专升本《高等数学》程的应试策略PPT课件.ppt

应试总体策略 一 应试前 对考题类型心中有数 二 应试前 对考试涉及的知识点心中有数 三 应试前 对每类题型的求解方法心中有数 四 应试前 对常用的数学知识公式 性质 法则心中有数 心中有数 坦然应试 1 往年考题题型及各题型所占分值 2002年以来 往年试卷的分值及考试时间一直保持不变 试卷总分150分 考试时间为150分钟 历年题型见下表 2 考试知识点及每个知识点在考卷中的比例 历年来 专升本考试的数学内容是固定的 总体上有四部分 它们分别是 一元函数的微积分 多元函数的微积分 包括空间解析几何知识 常微分方程 无穷级数 具体内容及所占比例如下表 3 每类题型的求解方法指导 一 单项选择题的求解方法 方法一 直接求解法 即从题设条件出发 经过合理的演算 推理得出结论 然后 观察选项中哪一个符合要求 举例 例1当时 无穷小是比的 高阶无穷小 低阶无穷小 同阶无穷小 等价无穷小 指导 比较两个无穷小阶数的高低 方法是 求二者商的极限 注 请注意解题方法 这种题是每年必考题 4 例2设向量则向量与的夹角为 指导 求两向量的夹角时 可利用它们的数量积公式进行计算 例 级数的敛散性为 绝对收敛 条件收敛 发散 敛散性不能确定 指导 这类题求解时 应首先看是否绝对收敛 很明显 其绝对值级数为 的级数 收敛 5 方法二 逐一验证法 即将所给选项按照题设要求逐一的演算 推理检验 从中找出符合题设的选项 举例 例1下列函数中 是函数的原函数的是 指导 作这个题就需要逐一验证 首先 你应明白何谓 原函数 然后逐一检验 如果 的一个原函数 其余都不满足 故应选 注 原函数的概念也很重要 要牢记 6 例 在区间上 下列函数中不满足罗尔定理条件的是 指导 该题的求解 应在掌握罗尔定理条件的基础上 对四个选项逐一验证 罗尔定理的条件是 上函数连续 内函数可导 该题的四个选项中 满足定理条件 而 不满足 方法三 排除法 即首先排除明显错误的选项 逐步缩小选择范围 再进行比较和验证 最终选择一个正确答案 7 举例例1已知 则等于 指导该题可用 方法一 直接求解法寻求答案 只需作变换 令 即可得到的关系式 进而得 也可用恒等变形的办法求得 该题也可用排除法求解 由已知 当时 会得 而将代入4个选项中 分别得 4 4 0 因此 选项A D可排除 再令 会得 而将代入B选项 得数9 因此B可排除 最后 选C A B C D 8 例2等于 ABCD 指导 因该题是求微分的 结果中应含微分记号 故A B选项可排除 再根据可变上限的积分求导性质 最终应选C 方法四 赋值验证法 即将条件中的变量或关系式 赋给一些合乎要求的数值或关系式 会得一结论 再观察选项中哪一个选项与命题结论相符 举例 例1满足方程的函数是 A B C D 指导 在方程中 令 可得 满足此条件的函数有和 又方程两边求导得 满足该条件的只有 故D正确 9 例 已知 且 则函数在处 A 导数存在 且 B 导数一定不存在 C 取得极大值 D 取得极小值 指导 取满足条件的函数 由该函数的性质知 A B C全错 故选D 例 设 则等于 A B C D 指导 由已知条件 将代入 可得 而在四个选项中 满足条件的只有B 方法五 图像法 即借助函数的图像直观地判断函数的性质 状态 举例 例1设在区间上可导 且 则函数在内 A 至少有两个零点 B 有且仅有一个零点 C 没有零点 D 零点的个数不确定 指导 由于 知函数严格递增 又 于是 函数图像如图 直观可看到B选项正确 例2函数在点处 A 无定义 B 不连续 C 连续不可导 D 连续又可导 指导 函数的图像如图 C选项正确 11 方法六 变量替换法 即通过变量替换 把不熟悉的关系式化为熟悉的关系式 进而解答问题的方法 举例 例1曲线在处 A 有极大值B 有极小值C 有拐点D 无拐点 指导 令 命题转化为判断在处的性态 的曲线形状大家比较熟悉 如图 正确答案为C 例2设级数在点处收敛 则级数在处 A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 敛散性不定 指导 令 该命题可化为 级数在处收敛问处的敛散性 由绝对收敛定理知 A选项正确 12 二 填空题的求解方法 填空题往往考察某一知识点中的基本概念 基本性质 基本运算 因此 做这样的题需按照以下方法进行 方法一 紧扣知识点 顺藤摸瓜 即遇到题首先弄清楚它考的是哪一章节的什么知识 然后再据这一知识的概念 性质 运算 推得结论进而得出答案 举例例1极限 指导 很明显 该题是一道极限计算题 如何求极限呢 总体方法是 先判断极限类型 然后按照这种类型的极限求法求极限 该极限可看到是极限 于是 可用罗比塔法则 可用等价无穷小的替换 也可用重要极限等方法求极限 极限值是 例2设 则 指导 该题是考察导数概念的题 要把导数定义中的极限与所给极限比较 进而求得极限 通过比较和恒等变形 可得极限为 3 13 例3 指导 该题含有求导符号 因此是求导运算题 又被求导的函数是积分上限函数 于是 求导时要利用积分上限函数的性质 被求导的函数是与复合而成的函数 故其导数为 方法二 注重技巧 少走弯路 即有些题型的求解是有技巧的 方法正确 易于求出结果 方法不恰当 解题就困难 几个重要结论 14 等等 举例例1 指导 