（电路与系统专业论文）延时混沌系统的同步与控制[电路与系统专业优秀论文].pdf

摘要 时延动力学系统的研究是非线性动力学领域中的前沿课题之一。具有时延的动力学 系统能够更加真实的反应现实事物的本质特征，刻画事物的复杂与多变性。时滞混沌系 统为无穷维系统。在同步的过程中，它既可克服高维非时滞超混沌系统在结构上庞大而 复杂的缺点，又能提高保密性。因此，对时滞混沌系统的同步研究具有重要的实际意义。 本文主要围绕延时混沌系统的同步和控制进行研究，以电路实验为主要研究方法，结合 理论分析和数值计算，对于文中研究的延时混沌系统的同步和控制问题都给出了充分、 正确的论证结果。 首先，从理论和数值计算两方面对延时混沌系统的动力学特性进行研究，观察到系 统由倍周期分岔通向混沌的道路。其次，在实际电路中用电感、电容这些普通电子元件 搭建了能产生时间延迟的延时单元电路。利用所搭建的延时单元电路构建了延时混沌电 路系统，并与数值计算结果相比较，得到的实验结果与数值计算结果基本一致，验证了 系统的混沌特性，并证明了延时单元电路的切实有效性。最后，我们还研究了延时混沌 系统的同步问题，分别将变量反馈同步法、参数扰动同步法以及单变量驱动同步法用于 延时混沌系统的同步研究，并在电路实验中加以实现，得到了与数值计算基本一致的结 果。最后，分别将线性反馈控制法和相空间压缩法用于延时混沌电路系统的控制，得到 了较好的控制效果。对线性反馈控制法，给出可控性条件，并在数值模拟及电路实验中 给出将系统控制到周期态的结果。 本文的研究结果为实际控制混沌提供了理论依据，延时混沌系统也为混沌的实际应 用提供了一个很好的平台。 关键词：延时混沌系统；电子线路；混沌同步；混沌控制 a b s t r a c t r e s c a t c h i n gt h ep r o b l e m so fd y n a m i cs y s t e mw i t ht i m e - d e l a yi so n eo f t h el e a d i n ge d g e t o p i c si nn o n l i n e a rd y n a m i c sd o m a i n s at i m e - d e l a y e dd y n a m i cs y s t e mc a nb e a b l et o p o r t r a yt h e f e a t u r e sm o r ep r e c i s e l ya n dd e p i c tt h e e s s e n c eo fc o m p l e x i t yo ft h i n g s t i m e d e l a y e d c h a o t i c s y s t e m i sa ni n f i n i t ed i m e n s i o ns y s t e m i nt h ep r o c e s s o f s y n c h r o n i z a t i o n ，i to v e r c o m e st h es h o r t a g eo fn o n d e l a yc h a o t i cs y s t e m w i t hh u g ed i m e n s i o n a n dc o m p l e xs t r u c t u r e ，a n d i tc a na l s oi n c r e a s e s a f e t y f o rs e c u r ec o m m u n i c a t i o n s y n c h r o n i z a t i o na n dc o n t r o l l i n go ft h ed e l a y e dc h a o t i cs y s t e ma r er e s e a r c h e db ym e a n so f c i r c u i te x p e r i m e n t s ，a sw e l la st h e o r e t i ca n a l y s i sa n dn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n a tl a s t ，i te n d s w i t hr e s p e c t i v er e a s o n a b l ec o n c l u s i o nt op r o b l e m so ft h ed e l a y e dc h a o t i cs y s t e m f i r s t l y ，b a s e do nt h et h e o r e t i ca n a l y s i sa n d n u m e r i c a lc a l c u l a t i o n , c h a o sc h a r a c t e r i s t i co f t h ed e l a y e dc h a o t i cs y s t e mi so b t a i n e d ，a n da r o u t ef r o md o u b l ep e r i o db