等) 驰 = 2 陟丢( 爹 卜( 剽2 沼t 。， 诵常存蛮分问颢中蛮分励存端点保持为零，即有 彦】= 0 ，咖i 。：= 0 浙江大学硕士学位论文 于是，必要条件 式( 2 一l o ) 】成为： ( 2 惨丢澎 卜= 。 协 由于式( 2 - - 1 1 ) 对任意的毋都成立，所以极值函数必然满足以下微分方程： 笪一旦f o f1 - 0 ( 2 1 2 ) 砂d x i 砂j 方程( 2 - - 1 2 ) 即是泛函( 2 - - 1 ) 极值问题所对应的泛定方程，称之为尤拉方程， 解之即得其极值函数解y ( x ) 。 依照上述方法，可以继续导出各类泛函极值所对应的必要条件尤拉方 程。 2 - 3 有限元法的实施 基于上节所述的应用于有限元法的变分原理基础，通常有限元法的实施步骤是： ( 1 ) 给出与待求边值问题相应的泛函及其等价变分问题； ( 2 ) 应用有限单元剖分场域，并选取相应的插值函数； ( 3 ) 把变分问题离散化为一个多元函数的极值问题，导出一组联立的代数方 程，即有限元方程； ( 4 ) 选择恰当的代数解法，解有限元方程，即得待求边值问题的近似解( 数值 解) 。 2 3 - l 能量泛函及其等价变分问题的构造 变分原理的应用实质上是对物理问题规律性的一种重新描述，对此，费曼教 授在他的讲演中从最小作用原理出发作了生动的阐述 4 1 。对于电、磁场边值问题 来说，静电学中的汤姆逊定理即是描述静电现象的“最小作用原理”。该定理指 出：处于介质中一个固定的带电导体系统，其表面上电荷的分布，应使合成的静 塑兰查兰堡圭堂堡丝苎一 _ - 一一 电场具有最小的静电能量。因此，任一个由n 个带电导体构成的二维静电场问题 的规律性可通过能量积分表述为： 睨= 船业2 ) 出= 垢i v 卯出 = 压例 妫 =min(2-13a) 其中，在各带电导体上给定的电位，即描述了所论静电场问题的定解条件，表达 为： 妒i l = “，( r d ( f = 1 ，2 ，月) ( 2 1 3 b ) 式( 2 - - 1 3 a ) 所示的能量积分即是类取决于二元电位函数p ( x ，_ y ) 分布的泛 函。因而，根据汤姆逊定理，二维静电场的规律性也就可以归结为下述变分问题： 砌卜胪b 吣川，警，警b dl 一7j = 驻例k r n i n 1 妒1 ，= 虬( ) ( i = 1 ，2 ，一，n ) 嚣一昙( 舞) 一号 。：州， ：鸳+ 鸳：0 苏2却2 因此，式( 2 1 5 ) 和式( 2 1 4 b ) 一起就构成与条件变分问题 式( 2 1 4 a ) 、式( 2 1 4 6 ) 】等价的所论静电场的第一类边值问题。 同样，通过尤拉方程，可知与下述变分问题： 扣俳+ 斜- - 十蜘m i n i p 。= ，( ) ( f 2 i ，2 ，。， ) ( 2 1 6 a ) ( 2 一1 6 b ) 浙江大学硕士学位论文 ( z ，y ) e d ( f = 1 ，2 ，n ) f 2 1 7 b ) 即为泊松方程的第一类边值问题。如果给定的是第二类或第三类边值问题，则由 变分原理可以证明与下列第三类边值问题： a 2 苏2 睇 等价的变分问题为 ( x ，y ) d 砌啡例h 融沪 + i 占( 兰z 妒2 一以妒) 胡= m i n 由此可知，第二或第三类边界条件在变分问题中被包含在泛函达到极值的要 求之中，不必单独列出。此外，还可以证明场域内不同媒质分界面上的边界条件 也包含在泛函达到极值的要求之中，且系自动满足，不必另行处理。 2 3 2 有限单元的剖分与插值 在设定有限单元为三角剖分、线性插值的基础上，即可以进行变分问题的离 散化处理，形成有限元方程。现以二维拉普拉斯场的第一类边值问题所对应的变 分问题( 2 1 4 a ) 、( 2 - 1 4 b ) 为例，说明变分问题离散化的过程。 根据三角剖分，二次能量泛函【式( 2 1 4 口) 】可表达为遍及所有三角单元e 的 能量积分的总和，即 勺 以纠= 以m ( 2 2 0 ) # l l 式中，e 。