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代数结构同态的方法及应用摘要本文简要介绍了群论的相关概念，其中主要介绍了群的概念、子群的概念、和不变子群的概念以及子群的判别方法和不变子群的判别方法。重点介绍了群同态概念、群同态的基本定理以及群同态基本定理的运用。利用子群、不变子群以及群同态基本定理推出一系列与同态基本定理相关定理。是同态基本定理的延伸和运用，对群论和群同态的后续研究起到了非常重要的作用。最后通过一系列典型例子进一步讨论了群同态基本定理的运用。关键字： 群；子群；不变子群；群同态Algebraic structure and its application with the stateAbstractThis paper introduces the concepts of group theory which introduces the group concept, the concept of subgroups, and the concept of invariant subgroups and sub-group discrimination method and the same sub-group discrimination method. Focuses on the concept of group homomorphisms, groups, and the fundamental theorem of homomorphisms of the fundamental group of the application. Use of subgroups, invariant subgroup, and the fundamental theorem of groups launched a series of correlation of the fundamental theorems. Is the fundamental theorem of the extension and application of group theory and group follow-up study with the state played a very important role. Finally, a typical example of a group to further discuss the application of the fundamental.Keywords： group; subgroup; invariant subgroup; group homomorphism目 录第一章 绪论41.1引言4第二章 群论的基本概念52.1群的概念52.2子群、不变子群的判别方法72.3同态的概念及基本定理8第三章同态基本定理的运用93.1同态的相关定理93.2 同态同态基本定理的运用13结 论19致 谢20参 考 文 献21附录X 译文22附录Y 外文原文25第一章 绪论1.1引言代数结构主要有群、环、域、模等。这些概念大多都是在十九世纪产生的，如群的概念是19世纪30年代由法国青年数学家Galois首先提出的，他在解决用根式求解五次方程时发现了群。他不仅彻底地解决了一元n次方程用根式求解是否可能的问题，而且也使人们认识到除了数集外，在其他集合上也可能存在着代数结构，即满足一定规则的运算，而这种代数结构正是群论。群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。群的同态与同构都是研究群与群之间关系的重要手段。同构映射是群之间保持运算的映射，存在同构映射的两个群可以看成同一个群，因为它们有相同的群结构。代数中最基本与最重要的课题就是搞清楚各种代数体系在同构意义下的分类。而同态映射只要求保持运算，显然它比同构映射更灵活，它能研究两个不同构的群之间的联系。特别重要的是几个同态定理，如同态基本定理告诉我们，两个群在满同态的条件下蕴含着一个群同构（G1/kerfG2）！在处理一些同构问题时，我们也常常反过用这个定理，也就是说先构造出满同态。保持运算的映射既然能研究两个代数体系之间的一些关系，那么对于复杂一些的代数体系我们就可以用一些简单的去研究它们。第二章 群论的基本概念2.1群的概念定义一：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算，如果满足以下条件：1 .结合律成立，即对G中任意元素a,b,c都有 (ab)c=a(bc)；2 .G中有元素e，叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有 ea=a；3 .对G中每个元素a在G中都有元素啊a，叫做a的左逆元，使aa=e；则称G对代数运算做成一个群。定义二： 一个有单位元的半群（G ）叫做一个群，如果G的每个元皆为正则元。 定义三：如果一个半群（G ）有一个左单位元e使ea=a,存在并且，对每一有左逆元，则是一个群定义四：如果（G ）是一个半群，若对于G中任意a，b，方程ax=b,ya=b在G中都有解，则G是一个群定义五：一个不空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如1G对于这个乘法来说是封闭的；2结合律成立：a(bc)=(ab)c对于的任意三个元a,b,c都对；3. 