i f u r c a t i o nt oc h a o si s o b s e r v e d s e c o n d l y ，t h ed e l a y e dc i r c u i tw a sr e a l i z e di nc i r c u i te x p e r i m e n t u s i n gt h et i m e d e l a yu n i te l e c t r i cc i r c u i tw h i c hb u i l d sh a sc o n s t r u c t e dt h et i m ed e l a yc h a o sc i r c u i t r y ，a n d c o m p a r e s t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l tw i t ht h ev a l u ec o m p u t e dr e s u l t w h i c ho b t a i n sw i t ht h e v a l u ec o m p u t e dr e s u l tb a s i c a l l yc o n s i s t e n t ，h a sc o n f i r m e dt h es y s t e mc h a o sc h a r a c t e r i s t i c ，a n d h a sp r o v e nt h et i m ed e l a yu n i te l e c t r i cc i r c u i tp r a c t i c a lv a l i d i t y a tl a s t ，t h e m e t h o d so f v a r i a b l es y n c h r o n i z a t i o nc h a o s ，s u c ha s ，s y n c h r o n i z a t i o n o fv a r i a b l e f e e d b a c k ， s y n c h r o n i z a t i o no fd i s t u r b a n c ep a r a m e t e r sa n ds y n c h r o n i z a t i o no fs i n g l ev a r i a b l ea c t u a t i o n a r ea p p l i e dt ot h es y s t e mi nc i r c u i te x p e r i m e n t ，a n dt h en u m e r i c a lc a l c u l a t i o nr e s u l t sa r ei n g o o da g r e e m e n tw i t hc i r c u i te x p e r i m e n tr e s u l t s f i n a l l y ，s e p a r a t e l yu s e si nt h el i n e a rf e e d b a c k c o n t r o lm e t h o da n dt h ep h a s es p a c ec o m p r e s s i o nm e t h o dt h et i m ed e l a yc h a o sc i r c u i t r yt h e c o n t r o l ，o b t a i n e dt h eg o o dc o n t r o le f f e c t t ot h el i n e a rf e e d b a c kc o n t r o lm e t h o d ，g i v e st h e c o n t r o l l a b i l i t yc o n d i t i o n ，a n dg i v e si nt h ev a l u es i m u l a t i o na n d t h ee l e c t r i cc i r c u i te x p e r i m e n t t h es y s t e m sc o n t r o lc y c l ec o n d i t i o nr e s u l t t h i sa r t i c l ef i n d i n g sp r o v i d e dt h et h e o r yb a s i sf o r t h ea c t u a lc o n t r o lc h a o s ，t h et i m e d e l a y c h a o ss y s t e mh a v ea l s op r o v i d e dav e r yg o o dp l a t f o r mf o rt h ec h a o sp r a c t i c a la p p l i c a t i o n k e yw o r d s ：t i m e - d e l a y e dc h a o t i cs y s t e m ；c i r c u i te x p e r i m e n t ；s y n c h r o n i z a t i o n o fc h a o s ； c h a o sc o n t r o l n 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所取 得的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中作了明确的说明。