通信原理樊昌信第六版第3章随机信号.ppt

第三章随机过程 主讲 赵发勇阜阳师范学院物电学院2008年9月 回顾 概率论与随机变量 1随机过程的基本概念 2平稳随机过程 3高斯随机过程 4平稳随机过程通过线性系统 5窄带随机过程 6正弦波加窄带高斯噪声 7高斯白噪声和带限白噪声 回顾 概率论与随机变量 1 随机实验 E 满足下面三个条件的实验 相同条件下 实验可以重复进行 每次实验结果可具有多种可能性 所有可能的结果在实验前可以确定 每次实验不能准确预言哪个结果出现 2 样本空间 S 随机实验中所有可能结果的集合 3 随机事件 A E中S的子集称为E的随机事件 4 概率 P 设E S对E的每个A赋予一个实数 记P A 表征事件A发生的可能性大小 有P A 0 P S 1 5 随机变量 设有E和S e 如果对于一个e S 有一个X e 与之对应 这样定义在S上的单值函数x x e 称为随机变量 是定义在实验结果集合上的函数 是定义在样本空间上具有某种可测性折实值函数 可以应用随机变量表示事件 X x 表示一个实验结果的集合 事件 定义事件 x 和 x 的概率为0 6 分布函数 定义Fx x P X x 为随机变量的分布函数 其定义在 上的函数 7 密度函数 f x dFx x dx 特殊分布 正态分布 指数分布 均匀分布等 8 数字特征 1 数学期望 E 2 方差 2 通信过程是有用信号通过通信系统的过程 在这一过程中常伴有噪声的传输 分析与研究通信系统 离不开对信号和噪声的分析 通信系统中的信号通常具有某种随机性 他们的某个或几个参数不能预知或不能完全预知 如果能预知 通信就失去了意义 1随机过程的基本概念 随机信号 具有随机性的信号 通信系统中必然遇到噪声 是不能预测的 凡是不能预测的噪声统称为随机噪声 简称为噪声 从统计数学的角度看随机信号和噪声统称为随机过程 统计数学中有关随机过程的理论可以运用到随机信号和噪声的分析中来 什么是随机过程 随机过程是一类随时间作随机变化的过程 它不能用确切的时间函数描述 可从两种不同角度看 1随机过程的基本概念 N部通信机的噪声输出记录 例如有N台性能完全相同的通信机 工作条件相同 用N部记录仪同时记录他们的输出噪声 角度1 对应不同随机试验结果的时间过程的集合 角度2 随机过程是随机变量概念的延伸 在任一给定时刻t1上 每一个样本函数 i t 都是一个确定的数值 i t1 但是每个 i t1 都是不可预知的 在一个固定时刻t1上 不同样本的取值 i t1 i 1 2 n 是一个随机变量 记为 t1 换句话说 随机过程在任意时刻的值是一个随机变量 因此 我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合 这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述 1随机过程的基本概念 设 是随机实验 e 是其样本空间 对于每个e S 确定 e t t T 当e取遍 时 就可得到定义在 上的一族普通时间函数 以此t为参数的函数称为随机过程 通常省略e 简记为 t 在任一时刻t0上观察到的值是不确定的 是一个随机变量 在任一个e t 为一个单值的实值函数 在任一个e和t0 t 为一个实值标量 1随机过程的基本概念 随机过程的定义 随机过程的统计特性通过概率分布 分布函数 概率密度函数 和数字特征 数学期望 方差 相关函数等 加以表述 统计特性 设 t 表示一个随机过程 则在任一时刻t1上 t1 是一个随机变量 称分布F1 x1 t1 P t1 x1 为 t 的一维分布函数 此函数依赖于t1 等于事件 x t1 x1 的概率 如果存在 F1 x1 t1 x1 f1 x1 t1 则称f1 x1 t1 为 t 的一维概率密度函数 分布函数和密度函数 考察任意n个不同的时刻t1 t2 tn 引入n维随机变量 t1 t2 定义Fn x1 x2 xn t1 t2 tn P t1 x1 t2 x2 tn xn 称为 t 的n维分布函数 如果存在 Fn x1 x2 xn t1 t tn x1 x2 xn fn x1 x2 xn t1 t tn 则称fn x1 x2 xn t1 t tn 为 t 的n维概率密度函数 N越大 用n维概率密度函数或n维分布函数描述 t 的统计特性越充分 1 数学期望 t 是随机过程的所有样本函数在时刻t的函数值的平均值 也称随机过程的均值 表示了随机过程 t 在每个时刻的波动中心 反映了随机过程的一维统计特性 一般情况下 它是时间的函数 数字特征 记为 也称均方值 是随机过程的所有样本函数在时刻t与均值偏离量的平方的统计平均 是一维统计特性 总是正数 一般情况也是时间t的函数 2 方差 衡量随机过程任意两时刻上获得的随机变量的统计相关特性时 常用协方差函数和相关函数来表示 衡量同一过程的相关程度 又称为自协方差函数 自相关函数 衡量不同过程的相关程度 又称为互协方差函数 互相关函数 描述了随机过程 t 在任意两个时刻t1和t2 相对均值的起伏量之间的相关程度 3 自协方差函数 B t1 t2 4 自相关函数 R t1 t2 t1和t2上的两个随机变量 t1 t2 是随机过程 t 在任意两个时刻 自协方差函数 自相关函数体现了随机过程的二维统计特性 自协方差函数与自相关函数的关系 表示在任意两个时刻t1 