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文档简介

二 定积分的计算 一 牛顿 莱布尼茨公式 微积分的基本公式 第六章 与定积分的计算 一微积分的基本公式 引积分学中要解决两个问题 第一个问题是原函数的求法问题 我们在第5章中已经对它做了讨论 第二个问题就是定积分的计算问题 如果我们要按定积分的定义来计算定积分 将会十分困难 我们知道 不定积分作为原函数的概念与定积分作为积分和的极限的概念是完全不相干的两个概念 但是 牛顿和莱布尼兹不仅发现而且找到了这两个概念之间存在着的内在联系 提出了 微积分学基本定理 从而使积分学与微分学一起构成微积分学 Newton Leibniz公式 微积分基本公式 牛顿 莱布尼茨公式 定理 函数 则 微积分基本公式表明 一个连续函数在区间 a b 上 的定积分等于它的任意一个原函数在区间 a b 上的增 量 求定积分的问题转化为求原函数的问题 例1 计算 解 解 原式 例2 求 例3 设 求 解 例4 计算正弦曲线 的面积 解 不定积分 二 定积分的计算 换元积分法 分部积分法 定积分 换元积分法 分部积分法 2 定积分的分部积分法 1 定积分的换元法 3 定积分的计算技巧 先来看一个例子 例1 换元求不定积分 令 则 故 1 定积分的换元法 定理1 设函数 单值函数 满足 1 2 在 上 则 令 则 当x从0连续地增加到3时 t相应地从1连续地增加到2 于是 说明 1 当 即区间换为 定理1仍成立 必须注意换元必换限 但计算定积分值时原函数中的新变量不必代回 例2 计算 解 令 则 原式 且 例3 计算 解 令 例4 计算 换元必换限不换元则不换限 解 例5计算 注 用凑微分法完成的积分 如果没有引入新的变量 则上下限不必变动 即配元不换限 换元必换限不换元则不换限 2 定积分的分部积分法 定理2 则 边积边代限 例1求 原式 解 则 例2 计算 解 原式 例3计算 解 例4求 解令 则x t2 dx 2tdt 原式 注此题同时使用了换元法和分部积分法 例5 计算 解 原式 规律 1 若 2 若 1 偶倍奇零 3 定积分的计算技巧 特别的 当出现积分区间关于原点对称时 可以先考 察被积函数的奇偶性 考虑偶倍奇零规律 例1求 解 原式 例2求 解 原式 例8计算下列定积分 解 解 2 利用定积分的几何意义 曲边梯形面积 若被积函数的图像是规则图形 特别是圆 时 定积分的值就可以用对应的曲边梯形面积得到 计算 o 解 由定积分的几何意义 等于圆周的第一象限部分的面积 例3计算 解 由定积分的几何意义 该积分等于半圆面积 即 o 2 2 2 例4计算 解 原式 偶函数 奇函数 四分之一单位圆的面积 内容小结 基本积分法 换元积分法 分部积分法 换元必换限配元不换限边积边代限 作业 P1785 1 2 4 5 6 8 11 P1831 1 2 10 11 2 1 2 3 1 6 牛顿 莱布尼茨公式 积分技巧 偶倍奇零 利用定积分的几何意义 2 利用定积分的几何意义
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