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：趑丝丝曰瓤星丛墨z 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以采用影印、缩印或其它复制手 段保存、汇编本学位论文。同意将本学位论文收录到中国优秀博硕士学位论文全 文数据库( 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社) 、中国学位论文全文数据库 ( 中国科学技术信息研究所) 等数据库中，并以电子出版物形式出版发行和提供信 息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：超整芷蛰 日 期：刃堑丕：三7 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名：覃堑萎堡 e l 期：盖争弩 电话： 邮编： 东北师范大学硕士学位论文 引言 自然界中形状各异的雪花、五颜六色的海螺、相似而又不同的树叶，让人们的感官 变得多姿多彩；社会生活中股票的跌浮、人口的生灭、价格的波动，每一样都牵动着人 们的神经。这些现象的背后却有着一个共同的特点，那就是非线性，是它使世界充满变化 具有挑战，也是它让我们对非线性科学的探索孜孜不倦。 谈到非线性动力学，就会说到混沌。混沌是在确定性系统中出现的一种貌似不规则的、 内在的随机运动。它既展示出事物具有复杂性的一方面，同时它的存在也不可避免地导致 在许多系统中将受到这种类噪声信号的干扰。从数学上讲，对于确定的系统和给定的初始 值，由动力学系统就可以推知该系统的长期行为甚至追溯其过去性态。但是大量的实例表 明，有很多系统当初始值产生微小的变化时，系统的长期性态有巨大变化，即系统对初始 值具有十分敏感的依赖，产生所谓“蝴蝶效应”。由于实际系统中的误差是不可避免的，所 以系统的长期行为看似随机的，但实质上是一种伪随机现象，它与系统本身具有随机项或 随机系数产生的随机现象完全不同。这种现象只发生在非线性混沌系统中。因此，在许多 实际问题中，混沌是一种有害的运动形式。而在混沌系统中，有效地控制或消除混沌使系 统运行到正常的各种有序状态，是实际问题的需要。混沌现象一经发现，就引起了科研工 作者的关注。在短短的几十年的发展中，混沌的理论及其应用迅速扩展到物理学、化学、 生物学、经济学、数学、天文学、地理学【l 弓j 等众多自然科学和社会科学领域。混沌动力学 己经从自身的非线性系统科学范畴，衍生到其它学科的研究范围，为综合性、交叉性、跨 学科的学科分支【4 】。随着混沌研究的不断深入，研究人员也越来越关注研究非线性模型的 准确性，把以往研究中简化的模型重新进行校验，发现这其中相当一部分动力系统的状态 变量之间存在时间滞后现象，即系统的演化趋势不仅与系统当前的状态相关，而且还依赖 于过去时间的状态变量。现实生活中电话信号传输中的延时、工业控制中零点的漂移、元 件的老化所形成的滞后、视觉的延迟、动物血液的再生等等，都是时滞现象的展现。目前 延时动力系统成为许多领域的重要研究对象，在电路、神经网络、建筑结构、机械等领域 做了大量研究，取得了许多重要成果 6 - 8 1 。延时混沌系统可以看成时空混沌系统的特殊情况， 对延时混沌同步的深入研究定有助于抗破译能力，大大增强了一般时空混沌同步的研究。 因此，对于延时混沌系统同步的研究是具有重要实际意义的。 利用混沌的前提是驾驭它，也就是控制混沌。混沌的基本特征是：1 ) 对初值的极端 敏感；2 ) 其轨道由无穷多不稳定的周期轨道组成；3 ) 其轨道具有遍历性( 各态历经) m 】。 在近二十年的探索和发展过程中，对非线性延时动力学系统的研究延续了常微分方程 平行的途径，从时域和频域两个方面进行展开。如讨论稳定性的主要方法依然是特征值法 和l y a p u n o v 方法，其中研究非线性延时系统最为常用的方法有： ( 1 ) 摄动、法【1 1 ，1 2 1 ( 2 ) 频域 东北师范大学硕士学位论文 法( 3 ) p o i n c a r e 映射( 4 ) 中心流形法与范式( 5 ) l s 方法和奇异性理论方法，简称l s 方法。 除上述方法外，还有许多方法用于时延混沌系统的研究，它们有胞映射法、符号动力学法、 后继函数法、隐函数定理、变分法和拓扑度法等等，都是研究非线性系统分岔的重要方法。 在上述理论方法中，中心流形法与范式、l s 方法和奇异性理论方法、p o i n c a r e 映射等方法， 是对系统的定性研究。只有摄动法、胞映射法和符号动力学法能够得到系统的数值解析解。 