为剖分单元的总数：以 9 】表示三角元e 所对应的能量积分，即 以小“杯蚪2 例卜 沪 p 一占 1 1 )壹矿吡 + = 生铲叱 p 一占 = 一l，、k 一一u 垡矿讹 + + 其中，9 c ( x ，y ) 为在各个三角元p 内分别给定的对于x 、y 呈线性变化的插值函数， 即妒。( x ，y ) = + 口2 工+ 吒y ，口l 、口2 、为待定系数。根据三角元8 的三顶角节 点的待定函数值( 分别记为仍、妒，和) 与节点坐标 分别为( z ，儿) 、( x ，儿) 和 ( x 。，y 。) 可得待定系数的值为： d l = ( 口，妒，+ 口，妒j + a m 妒。) 口2 = ( b d o ，+ b p j + b m 妒。) 1 口3 = ( c d a ，+ c j 妒j + c m 妒。) 式中口，= x y 。一x m y ，b ，= y 一y 。，c ，= x 。一工j ，而d ，b j ，c ，d 。，b ，c 。 各系数可按i ，j ，m 指标顺序置换可得。 2 3 3 变分问题的离散化与有限元方程 因为等= ( 以仍+ 6 ，妒，+ 6 卅) 2 ，= 圭( 6 一一屯c ，) 为三角元的面积，所 驯等j 蚴。私 咿- 吨2 和，黪喇 式( 2 2 2 ) 中 6 ，6 b , b 。 b j b ，b j b 。l b m b b m b 。j 同理可得式( 2 2 1 ) 中的第二项为： 舻却，e c ：呦， 咻 p。l 三蛆 = l k 浙江大学硕士学位论文 式( 2 - 2 3 ) 中 e 卜q 【吃】r = - 4 。- d j 勺c ， l c m c 。 因此，三角元e 的能量泛函即被离散化为 ，。 声 = 弘1 ) 取) 。+ 弘1 ) ；吲。帆( 2 2 4 ) = = 1 讲； 网。 p ) 。 k ：k ；世二 引2 _ 2 4 肿“豳f 叫蜀l 州局l 2 峨乏芝j q _ 2 5 这一三阶方阵 豳。是单元电场能的离散矩阵，又可称为单元电场能系数矩阵，是 一个对称矩阵，其元素的一般表达式为 联= 髟= - g - “五( b ，b s + c ，c s ) ( r ，j = f ，m ) 总体的能量积分是单元能量积分之总和，所以在把劬 。扩充为如 ( 如j 为由 全部个节点电位值按节点编号顺序排成的一个阶列阵) ；把医】。扩充为 医】咖，。( 其内除原k 】。9 个元素外，其余均为零元素) 后，经总体合成处理， 最终可得 以妒】z ，纠2 吉鼢7 旧( 2 2 6 ) 式( 2 - - 2 6 ) 中，【k 】称为总电场能系数矩阵，其元素的一般表达式为 e 0 k 。= k ； g 。i 为总节点数。由式( 2 2 6 ) 可见，变分问题( 2 1 4 a ) 被离散化为如下的多 元二次函数的极值问题 ， 妒 “，( 妒，妒：，一，吼。) = 伊) 7 k 】 妒) = i i 厶一”k f 竹竹= m i n ( 2 2 7 ) 1，j q 0 c j c ，c j q 0 浙江大学硕士学位论文 根据函数极值理论，应有兰：o ( f _ 1 ，2 ，) ，故由式( 2 2 7 ) 得 d 口 ( f - 1 ，2 ，n o ) ( 2 2 8 ) 表示为矩阵形式 捌( 讲= 0( 2 - - 2 9 ) 最终获得了所要求解的多元线性代数方程组，即所谓有限元方程。 在得出有限元方程之后，可以选择恰当的代数解法求解。但对于条件变分问 题，由于强加边界条件意味着位于边界上的各个节点电位值是被给定的，它们无 需通过有限元方程求解，相反地，正是在给定这些边界节点电位值的基础上去推 求其余各个节点的电位值。因此，在解有限元方程前，还必须进行强加边界条件 的处理。 第三章非线性磁场中的有限元法 3 - 1 非线性边值问题的等价变分问题 基于工程电、磁场问题分析的需要，在铁磁物质得到广泛应用的各类电磁设 备、装置中，由于铁磁物质的磁饱和效应，其磁导率不是常数而是磁感应强度 b 的函数，故这类工程问题的磁场、损耗分析，以及有关电磁参数的计算均与铁 磁物质的非线性特性有着密切的联系，也就是说，必须在计及媒质非线性特征的 前提下，才能得出可靠的分析结果。