该题可利用三角函数的高阶导数公式求得结果 请你一定要记住这些公式 15 例2积分 指导 该定积分的积分区间是关于坐标原点对称的区间 因此 使我们想到考虑被积函数的奇偶性 容易知道 被积函数是奇函数 故积分为0 例3积分 指导 该题入手方法同例2 具体如下 例4设直线在平面内 则常数 指导 直线在平面内 意味着直线的方向向量与平面的法向量垂直从而 它们的数量积为零 16 三 判断题的求解方法 判断题常常考试容易模糊的概念 容易出错的运算 容易迷糊的性质 这类题的求解需注意以下几点 理清概念 如 对于一元函数 对于多元函数 牢记运算性质 如 如果 如果级数 17 对于一元函数 严格运算 注重细节 举例例1判断下列命题是否正确 如果函数在点处无定义 则不存在 如果函数在点处不可导 则曲线在处无切线 18 如果函数在点处的两个偏导数皆存在 那么函数在点处全微分存在 如果 则 如果 则级数收敛 如果函数在处取得极值 则 如果点是曲线的拐点 则 设 则 设 提示 这类问题很多 请细心思考 19 2019 12 27 20 四 计算题的求解方法 这几年 专升本试卷中计算题的类型是较固定的 每年都是8个题 且它们分别是 求一元函数的极限 求一元函数的导数 求一元函数的不定积分 求一元函数的定积分 多元复合函数的求偏导 二重积分的计算 将函数展开成幂级数 或求幂级数的收敛区间 常微分方程的求解 一元极限的求解方法 求极限时 应首先判断极限类型 然后才能选择合适的方法 这几年的求极限题皆为不定式极限 总体的方法是用罗比塔法则求极限 当然 在求极限过程中 也要考虑其它求极限的技巧 以便更快地求出极限来 21 举例例1求 指导 首先看能否代入求极限 通过判断发现不能 该极限是型不定式极限 可考虑用罗比塔法则求极限 也可用等价无穷小替换求解 22 一元函数的求导方法 求一元函数的导数时 应首先看该函数的结构 判断是复合函数 还是四则运算产生的函数 还是幂指函数 还是隐函数 然后按相应的求导法则求导数 举例 例1设 指导 该函数是幂指函数 可用对数求导法求导数 也可用复合求导法则求导数 23 求一元函数积分的方法 无论一元不定积分还是定积分 求积分时 首先要看被积函数的结构 看它属于哪个积分方法的可积类型 然后 按相应的方法积分 如 被积函数中含有根式时 要利用变换换元脱去根式进行积分 被积函数是对数或反三角函数时 用分部积分法积分等 举例 例1求下列积分 指导对第一个积分容易看到 被积函数无微分关系 只能用分部积分法积分 且注意到 故积分如下 对于第二个积分 被积函数特点是含有根式 于是 可用换元积分法积分 具体如下 24 方法二 凑微分法 具体如下 25 例2求积分 指导这两个积分皆为定积分 从积分的特征看到 第一个积分是偶函数在对称区间上的积分 且被积函数可化简 然后用凑微分法积分 第二个积分 从特征看 需用分部积分法积分 具体如下 解 26 27 多元复合函数偏导数的求法 指导 这几年 多元复合函数的偏导计算题 往往是含字母的抽象函数的求导 关键要弄明白变量间的关系 然后按变量间的关系连线图求导 举例例设其中皆具有二阶连续的偏导数 求 指导首先应明确 求导次序是 先对求偏导 然后对求偏导 具体求导时 函数是两项的和 需分别求导向加 而每一项又是复合函数 需用复合求导法则求导 解 28 29 二重积分的计算 计算二重积分是一类很重要的运算 每年必考 计算的总体方法是 先画出积分区域 根据积分区域特征 被积函数特征 选择坐标系 在该坐标系内 把积分区域用不等式表示 把二重积分化为二次积分计算 举例例 求积分 其中是圆在第一象限中的部分 解积分区域如图所示 区域可表示为 30 于是 在内 31 幂级数的展开或运算 指导 把函数展开为幂级数时 常常用间接的方法 这其中需要记几个常用函数的幂级数展开式 如 利用它们的展开式 利用级数的运算 可间接地把一些函数展开成幂级数 举例例将函数展开成的幂级数 并求其收敛区间 指导首先 需把该分式函数分解为简单分式 然后 再展开成幂级数 解 让函数中出现 32 在将展开成幂级数时 其收敛区间为 在将展开成幂级数时 其收敛区间为 故 已知函数展开的级数的收敛区间是 33 微分方程的求解 指导微分方程求解的方法是 先判断方程的类型 然后 根据方程的特点 选择合适的求解方法 举例例求微分方程满足条件及的解 指导 该方程是二阶常系数线性非齐次微分方程 首先 求其齐次方程的通解 然后 构造非齐次方程的特解 进而 得到非齐次方程的通解 最后 将初始条件代入 求出满足条件的特解 解 方程的特征方程为 于是 特征根为 于是 有齐次方程的通解 又 自由项是特征方程的单根 故 可设方程的特解为 代入原方程得 原方程的通解为 34 将初始条件代入 得满足条件的解 五 应用题的求解指导 指导 这几年来 专升本考试的应用题皆为两类 一类是多元偏导数的应用 求实际中的极值或条件极值 一类是一元定积分的应用 求平面图形的面积或旋转体的体积 这些我们在平时辅导时已多次讲解具体题的求解 举例例1某工厂生产两种商品的日产量分别为和 单位 件 总成本函数 单位 元 如果商品的限额为 试求最小成本 指导 该题明显是要求函数 在条件 下的极值 方法一 可化为无条件极值 方法二利用拉格朗日乘数法 35 解令对上式求各个偏导数 并令其为零 有 解之 得 因为这是唯一的驻点 于是 它就是取得最小值的