混沌同步理论的研究是从1 9 8 3 年y a m a d a 和f u j i s a k a 、1 9 8 4 年g a p o n o v 、g r e k h o v 、 r a b i n o v i c h 和s t a r o b i n e t s 的工作开始的。他们首先发现混沌同步现象，对被同步混沌系统 的局域动力学进行了分析。混沌同步就是对混沌系统施加控制，使该系统的轨道与另一混 沌系统的轨道逐渐进趋向一致【l 引。混沌同步问题经过十几年的研究，已经发展了多种同步 方法，大体上可以分为：驱动响应( d r i v e r e s p o n s e ) 同步法( 完全代替方法) 及其各种变形( 例 如：主动一被动分解( a c t i v e p a s s i v ed e c o m p o s i t i o n ) 同步法( 部分替代) 等) ；变量耦合同步法； 变量反馈同步法；脉冲同步法；参数扰动同步法和单变量驱动同步法等等。 在各类混沌控制方案中，1 9 9 0 年美国马里兰大学的物理学家o t t 、g r i b o g i 及y o r k 三 人首次从理论上提出了一种实用于离散系统的参数微扰反馈控制混沌的方法，简称o g y 方法。o g y 方法最先提出了用微小信号来控制混沌的思想，这种方法不需要已知混沌系统 的确切动力学性质，自始至终使用微小信号实施控制，这样做既降低了控制的代价，又保 持了原系统的性质。1 9 9 2 年p y r a g a s 提出了延迟反馈控制法，它利用系统本身输出信号的 一部分，并经过延迟与原输出信号做差后作为控制信号反馈到原系统中去，由于控制代价 低、实现方便，d f c 法得到了极为广泛的应用。在实际控制过程中，针对不同问题人们提 出各种方案对其加以补充和改进，大大拓展了d f c 法的应用范围。 本文将沿用原有方法，或者使用在原有方法的基础上进行改进的方法对延时混沌系统 的同步和控制进行了研究。 论文的内容安排如下： 序言论述了本文选题的背景和研究意义，在此基础上回顾了混沌的历史发展进程， 通过大量的参考文献对混沌的研究现状，混沌控制的研究进展以及混沌同步的研究现状进 行综述，其中主要是对时延混沌系统及控制问题的国内外研究现状以及其方法进行了概 述。 第一章首先通过理论分析，结合数值计算的方法分析了延时混沌系统的混沌特性， 进而讨论了时延微分方程的稳定性及其分岔情况，为下面的研究提供了理论基础。 第二章用变量反馈同步法实现延时混沌系统同步，得到的实验结果与数值计算结果 基本一致。 第三章研究了用参数扰动同步法实现时延混沌系统的同步。分别采用了线性扰动信 号和非线性扰动信号作为微扰信号。从实验结果和数值计算结果都证明了这种方法是可行 的。 第四章本章从数值计算和电路实验两方面实现了利用单变量驱动同步法，实现了延 时混沌系统的同步。 2 东北师范大学硕士学位论文 第五章首先给出了相空间压缩法控制混沌的基本原理，然后在实际电子线路实验中 加以实现，得到了多个周期轨道。 第六章本章先从数值计算方面研究了当k 变化的时候，得到的线性反馈法控制延时混 沌系统的周期，然后用实验加以实现也得到了不同的周期轨道，取得了较好的控制效果。 最后的结语中概括和总结了本论文的工作，说明了作者在完成本论文工作中的创新 点，同时展望了今后与本课题有关的研究内容和方向。 东北师范大学硕士学位论文 第一章延时混沌系统的动力学特性 任何实际系统或多或少地都存在着滞后。延时微分方程( d e l a y - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， d d e s ) 是指系统当前的状态变化率与系统以前的状态相关。这类方程是无穷维的，在数学 理论上与工程实际中有其特殊的困难。延时动力学系统由于自身的延时特性，使其解空间 具有无限维。与没有滞后的控制系统相比，带有滞后的非线性控制系统有着更加复杂的动 力学行为，其动力学行为包括稳定平衡态、周期态、混沌和超混沌( 正l y a p u n o v 指数的 数目大于1 ) 。由于d d e 有很大的应用价值，尤其是在控制、物理学、生态学、社会经济 等领域。因此，延时混沌系统的研究越来越受到人们的重视。 1 1 延时混沌系统混沌特性 延时混沌系统的动力学模型为【4 】 x ( t ) = 一饿o ) + 掰o 一彳) ( 1 0 2 x ( t - r ) )( 1 1 ) 对于式( 1 1 ) ，取a 0 ，是可变参量，f 是时间延迟量。并i ；ix ( s ) = 认s ) ，j 卜f ，0 。对 于延迟混沌系统的基本周期，在某些情况下是可以通过解析的理论分析系统( 1 1 ) 中参量， 满足的使系统产生周期解的条件，而且还将给出由h o p f 分支产生出分支周期解的周期近 似值、稳定性和分支方向的解析条件。本章从理论上和数值计算两方面分析了当参数，变 化时延时混沌系统的分岔与混沌现象。 引理1 1 【4 】 对于特征方程旯+ c + 6 矿五= o ，其中c ，b 为实数，当且仅当c 一l ，c + b o ，b c 2 + 孝2 时，方程的所有解才会有负实部。这里善是善= - c t a n 孝的解。并且当c 0 时，0 善 万； 当c = 0 时，善= x 2 。 