对于的G任意两个元来说a,b，方程ax=b和ya=b都在G里面有解定义六：一个不空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如1G对于这个惩罚来说是封闭的；2结合律成立：a(bc)=(ab)c对于的任意三个元a,b,c都对；3G里至少存在一个左单位元e，能让ea=e对于的G任何元a都成立；4对于G的每个元a，在G里至少存在一个左逆元a，能让aa=e注：群的定义是多种的，需要根据具体情况而定选择哪一种定义方式，例如验证非空集合关于一个乘法运算是否作成群，一般必须检验乘法的封闭性、结合律、单位元的存在以及逆元的存在。2.2子群、不变子群的判别方法一、子群的概念：一个群G的一个子集H叫做的一个子群，假如H对于G的乘法来说做成一个群。二、子群的判别方法定理一：一个群G的一个不空子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是： 1a,bHabH2. aH aH定理二：一个群G的一个不空子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是：3. a,bH abH定理三：一个群G的一个不空子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是：a,bH abH三、不变子群的定义：一个群G的一个子群N叫做一个不变子群，假如对于G的每一个元a来说都有Na=aN一个不变子群N的一个左（或右）陪集叫做N的一个陪集。四、不变子群的判别方法定理一：一个群G的一个子群N是一个不变子群的充分而且必要条件是：aNa=N对于G的任意一个元a都对。定理二：一个群G的一个不空子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是：aG,nN aN2.3同态的概念及基本定理一、同态的概念： 设，是两个群，到的一个映射f是到的一个同态映射，如果对于任意的a,b，均有f(ab)=f（a）f(b)。注：（1）若到的同态映射f是到的满射，则说f是到的满同态，记为，这是称为在f（作用）下的同态象。 （2）若到的同态映射f是到的单射，则说f是到的单一同态。 （3） f既是到的满同态又是到的单一同态，则说f是到的同构映射，记为。二、同态的基本定理：设是一个群，则的一个商群/N与同态；反之，若和是两个群，并且和同态，那么这个同态满射的核N是的一个不变子群，并且/N。注：定理前一部分告诉我们，一个群和它的每一个商群同态；定理后面部分告诉我们，抽象的来看，只能和它的商群同态，所以我们可以说定理后面部分是定理前一部分的反面。我们知道，当群和同态的时候，的性质并不同的完全一样，但定理后面部分告诉我们，这时我们一定找得到的一个不变子群N，使得的性质和商群/N的完全一样。从这里我们可以看出不变子群和商群的重要意义。第三章同态基本定理的运用3.1同态的相关定理定理一（同态的基本定理）：设是一个群，则的一个商群/N与同态；反之，若和是两个群，并且和同态，那么这个同态满射的核N是的一个不变子群，并且/N。证明： (1) 我们规定一个法则 ()这显然是到/N的一个满射，对于的任意两个元和b来说，b= () () 所以它是一个同态映射。 (2) 我们用f来表示给的同态满射，假定和是的任意两个元，那么在f之下，因此， =这就是说， ，是的一个子群，假定,，而且在f之下，那么在f之下 ，n=这就是说， ,n是的一个子群。现在规定一个法则g: = g() ()我们说，这是一个/N与间同构映射。因为： （1）= =这就是说，在g之下/N的一个元素只有一个唯一的象；（2）给了的一个任意元，在里至少有一个元满足条件g(a)=由g的定义给的这就是说，g是/N到的满射。 （3） （4）在g之下，= 这样 /N 定理二：若和是两个群，并且和同态。那么在这个同态满射之下的 （1）的一个子群的象是的一个子群； （2）的一个不变子群的象是的一个不变子群。证明：我们用f来表示给定的同态满射（1）假定和是的任意两个元，并且在f之下， （）那么在f之下但由于是子群，因此由于是在f之下的象，。这样， 是的一个子群。（2）既是一个不变子群，由（1）知，我们知道是一个子群。假定是的任意元，是的任意元，而且在f之下， （）那么在f之下但由于是一个不变子群，n，因此由于是在f之下的象，。这样，是的一个不变子群，证完。定理三：若和是两个群，并且和同态。那么在这个同态满射之下的（1）的一个子群的逆象是的一个子群；（2）的一个不变子群的逆象是的一个不变子群。证明：我们用f来表示给定的同态满射（1）假定和是的任意两个元，并且在f之下，那么由于是的逆象，因而，但在f之下所以。这样，是的一个子群。（2）既是一个不变子群，由（1）知，我们知道是一个子群。假定是的任意元，是的任意元，而且在f之下，那么，因而由于是不变子群，但在f之下所以。这样，是的一个不变子群。证完。 （张79）注：这样，一个群的一个子集是否一个子群以及是否一个不变子群这两个性质，在一个同态满射之下是不变的。定理四：设是一个群，是的子群，是的不变子群，则是的不变子群，且/()同构于/。证明：显然，是的不变子群，令f: /,f: ,容易验证f是满的群同态映射。看f的核，若，则f()=,即 Ker(f)。反之，若 Ker(f)，=，则。故知Ker(f)= 。由同态基本定理推出，/()同构于/。3.2 同态同态基本定理的运用典型例题例1 证明：单群的同态象是单群或单位元群（即只含有一个元素的群）。证明： 设是单群，是的同态象，是同态核，则由群同态基本定理可知是的一个不变子群；又是单射，故=或=e。