在分析非线性恒定磁场时，一般引入如下假 设： ( 1 ) 忽略铁磁物质的磁滞效应。 ( 2 ) 铁磁物质为各向同性。 工程实际中，非线性磁场的场域空间通常是由多种媒质所组成。为阐述简便 起见，考虑如图( 3 - - 1 ) 所示由两种媒质“、：和其分界线c 构成的二维非线 性磁场问题。 i s f 图( 3 1 ) 多种媒质场域的示意图 以向量磁位j = a ，f = 彳f 为待求场函数，则所论二维( 呈平行平面场特征) 非线性磁场的数学模型可描述为如下的边值问题 浙江大学硕士学位论文 去( 去卦矶a ( 1a 矿a 、1 吐缸i 缸砂l 勿 a 】= a 一1 塑：一1 丝 i o n 2 o n 爿l ，= 常数 1 翩l i 丽r 9 在( s 一、s + ) 域内 在分界线c 上 在分界线c 上 ( 3 一1 ) 在边界线z 上 在边界线l 上 在第二章关于有限元法基本原理讨论的基础上，现在来论证式( 3 1 ) 所述 非线性边值问题的等价变分问题应是 刖，= l ( r 去叫蚴一l 彬出砂 一f ：q a d l = m i “ ( 3 _ 2 ) a i ，= 常数 如图( 3 1 ) 所示，设不同媒质的分界线c 把场域s 分割成两个部分s 一和s + 且在分界线c 上规定从s 一指向s + 的方向为法线n 的正方向。 就场域s = s 一+ s + 来说，在媒质分界面的两侧，向量磁位函数一虽然连续 但因在分界线f 上场量的不连续性，该场函数a 的一阶导数不再连续。设对于非 线性能量泛函j ( a ) 中的向量磁位函数a ( x ，y ) ，给以增量，即变分5 , 4 = 5 a ( x ，y ) ， 且引入一个参数a ，则可构造一个含有参数口的函数族，即有 a ( x ，y ，口) = a ( x ，y ) + a r i a 。由拉格朗日的泛函变分定义可知，对应于变分翻的泛 函i ，的变分彤为 i l l = 导j o c t 缸小刮。 l 一 令式( 3 3 ) 为零，可求得极值解，即如同前述，得变分方程为 5 i = 0 因此，经推导、整理可得 ( 3 3 ) ( 3 4 ) 浙江大学硕士学位论文 甜= 一上+ 。降仁罢 + 号b 詈 + 以p 出咖 + 如甜即一c + 1a a 2 + 掣 + f ，b 筹一。p ( 3 - - 5 ) 由边值问题( 3 - - 1 ) 可知，在分界线c 上应有矾= 翻：及土孚= 上娑，故式 x 册“d 竹 ( 3 5 ) 即为 彤= 一l + 。 昙( 吉罢 + 面a 。la 砂a ， + 以p 出咖 + f ：( 去等一a 肛= 。 c s 刊 丢( 去罢 + 导仁雾 = 一以 和 1 础 一_ 2 9 o n 在( s 一、s + ) 域内 在边界线，上 因此，当媒质磁导率x 不连续时，对于二维非线性场，如式( 3 - - 2 ) 所示的 条件变分问题等价于式( 3 1 ) 所示的边值问题。在推导中不难看出，第二类边 界条件以及不同媒质分界面处的边界条件在变分问题中无须单独列出，它们均被 包含在泛函求极值的过程之中，即被极值解自动满足，毋需作为强加条件单独列 出。 浙江大学硕士学位论文 3 - 2 非线性磁场的有限元方程 基于上述讨论，可见，对应于实际i 程问题的非线性磁场，在齐次第二类边 界条件下，其非线性能量泛函可构造为 刖，= 小扣加) 肌删( 3 - - 7 ) 式中v 表示所研究的场域。 现首先从轴对称非线性场着手阐述有限元法的具体应用。在应用变分原理的 基础上，当把所要求解的边值问题转化为相应的变分问题后，应用有限元法分析 的下一步骤是连续场域的离散化与插值函数的选择。在一轴对称( r ，z ) 平面内， 选用三角剖分及三节点的形状函数，这样，同前理，在任一三角元e 内的向量磁 位爿可近似表示成 彳。p ，z ) = 口l 十a 2 ，+ 口3 z = w ， 爿) 。 ( 3 8 ) 式中形状函数；( z ，y ) 2 去- ，+ 6 s r + c s z ) ( j = f ，j ，聊) 三角元e 中的磁感应强度的两个分量分别为 耻罢z 一去+ c j 妒叫。) 。- 9 和 驴等+ 詈z 土r + 巧4 城以) + 去( 6 ，4 + 1 4 ，+ k 4 。)( 3 1 0 ) 在剖分插值的基础上，即可实现变分问题的离散化，导出有限元方程。经离 散化( 设三角元总数为e 。，节点总数为n ) 处理后，整个场域内能量泛函j 口) 可 表示为遍及整个场域的各个三角元e 的能量泛函j 。( 4 ) 的总和，即 i ，( 彳) 。j ( j ) ：e o 以( 爿。) ( 3 - - 1 1 ) 2 2 浙江大学硕士学位论文 式( 3 1 1 ) 表明，总能量泛函j ( a 1 可记为以离散点上位函数a 为变量的多元二 次函数，即 j ( a ) zj ( a l ，a 2 ，一，a ) 从而变分问题题即被离散化为一多元二次函数的极值问题 j ( 彳) ，( 4 i ，a 2 ，一，a n ) = m i n ( 3 1 2 ) 根据函数的极值理论，上式等价于方程组 百0 j ；艺筹：o ( 川，2 ，) 朗。鲁弘 、 一。 酱= 新1 1 i 、( - ap 占拈 署- 署 砒 砌f 、( 旦o b _ 蔷肛 c s 峭， 勘啪( 耳鲁坦鲁 - 圳0 a r 抛”_ ，忉 显然，在式( 3 - - 1 3 ) 中唯有当i 是给定三角元中的一个顶点时，才不为 o a 零，因此式( 3 - - 1 3 ) 为关于其三个顶点a 值的一个关系式。将式( 3 - - 9 ) 、( 3 - - 1 0 ) 代入式( 3 - - 1 3 ) ，并设三角元内的i z = 以，且当其中有电流密度存在时，则 令l ，。= ，。为一常数，否则，。= 0 。另外由于i s , r d r d z z r 。( r o n = f 目x z m - 心的r 方向坐标) ，故经运算、整理，便得 乳= 钟掣j + 躺) 叫( 3 - - 1 4 ) 可以指出，因在三角元中为常数，故式( 3 1 4 ) 的运算与线性场中单元系数 矩阵元素的计算类似，可得元素足：的一般表达式为 k ：“品2 筹 去( 6 r b s + c ，c , ) + 吉( 6 ，地) + 万a s = i ，j ，m ) ( 3 - - 1 5 ) 浙江大学硕士学位论文 式中b ，、c ，、b j 、c ，、b 。、c ，关系式同前( 仅需将前坐标x 、y 对应地代之以，、 2 ) ；而，方向的重心坐标为 。：；+ o 岷) 3 1 6 ) j 列阵沪 。元素的一般表示式为 只r ：_ 2 r , a jr c ( 1 - - - f ，_ ，m ) ( 3 1 7 ) j 将矩阵k 】。、扛 。与p ) 。扩展，即有 k = p ) 式( 3 1 8 ) 中系数矩阵k 的元素为 ( 3 1 8 ) e k = k ； ( f ，= 1 2 一，) ( 3 1 9 ) c = 1 而列阵p 的元素为 q 只= 只。 ( f = 1 2 一，) p ；】 ( 3 2 0 ) 由于式( 3 1 9 ) 中系数矩阵的元素k 。不仅取决于每个三角元的形状和大小，而 且还取决于与待求向量磁位a 有关的磁导率，所以对应于非线性磁场问题的变 分问题经离散化处理后，得出了一组非线性代数方程组【式( 3 1 8 ) j ，也就是说， 非线性的连续场问题最终被归结为非线性的离散数学模型非线性代数方程 组( 即有限元方程) 的求解问题。 同理，对于二维场( 平行平面场) ，因为在二维场中每一三角元t t 。也为常数， 所h a - - 维非线性场中的单元系数矩阵同理可得，其结果与二维线性场类似，即 联= 畦= 去( 6 , b s + c r c ，) ( ，例 肌)( 3 吲) 二维非线性磁场中的有限元方程在形式上和式( 3 1 8 ) 完全相同。其中与 激励电流密度相关的列阵护) 。的元素为 一一一 塑兰查兰堡主兰竺