首先考虑延时混沌系统( 1 1 ) 的局部稳定性：令u ( t ) = x ( z t ) ，这样( 1 1 ) 就可以写成以下 延时微分方程： u ( t ) = 一a x u ( t ) + t r u ( t 一1 ) 一0 2 t r u 2 0 一1 )( 1 2 ) 对于式( 1 2 ) ，如果，o ，有两个平衡点：。= o ，= 5 n 一旦) ；如果，= o ，则只有 ， 一个平衡点，2 0 l = o 。 4 东北师范大学硕士学位论文 在零邻域内，将式( 1 2 ) 线性化，可以得到： “o ) = 一优甜( f ) + 们， 一1 ) 方程( 1 3 ) 的特征方程为： d ( 2 ) = 2 + a t r i t e a = 0 同样的，在= 5 ( 1 一争的邻域内线性化( 1 2 ) ，可以得到： 多( f ) = 一a w ( t ) + ( 2 a r ) v y ( t 一1 ) 这里y ( f ) = u ( t ) - u 0 2 ，方程( 1 5 ) 的特征方程为： ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) d ( 旯) = 2 + a t 一( 2 a r ) x e 一五= 0 ( 1 6 ) 很明显，u o 。和u 。：的稳定性分别取决于特征方程( 1 4 ) 和( 1 6 ) 的解。 应用引理1 1 ，方程( 1 4 ) q a ，c = a r ，b = 一，f ；方程( 1 6 ) 中，c = 酊，b = ( r - 2 a ) r 。 定理1 2 ( 1 ) 当，_ a 时，方程( 1 2 ) 的平衡点“o l = 0 是不稳定的；当t o r a 时，l 是 局部稳定的。这里= 一三止丽，善是孝= 一c t 趾孝，o 孝 万的根。 ( 2 ) 当口 厂 2 口一时，方程( 1 2 ) 的平衡点= 5 q 一旦) 是局部稳定的；当， 2 a - r o 时，u 0 2 是不稳定的。 现在，我们讨论方程( 1 2 ) 的分岔情况。 定理1 3 当r 经过临界值，；= = 一兰= 研时( 这里孝是方程孝= 一a r t a n 手，o 善 万的根) ， 延时混沌系统中发生从平衡点u 。，= o 到周期轨道的霍普分岔；当，经过临界值吒= a 时，延 时混沌系统发生从平衡点。= o 到平衡点= 5 ( 1 一詈) 的分岔；当，- 经过临界值吩= 2 口一r o 时，延时混沌系统中发生从平衡点= 5 ( 1 一旦) 到周期轨道的霍普分岔。 证明：假设方程( 1 4 ) 有一个纯虚根，五= i w o ，w o = r + ，又令厂= 五，这样就有： 式( 1 7 ) n - f 以写成： 帆+ 仉一瓦铝一嘞= ( a r - r x c o s w o ) + ( w o + r 【s i n w o ) i = 0 ( 1 7 ) 5 东北师范大学硕士学位论文 由此得到： 盎罕 霍普分岔现象出现的最后一个条件是删 o 。 d r i r ：如 接下来，让力= k ( r ) + i w ( r ) ，利用式( 1 4 ) ，可以得到： 考虑到方程( 1 1 0 ) 从两个方向趋于，我们可得： 因此，我们有： ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) 些- - t e - kc o s w - l - m i c o s w d k + m ts i i l w 业：o d ， 妻兰 ( 1 1 1 ) d w + c e _ ks i n w 一形气i i l w 堕+ 册一i c o s w 坐= o 、 d rd rd r 壁【垦丝刈：堕l d r r = r o d r l i ：o 。；w o ，；龟 a t + r 0 2 t 2 t o ( 1 + r o 百c o sw o ) 2 + ( r o f s i nw o ) 2 】 0 ( 1 1 2 ) 这表示参数，经过临界值，i = = 一吾= 丽，( 这里是方程善= 一a r t a n 孝，。 孝 万的 根) ，从平衡点u 。= 0 到周期轨道的霍普分岔出现。 类似的，我们可以证明，经过临界值吃= 2 口一时，从平衡点= 5 ( 1 一手到周期轨 道的霍普分岔出现。 很明显，当，- - a 时，方程( 1 4 ) 、( 1 6 ) 的解通常是w = o 。因此，当，经过临界值吃 - a 时，从平衡点。= 0 到平衡点= 5 q 一旦) 的叉式分岔就会出现。 ， 0 o = = 吣蜀 c s f f k 一 + 酊 ，(【 w 0 乏宝 =2 一仉 凡 卅 等赫 东北师范大学硕士学位论文 证明完毕。 文中取口= 2 6 ，t = 1 0 ，可以得到= 2 6 1 7 5 4 6 5 6 。从定理1 3 可知，当，经过临界 值吩= 2 口一= 7 8 1 7 5 4 6 5 6 时，从出现平衡点u o z = 5 ( 1 一旦r ) 到周期轨道的霍普分岔，此时方 程( 1 2 ) 中的变量u = o 6 6 8 。 1 2 延时混沌系统数值计算结果 在这一节中，我们用数值计算的方法来研究方程( 1 1 ) 的动力学分析。 