t2上的两个变量 t1 t2 的相关程度 t1 t2 0 B t1 t2 0表明 t1 t2 不相关 5 相关系数 t1 t2 2平稳随机过程 平稳过程是随机过程中非常重要的过程之一 它具有许多突出的特性 并且提供了一类分析问题的方法 许多非平稳随机过程可以化为局部平稳过程来分析 实际中我们关心的通信信号正是采用了这样的分析方法和思路 分为严格平稳过程和宽平稳过程 平稳随机过程 是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关 即一个随机过程 t 如果在时域上时移 而其统计特性不变 则称之为严格的平稳随机过程 或狭义平稳过程 即对于任意的正整数n和任意的实数t1 t2 tn 随机过程 t 的n维概率密度函数满足 称 t 是严格平稳随机过程 一 严格平稳随机过程 平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而不同 它的一维分布与t无关 二维分布只与时间间隔 有关 数学期望与t无关 为 自相关函数只与时间间隔 有关平稳过程所有样本曲线都在水平直线x t ux上下波动 平均偏离度为 x 如果一个随机过程的数学期望与时间t无关 而其相关函数只与时间间隔 有关 则称这个随机过程是宽平稳的或广义平稳的 因此平稳随机过程的数字特征 完全可由随机过程中的任一实现的数字特征来决定 严格平稳一定宽平稳 反之不然 平稳信号称为时不变信号 非平稳信号称为时变信号 平稳随机过程有一个非常有用的特性 遍历性 或各态历经性 二 宽平稳过程 随机过程的数学期望 统计平均 可以由任一实现的时间平均来代替 随机过程的自相关函数 也可以有 时间平均 来代替 统计平均 设平稳随机过程 t 的一次试验样本函数为x t 则其统计平均可以用如下的时间平均来代替 三 各态历经性 从随机过程中得到的任一实现 好象它经历了随机过程的所有可能状态 或者说平稳随机过程的各个样本函数都同样经历了随机过程的所有可能状态 平稳随机过程 t 数学期望的时间平均表示为 平稳随机过程 t 方差的时间平均表示为 平稳随机过程的自相关函数时间平均表示为 与时间起点无关即 例3 1 题略思路 证明是否具有各态历经性 即统计平均是否等于时间平均 统计平均求均值和相关函数 然后计算其时间平均 观察是否相等 三 各态历经性 设 t 为实平稳随机过程 它的自相关函数的主要性质有 1 为平稳信号 t 的平均功率2 R R R 是偶函数证明 四 自相关函数 3 R 的上界4 t 的直流功率5 方差 t 的交流功率 对于确定信号 我们常在时域和频域中来分析 讨论问题 确定信号的自相关函数与其功率谱之间是一对傅立叶变换对 下面讨论随机信号的相关问题 五 功率谱密度 对于确定功率信号f t 它的功率谱密度PS FT 是f t 的截短函数fT t 的频谱函数 对于随机过程 样本函数的频谱没有意义 不过它的每一个实现是功率信号 每一个实现的功率谱也可以由上式表示 但是 随机过程中哪一个实现出现是不能预知的 因此 某一个实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度 过程的功率谱密度是每一个可能实现的功率谱的统计平均即为f的确定函数 不具有随机性 可作为定义 设 t 的一次实现的功率谱密度为定义为随机过程的功率谱密度 与确知信号相同 对平稳随机过程来说 其功率谱密度与其自相关函数也是一对傅立叶变换 证明过程略 令t t2 则dt dt2 t1 t2 dt1 d 积分区间可以分为 0 0所以此关系称为维纳 辛钦 wiener khinchine 关系 在维纳 辛钦关系的基础上 我们可以得到以下结论 对功率谱密度进行积分 可得平稳过程的总功率 即过程平均功率的计算法 各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度 也就是说 每一样本函数的谱特性都能很好地表现整个过程的的谱特性 例3 2 求随机相位余弦波 t Acos ct 的自相关函数和功率谱密度 解 在 例3 1 中 我们已经考察随机相位余弦波是一个平稳过程 并且求出其相关函数为因为平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换 即有以及由于有所以 功率谱密度为 3高斯随机过程 高斯过程又称正态随机过程 是一种普遍存在和重要的随机过程 通信信道中的噪声 通常是一种高斯过程 故又称为高斯噪声 高斯过程 t 的定义 若随机过程的n维概率密度函数服从n维正态分布 即 重要性质由高斯过程的定义式可以看出 高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值 方差和归一化协方差 相关系数 因此 对于高斯过程 只需要研究它的数字特征就可以了 广义平稳的高斯过程也是严平稳的 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的 即对所有j k 有bjk 0 则其概率密度可以简化为这表明 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的 那么它们也是统计独立的 说明什么是不相关和统计独立 