若=，e=/，即为单位元群；若=e，=/e，即为单群。例2 设和分别是阶数为m,n的循环群，当且仅当nm, 和同态。证明： 设f是到的同态映射群同态基本定理可知：/Kerf。由于的阶数为，故/Kerf的阶数也是。即含有子群/Kerf，:Kerf=n,但:1= :Kerf Kerf ：1，故m=nKerf ：1 nm。反之，设nm，=(a) , =(b),命f:则f是到的映射。因为，即对于中的每一个元，不论其表法如何，在f下确有唯一的象，故f是到的映射。任取，则f(,故f是到的满射。易见f是到的同态映射。例3 证明：（1）无限循环群与任何循环群同态；（2）两个有限循环群与同态，当且仅当。证明：（1）设=为无限循环群，=为任一循环群，则=，故=，当且仅当。定义： f： 其中，均为整数。则当=时，有f()=f()，即f是到的映射。又由=可知f是满射且f()f()=f（）即f保持运算，故。（2）设，=m，=n。则由同态基本定理知/，其中为到的同态满射的核。因此/=，又/=（ ：）从而由Lagrange定理知nm，即。反之，若，nm，则m=nt，由于为循环群，故有t阶子群。显见为交换群，从而其子群为正规子群。又/为n阶循环群及为n阶循环群,故有f：/又存在到的自然同态g：/，令h=fg,则h：。例4设f是到的满同态，是的一个不变子群，=f()= ，f()，则是的一个不变子群，并且/。解：由同态基本定理知，g是到/的满同态，g是自然同态， 又f是到的满同态，故gf=h是到/的满同态， Kerh=，h()。如果能证明Kerh= f()，则由同态基本定理，问题获证。下面我们来证明这个事实。对于中的任意元素，h()=（gf）()=g（f()）= f()。设 f()，则f()f()=h()=。即 Kerh，亦即f()Kerh。反之，设 Kerh，则h()=f()=f() f()，即f()Kerh，从而Kerh= f()，即=Kerh是的不变子群，且h是/到/的满同态.例5 设f是到的满同态，分别是，的不变子群，且f()，g是到/的满同态，h是到/的满同态，则存在/到/的满同态j，使得hf=jg,换言之，由到/的同态映射可以经过不同的途径。（吴99 11）证明：命j： f()，则j为/到/的映射，并且j是/到/的满同态。对任意，我们由(hf)()=h(f()=f(),(jg)()=j(g()=j()=f()(hf)()= (jg)(), hf= jg当f()=时，是否有j是/到/的同构映射？设f是到的满同态，我们研究的子群与的子群之间的关系。我们已经知道，若是的子群，则f()是的子群。，是的不同子群，是否有f()与f()是的不同子群？这个命题一般不成立。例如，f:是=（，+）到=()(的周期为6)的满同态。=（，+）有无限多个子群，因任取整数，就有一个以为生成元的子群，=()，并且，若，则子群=(),即有无限多个子群，而=(),的周期为6, 只有四个子群,.但，从而存在的不同子群，使f()=f()。事实上，取=(4), =(10), 这是的两个不同的子群，而f()=,，f()=,。我们注意到Kerf=K=(6),而的含有的子群恰好有四个，即(2),(3),(6),。对于的两个含有的子群,来说，当时，有f()f()。这个事实一般也成立。例6 设G为群，f()=为G上单同态，其中n2且为自然数，则g()=。为G上同态映射。进一步地，若g()=为G上单映射或满映射时，则G为交换群。证明：G，由于f()=为G上同态映射，故有。即， 而f()=为群G上单映射，因此有= (1)即=，这就是说G中任一元素的n1次幂都可与另外元素交换。又由于f()=为G上同态映射，故有()=，从而有()= (2)即g()=g()g()。因此，(2)及，的任意性知g()=为G上同态映射。当g()=为G上单同态映射时，由(1)我们易得=()又由于g()=为G上单映射，故=，从而=，因此G是交换群。 当g()=为G上满同态映射时，G，G，使=，而G中任一元素的n1次幂都可与另外元素交换，故。因此G是交换群。结论综上所述，只有在准确理解群的概念、子群的概念、和不变子群的概念以及子群的判别方法和不变子群的判别方法基础上，我们才能更好的研究群同态概念以及群同态的基本定理，并且运用群同态基本定理解决代数问题。这对于工程技术人员、高等理工科院校研究生、本科生是必不可少的数学基础知识，有着重要的学习意义和应用价值。致谢在此，我衷心地感谢教育培养过我的老师以给我帮助的同学，他们循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪。在这期间，我的指导老师乔老师始终给我耐心的指导，我还要感谢我的毕业设计指导老师乔占科老师，是他在我做整个毕业设计的过程中给了我很大的指导和帮助，我才能按时地完成此次毕业设计。经过这次毕业设计也使我学到了很多在课本上学不到的宝贵的东西。同时，我还要感谢帮助过我的那些同学，是他们宝贵的建议使我能顺利地完成论文的设计。最后，我也衷心地感谢各位评审本论文的专业老师们，感谢你们能够抽出宝贵的时间审阅本论文。参考文献1 吴品三.近世代数.北京:高等教育出版社,1979.2 杨子胥. 近世代数.北京：高等教育出版社，1999.3 姚暮生.抽象代数学.上海：复旦大学出版社,1997.4 聂昊沼.代数学引论：北京：高等教育出版社，2000.5 Jacobson N. Basic algebra(). W.H.Freeman and Company,1980.附录 X 译文2.5同态一个重要的问题是决定是否给定的两个群体 和 ，并以某种方式相同。