首先，取a = 2 6 ，t = 1 0 不动，我们用数值计算的方法画出方程( 1 1 ) 中的变量工( f ) 随 参数，的变化的分岔图，如图1 1 所示。图中横轴表示系数，的取值范围，纵轴表示不同的 ，- 所对应的x ( t ) 。由图可见，当，- 由小到大的变化过程中，系统( 1 1 ) 出现由倍周期分岔通向 混沌的道路。 图1 1x ( t ) 随，变化的分岔图 由图还可以看出，当参数， 2 6 的时候，系统稳定在。= 0 这个不动点上；当参数 2 6 r 2 8 的时候，系统稳定在= 5 ( 1 一旦) 这个不动点上；参数，在一个很宽的区域，系 ， 统处于混沌状态。本文取，= 1 0 4 ，由数值计算得到的时域图和混沌吸引子分别如图1 2 ( a ) 、 ( b ) 所示。图( a ) 中横轴表示时间，纵轴分别表示变量x ( f ) 和x o f ) ，上图表示工( f ) ，下图表 示石( f 一力，图( b ) 横轴表示变量x ( f ) ，纵轴表示变量x ( t - r ) 。 7 东北师范大学硕士学位论文 州 i 7 5跖9 51 t ( a ) x ( o 和x ( t f ) 的时域波形图( b ) 延时混沌系统混沌吸引子 图1 2 延时混沌系统混沌状态数值计算结果 另外，在很宽区域内都可以使系统处于周期状态，本文取r = 7 9 时系统的相图如图 1 3 ( a ) 所示，此时工( f ) 的时域图如图1 3 ( b ) 所示。 (a)一周期相图(b)一周期时域图 图1 3 延时混沌系统一周期状态数值计算结果 这里通过理论分析，结合数值计算的方法分析了延时混沌系统的混沌特性，为下面的 研究提供了理论基础。 8 5 4 3 2 1 o 5 4 3 2 1 0 ( 1 ) x 一：) x 东北师范大学硕士学位论文 第二章变量反馈同步法实现延时混沌系统同步 2 1 延时混沌系统电路实现 对应于方程( 1 1 ) 的延时混沌系统电路如图2 1 所示5 1 5 1 。 图2 1 延时混沌系统电路图 电路中，运算放大器a 1 和电阻尼和民构成同相放大器，保证a 1 的输出电压甜o 一丁) 的幅值和甜( ，) 的幅值一致；运算放大器a 2 和电容c o 、e g g f l r 构成微分电路；运算放大器 a 3 与两个相同的电阻r 构成反向放大器；a 4 构成反相加法器；模拟乘法器m ( a d 5 3 4 ) 可实现非线性乘积项；电感、电容c 及电阻尼构成延时单元电路。通过改变c 滤波器 的级数i 和电感三、电容c 的大小，可以获得不同的延迟时间f 。当电感三和电容c 的大小 确定下来时，延迟时间f 与t 型l c 滤波器的级数i 近似成正比关系。本文中取i = 2 0 ， l = 5 m h ，c = 0 1 l l f ，对应于延迟时间r = 1 0 。电路图中所有运放均采用l f 3 5 3 ，所有工 作电压为1 2 v 。 由图2 1 电路得到电路的状态方程为： 詈一志( 删刊) + o 加2 ( ) ( 2 1 ) 电路中选墨= 3 8 k q ；恐= 4 8 1 f 2 ；蜀= 1 0 0 k q ；尽- - 1 k q ；民= 2 1 6 k o ；马= 2 0 0 f 2 ； r = 1 0 0 k q ；蜀= 6 2 m ；g = o 0 1 l l f ；三= 5 i i l h ；c = 0 1 u f ；对应方程( 2 1 ) 中的口= 等= 2 6 ； 9 东北师范大学硕士学位论文 0 2 r ：生：2 08 。 1 0 r , 电路l 】r 是可变电阻，小文取r - 9 6 1 5 f 2 对应系统中的参数r = 去= 1 0 4 。在这种情 况下，我们用数字不波器观测到的实验结果如图2 2 所示，其中2 2 ( a ) 表示的是状态变量” 和“( 卜f ) 的时域波形图，其中c h l 表示状态变晕u ( t ) ，c h 2 表示状态变量“一种。图22 ( b 表示的是延时混沌系统中( r ) - u ( t f ) 吸引子图，横轴表示状态变量“( f ) ，纵轴表示状态 变量u ( t f ) 。由图22 町以看出，“( f ) 与“0 一f 】大小一致，有延时现象，此时电路处于混 沌状态。 ( a ) m m 状w 域目 i b ) u ( 0 - u ( t n 引子图 c h i 女示u ( 0 - c h 2 表fn “一f l横轴小“r f ) ，纵轴表示f ) 幽2 2 延时混沌系统混沌状志实验结果 为了验证实验所得结果，我们利用数值计算得到如图23 所示结果，其中23 f a l 表不状 态变量( f ) 和x ( 卜r ) 的时域波形图，其中上图表示状态变量x ( z ) 的时域图，下图表示状态 变量r of ) 的时域图。图23 ( b ) 表示的是延时混沌系统中j ( f ) 和x ( 卜f ) 吸引子网，横轴表 示状态变量z ( f ) ，纵轴表示状态变量x ( t r ) 。 东北师范大学硕士学位论文 o m 】 【a 】“ 和巾一f ) 日f 域# 删( b ) 时混沌系统沌q | 7 幽2 3 延时；m 沌系统混沌状态数值计算结果 接下来，通过调节参数，相应于电路中的可变电阻r ，可以得到系统的周期状态， 如图z 4 ( a ) 所示，其中横轴表示u ( o ，纵轴表示“一f ) 。