高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程 也可以说 若线性系统的输入为高斯过程 则系统输出也是高斯过程 3高斯随机过程 高斯随机变量称满足分布的随机变量为正态 高斯 随机变量 当 0 1时 称这种正态分布为标准化的 xf x 对称于x 这条直线f x f x f x 在 处达到极大值 正态分布函数 在通信系统的性能分析中经常小于某数x的概率 考虑高斯变量的一维分布函数 它没有闭式计算 我们通常将其表达为一些可查函数的的形式 有概率积分函数和误差函数概率积分函数 令则 误差函数补误差函数 正态分布函数常用误差函数的形式表示 若x 则令 若x 则令 概率积分函数与误差函数的关系 若x 则 若x 则 通信的目的在于传输信号 通信系统中的信号或噪声一般都是随机的 因此在以后的讨论中我们必然会遇到这样的问题 随机过程通过系统 或网络 后 输出过程将是什么样的过程 这里 我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况 随机信号通过线性系统的分析 完全是建立在确知信号通过线性系统的分析原理的基础之上的 我们知道 线性系统的响应vo t 等于输入信号vi t 与系统的单位冲激响应h t 的卷积 即 vo t vi t h t 4平稳随机过程通过线性系统 Vo H Vi 如果把vi t 看作是输入随机过程的一个样本 则vo t 可看作是输出随机过程的一个样本 显然 输入过程 i t 的每个样本与输出过程 o t 的相应样本之间都满足下式假定输入 i t 是平稳随机过程 下面分析输出过程 o t 的统计特性 我们先确定输出过程的数学期望 自相关函数及功率谱密度 然后讨论输出过程的概率分布问题 因为 由此可见 输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与H 0 的乘积 且E o t 与t无关 为常数 再利用了平稳性假设E i t E i t i 常数 故上式为 得 所以 1 输出过程 o t 的数学期望 2 输出过程 o t 的自相关函数根据自相关函数的定义 则有 由于输入过程为平稳过程得 结论 若线性系统的输入过程是平稳的 那么输出过程也是平稳的 3 输出过程 o t 的功率谱密度由功率谱密度与自相关函数为傅里叶变换对 有 令 则有 例 试求功率谱密度为n0 2的白噪声通过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度 自相关函数和噪声平均功率 理想低通的传输特性为 根据式 2 8 8 输出功率谱密度为 而自相关函数R 为 于是 输出噪声功率N即为R0 0 即 总可以确定输出过程的分布 其中一个十分有用的情形是 如果线性系统的输入过程是高斯型的 则系统的输出过程也是高斯型的 因为从积分原理来看 上式可表示为一个和式的极限 即 4 输出过程 o t 的概率分布从原理上看 在已知输入过程分布的情况下 通过式 2 8 4 即 由于 i t 已假设是高斯型的 所以 在任一时刻的每项 i t k h k k都是一个高斯随机变量 因此 输出过程在任一时刻得到的每一随机变量 都是无限多个高斯随机变量之和 由概率论得知 这个 和 的随机变量也是高斯随机变量 这就证明 高斯过程经过线性系统后其输出过程仍为高斯过程 更一般地说 高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯过程 但要注意 由于线性系统的介入 与输入高斯过程相比 输出过程的数字特征已经改变了 5窄带随机过程 窄带是指频谱均被限制在载波或某中心频率附近一个窄的频带上 而这个中心频率离开零频率又相当远 如果这时的信号或噪声是一个随机过程 则称它们为窄带随机过程 在通信系统中 许多实际信号和噪声都满足窄带的假设 窄带波形的频谱及示意波形 窄带随机过程 三角表达 可表示 是窄带随机过程 t 的包络函数 随机相位函数 其变化比载波缓慢的多 正交分量 同相分量 窄带随机过程也可表示为同相分量与正交分量的形式 过程略 讨论均值为零的平稳高斯窄带过程 讨论均值为零的平稳高斯窄带过程的的统计特性 得 统计特性 t 的自相关函数 其中 因 t 是平稳的 故 要求上式的右边与时间无关 仅与 有关 令t 0 此时 这时 显然要求下式恒等 自相关函数可写为 同理令 可求得 比较两式 要使这两式同时成立 应有 则是 的奇函数同理说明不相关或统计独立 由相关函数的性质知 再比较两式得即方差相同 再看窄带随机过程的表示当t1 0时当时 t 是高斯过程 故 c t1 s t2 也是高斯的随机变量 则 c t1 s t2 也是高斯过程 一个均值为零的窄带平稳随机过程 它的同相分量 c t 和正交分量 s t 同样是平稳随机过程 而且均值都为零 方差也相等 在同一时刻上得到的 c s是不相关的或统计独立的 小结 a t 和 t 的统计特性联合概率密度函数f a 根据概率论知识有由可以求得 于是有式中a 0 0 2 a 的一维概率密度函数a 服从瑞利 Rayleigh 分布 的一维概率密度函数 服从均匀分布 一个均值为零 方差为 2的窄带平稳高斯过程 t 其包络a t 的一维分布是瑞利分布 相位 t 的一维分布是均匀分布 并且就一维分布而言 a t 与 t 是统计独立的 即有 小结 6正弦波加