例如，我们有调查，对所有置换的X =1,2,3的群体。所有的Y =的排列组是一组不同的排列组合，因为1,2,3是比排列不同的。但是，即使和不同，他们肯定承受彼此非常相似（见例2.23）。观念的同态与同构允许一个比较不同的群体，我们将会看到。Yg zhngyo de wnt sh judng shfu gi dng de ling g qnt, bng y mu zhng fngsh xingtng. Lr, wmen yu dioch, du suyu zhhun de X =(1,2,3) de qnt. Suyu de Y =() de pili z sh y z btng de pili zh, ynwi (1,2,3) sh b pili btng de (). Dnsh, jsh h btng, tmen kndng chngshu bc fichng xings (jin l 2.23). Gunnin de tng ti y tng gu ynx yg bjio btng de qnt, wmen jing hu kn do.提供更好的翻译建感谢您为 Google 翻译提供翻译建议。窗体顶端窗体底端定义 . 如果 和 是两个群，到的一个映射f是到的一个同态映射。如果f()=f()f()对于任意的,都成立。如果f也是一个双射, 则f称为同构映射。 设 和 是两个群, 如果存在一个同构映射f：，则称 和 同构，记为。例1, 设是所有实数对于普通加法作成的一个群, 是所有正实数对于普通乘法作成的一个群。设f: , 记为 f()=, 是一个双射 它的反函数是g()=ln。而且, f是一个同构映射, 如果, 则有 f(+)=f()f().因此, 加群与乘法群同构。 例2,我们说所有复数对于普通加法作成的加群与加群 同构见例2.12. 定义f: f: +(,).这很容易验证f是双射； 则说f是一个同态映射，因为f(+)=f(+)=(+,+)=(,)+(,) = f(+)+f(+).定义 . 设, 是一组没有重复元素的集合构成的群。 下面的乘法表 是一个 阶矩阵，其项是 . 我们说,当我们写一个乘法表的时候,首先列出单位元，那就是, =1。 在这个例子中, 第一行和表的第一列只是重复上面的元素，所以我们通常忽略他们。 考虑两个群的简单例子: 设 是1，-1对普通乘法构成的群, 设 是奇偶组成的群(例2.13)。 : 1 -1-1 1:even oddodd even显然群 和 是两个不同的群；同样他们之间不存在显着差异。同构的概念是这种想法规范化； 群 和 同构,设函数f: 定义为 f(1)=even 和 f(-1)=odd,是一个同构映射, 读者可以快速验证。有一阶群的许多乘法表，对每一个!的列表元素。 如果 , 是所有的没有重复的元素的列表， 如果f: 如果f：是一个双射， 则 f(),f(), f()是的所有的没有重复的元素的列表, 所以这后一份名单为确定一个适用于乘法表。那么f是一个同构说，如果我们叠加的乘法表 (取决于, )根据乘法表 (取决于f(),f(), f(),然后匹配表: 如果 是输入在给定的乘法表 , 则 f()f()=f() 是 输入后的乘法表.在这个意义上说，同构的群具有相同的乘法表。因此，同构的群基本相同，只是在为元素和符号的运算不同。附录 Y 外文原文2.5 HOMOMORPHISMSAn important problem is determining whether two given groups and are somehow the same. For example, we have investigated, the groups of all permutations of X =1,2,3. The groups of all the permutations of Y = is a group different from because permutations of 1,2,3 are different than permutations of . But even though and are different, they surely bear a strong resemblance to each other (see example 2.23). The notions of homomorphism and isomorphism allow one to compare different groups, as we shall see.Definition . If and are groups (we have displayed the operation in each), then a function f: is a homomorphism if f()=f()f()for all ,. If f is also s bijection, then f is called an isomorphism. Two groups and are called isomorphic, denoted by , if there exist an isomorphism f: between them.For example, let be the group of all real numbers with operation addition, and let be the group of all positive