司样，为了验证实验结果，进行数 值计算得到的结果如图24 ( b ) 所示。 r “目月沌最统1 p q q l 7 女验结*c o ) 时m 系统i p 啦：1 7 m m ”* m 凹2 4 延时摧沌系统一周期横轴袅示“( f ) ，纵轴表示“p 一订 比较图2 2 、图2 3 以及图2 4 。r 以看出来，对于方程( 11 ) ，本文通过数值计算和实 验分别得到其混沌状态和周期态：两者相比较，结果基本一致。充分说明了此延时混沌系 统是完全可行的。 2 2 变量线性反馈同步法实现延时混沌系统同步 2 2 1 基本原理 该方法是德同学者k p y r a g a s 于- 1 9 9 3 年提出的，他借鉴于非线性连续混沌系统反馈控制 法的思想，设计出如图25 所示的同步方案： 东北师范大学硕士学位论文 设驱动系统是： 反馈信号是： 图2 5 变量反馈同步方案 j = f ( 少) s t t ) = k ( x - 协 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 这里x 、y er “，而k = d i a g ( k l ，k 2 ，k n ) n n ，s ( t ) 是- n 矢量。 响应系统为： 夕= f ( y ) + s ( f )( 2 4 ) 这种同步方法的原理可以解释为：通过反馈信号( 2 3 ) 的调制作用，响应系统( 2 4 ) 的演 化轨道逐渐靠近驱动系统的目标轨道，直到达到重合。当然式( 2 3 ) 的调节作用，要靠适当 地选择k i ( i = l ，2 ，n ) 。 变量反馈控制的同步方法简单有效，可以采用单变量、多变量甚至所有系统变量反馈 都可以，灵活多变，适用性较普遍，而且最大特点是不必对系统进行预先的计算机分析。 从实验技术上可行，易于实现，因而有很好的应用前景。很多学者都致力于变量反馈法的 研究，并且取得了很好的成绩，使两个混沌系统的同步效果更好，同步的速度更快。 2 2 2 同步数值计算 本小节利用数值计算的方法，通过改变控制系数k 的大小，可以获得驱动系统x ( f ) 与 响应系统y ( f ) 的误差曲线随控制系数k 的变化规律，如图2 6 所示。其中图2 6 ( a ) 是驱动系 统工( f ) 和响应系统y ( t ) 的误差曲线，其中横轴表示的是控制系数k 的变化，纵轴表示x ( f ) 与 y ( f ) 的差，可以看出，当控制系数k 大约等于9 的时候，x ( f ) - y ( f ) 趋进于0 ，这表明此时 两个系统达到同步状态。其中图2 6 ( b ) 是当控制系数k = 9 时，驱动系统x ( f ) 和响应系统y ( ，) 的相图，横轴表示驱动系统x ( f ) ，纵轴表示响应系统y ( f ) ，很明显图中直线呈4 5 。的对角线， 1 2 东北师范大学硕士学位论文 表明驱动和响应电路的输出信号相同。 ( 口) 川) 和y ( t ) 的误差曲线 x i i ) ( 6 ) k = 9 时x ( t ) 和y ( t ) 的相图 图2 6 变量反馈法实现延时混沌系统同步数值计算结果 2 2 3 同步电路实验 根据基本原理，我们选择方程( 1 1 ) 作为同步驱动系统，并设计了响应系统方程如下： y ( t ) = 一缈( f ) + 秒 一f ) ( 1 0 2 y ( t 一力) + j i ( x 9 ) 一y 0 ) ) ( 2 5 ) 对于驱动系统( 1 1 ) 和响应系统( 2 5 ) ，其中口= 2 6 ，= 1 0 4 ，7 = 1 。这样二者可以重新写成 下列形式： 驱动系统： 工( f ) = - 2 缸( f ) + 1 0 4 工 一f ) ( 1 一o 2 x ( t - 力) ( 2 6 ) 响应系统： y ( t ) = - 2 6 y ( f ) + 1 0 4 y o f ) ( 1 0 2 y 0 一f ) ) + 足( z ( f ) 一灭f ) )( 2 7 ) 下面，我们用电子线路实验来实现变量线性反馈同步方法实现延时混沌系统同步。选 择电路图2 1 作为驱动系统的电路，驱动系统变量( f ) 。同时搭建与其参数相同的电路系 统作为同步响应系统，响应接收系统变量是，( f ) ，得到对应的同步电路图如图2 7 所示。 东北师范大学硕士学位论文 图2 7 变量反馈同步法实现延时混沌系统同步实验电路 电路中，a 1 、a 2 、a 3 和a 4 构成驱动系统，a 5 、a 6 、a 7 和a 8 构成是啊应糸统。驱 动系统和响应系统中各元件的参数与图2 1 中相应的元件参数完全相同，即a = 2 6 ， ，= 1 0 4 ，f = 1 _ o 电路中a 9 和电阻r 8 、r 9 、墨。以及可变电阻r 。构成控制器，其中 兄= r = 5 k q 。墨o = 1 0 0 1 出，电路对应的状态方程为： 瓦d u = 一丽1 。百r 4 砸) 一乏砸一f ) + 志玖，一砌 ( 2 8 ) 等一去( 鲁v ( 力一乏v ( 卜力+ 斋岳伊( 卜力以( ) 叫( 功) ( 2 9 ) 通过调节可变电阻r 进而改变响应系统( 2 9 ) 中的控制系数后，k 与其他电阻的关系是 七= 丛r s r 。o 。实验发现，当r w = o q 时，由于两个系统中元件参数的不完全匹配性，两个系 统分别处于不同步的混沌状态。逐渐调节尺。，当r 。= 4 5 k q 时( 相对于控制系数尼= 9 时) ， 用示波器采集到的两个系统的时域图和相图，如图2 8 所示。其中图2 8 ( a ) 是驱动系统“ 1 4 东北师范大学硕士学位论文 和响应系统v ( f ) 同步时的时域图，上图表示驱动系统 ( f ) ，下图表示响应系统v ( f ) 。图2 8 ( b ) 是驱动系统“( f ) 和响心系统v ( f ) 同步时的相圈，其中横轴表示驱动系统( f ) ，纵轴表示响应 系统嘶) 。由圈可见，图28 ) 呈现4 5 。的对角线，表明驱动和响应电路的输出信号相等。 无论从时域图还是相图都可以看出此时两个系统是同步的。实验中还可以观察到凡越大， 两个系统的同步效果越好。 ( a 】w 步n # 目( b ) 同步h 月幽 图2 8 变量反馈l 刮步法实现延时混沌系统同步实验结果 本章我们利用变量反馈同步法来实现延时混沌系统同步，数值计算和电路实验的结果 均表明当控制系数k 9 时可达到同步。 东北师范大学硕士学位论文 第三章参数扰动同步方法实现延时混沌系统同步 研究表明，除了对混沌系统的参量进行同步控制外，还可以采用对混沌系统的某个参 数或某些参数进行扰动来实现混沌同步。本章将分别用非线性反馈信号和线性反馈信号作 为微小扰动信号，在方程( 1 1 ) 中选取对参数口作为被控制参数，对其加入扰动，实现延时 混沌系统同步。 3 1 非线性扰动实现延时混沌系统同步 本小节使用非线性反馈信号作为扰动信号来实现延时混沌系统同步，即把方程( 1 1 ) 中 的口改为： 口。= a ( 1 + k ( y 2 ( f ) - - x 2 ( f ) ) )( 3 1 ) 式( 3 1 ) d p 口为系统原始参数，j i 为扰动幅度。调整参数k ，就可以实现系统的同步。选择方 程( 1 1 ) 作为同步驱动系统，并设计响应系统如下： y ( t ) = - a ( 1 + k ( y 2 ( f ) - - x 2 0 ) ) ) 少( f ) + ，) ，o 一力( 1 0 2 y ( f f ) ) ( 3 2 ) 其中口= 2 6 ，= 1 0 4 ，取延迟时间f = 1 。 3 1 1 同步数值计算 首先利用数值计算的方法得到当尼变化时x ( ，) 和y ( t ) 的差，如图3 1 所示。其中图3 1 ( a ) 是驱动系统x ( f ) 与响应系统y ( f ) 的误差曲线图，其中横轴表示控制系数k ，纵轴表示驱动 系统x ( f ) 和响应系统y ( f ) 的差。由图3 1 ( a ) 可知，当控制系数后大约等于o 0 2 的时候， 工( f ) 一y ( t ) 趋近于0 ，说明此时驱动系统和响应系统达到同步状态。图3 1 ( b ) 是当控制系数 k = o 0 2 的时候，驱动系统x ( f ) 与响应系统y ( f ) 同步时的相图，其中横轴表示驱动系统x ( f ) ， 纵轴表示响应系统y ( f ) ，此图呈4 5 。的对角线，表明驱动x ( f ) 和响应电路y ( f ) 的输出信号相 等。 1 6 东北师范大学硕士学位论文 譬 考 kx ( t ) ( a ) x ( f ) - y ( f ) 随k 变化的误差曲线( b ) k = 幻0 2 时“f ) 与j ，( f ) 的相图 图3 1 非线性微扰同步法实现延时混沌系统同步数值计算结果 由图3 1 可以看出，只要当控制系数k 大于o 0 2 的时候，驱动系统和响应系统可以达 到同步，数值计算的结果显示非线性反馈信号作为扰动信号实现延时混沌系统同步是完全 可行的。 3 1 2 同步电路实验 在数值计算的基础上，我们用电路来实现用非线性扰动同步法实现延时混沌系统的同 步。根据驱动系统方程( 1 1 ) ；g l 前面所设计的响应系统方程( 3 2 ) ，得到同步电路实验图，如 图3 2 所示。 图3 2 非线性扰动同步法实现延时混沌系统同步电路图 1 7 东北师范大学硕士学位论文 电路中，a i 、a 2 、a 3 和a 4 构成驱动系统，a 5 、a 6 、a 7 和a 8 构成响应系统。驱动 系统和响应系统中各元件的参数与图21 中相应的元件参数完全相同，即口= 2 6 ，1 0 4 f = 1 ，取驱动系统的变量为u ( o ，响应接收系统的变量为v ( f ) 。电路中a 9 与电阻咫、r 构 成反向加法器ta 1 0 与电阻和且构成反相放大器。电路巾的控制系数k 与其他电阻的 关系是女5 蠹；3 i ，其中取r = i k q ，r 2 凡= 1 0 k n ，r = r 一_ 1 0 0 k n 。进而得到电路 的状态方程为： 驱动系统： 等一丽1 。i r 4 呻卜鲁岬一r ) + 而岳“2 p 一呦 ( 3 3 ) 接收系统： 等= 一丽。百r 4 ( 1 + 帅2 一“2 f 1 删沪i r 4v ( f 一砷+ 而岳v 砸一功 ( 3 4 ) 实验过程中，通过调节可变电阻r 。进而改变接收系统中的控制系数k 。通过实验观测 发现，当