real numbers with operation multiplication. The function f: , defined by f()=, is a bijection its inverse function is g()=ln. Moreover, f is an isomorphism, for if , then f(+)=f()f().Therefore, the additive group is isomorphic to the multiplicative group . As a second example ,we claim that the additive group of complex Numbers is isomorphic to the additive group see example 2.12. define f: by f: +(,).It is easy to check that f is a bijection; f is a homomorphism because f(+)=f(+)=(+,+)=(,)+(,)= f(+)+f(+).Definition . Let , be a list with no repetitions of all the elements of a group . A multiplication table for is an matrix whose entry is . Let us agree,when writing a multiplication table,that the identity element is listed first; that is, =1. In this case,the first row and first column of the table merely repeat the listing above, and so we usually omit them. Consider two almost trivial examples of groups: let denote the multiplicative group 1，-1, and let denote the parity group(example2.13) : 1 -1-1 1:even oddodd evenIt is clear that and are distinct groups；it is equally clear that there is no significant difference between them. The notion of isomorphism for malizes this idea; and are isomorphic, for the function f: defined by f(1)=even and f(-1)=odd, is an isomorphism,as the reader can quickly check.There are many multiplication tables for a group of order , one for each of the ! list of its elements. If , is a list of all the elements of with no repetitions, and if f: is a bijection, then f(),f(), f() is a list of all the elements of with no repetitions, and so this latter list determines a multiplication table for . That f is an isomorphism says that if we superimpose the multiplication table for (determined by , ) upon the multiplication table for (determined by f(),f(), f(), then the tables match: if is the entry in the given multiplication table of , then f()f()=f() is the entry of the multiplication table of . In this sense, isomorphic groups have the same multiplication table. Thus, isomorphic groups are essentially the same, differing only in the notation for the elements and the operations.测定中的一个重要问题是，是否给定的两个群体，并以某种方式相同。例如，我们有调查，对所有置换的X =（1,2,3）的群体。所有的Y =（）的排列组是一组不同的排列组合，因为（1,2,3）是比排列不同的（）。但是，即使和不同，他们肯定承受彼此非常相似（见例2.23）。观念的同态与同构允许一个比较不同的群体，我们将会看到。袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