二实数理论PPT课件.ppt

1 第二章实数理论 郇中丹2006 2007年度第一学期 2 为什么要讲实数理论 以往教材上关于实数处理的方式 以Dedekind分割或Cauchy基本列方式定义以公理化方式定义实数来回避直接定义实数上述处理方式的缺陷 分割和基本列的方式定义需要引入一系列的工具 并且与中小学教材脱节公理化的方式使得学生困惑 实数变的难以理解了应当与中小学教材衔接并讲清实数 讲清十进小数 3 实数理论 1数系理论发展简史 2定义实数遇到的困难 3我们如何定义实数 4有理数系的性质 5实数定义 6实数的完备性 7实数的运算性质 8记号和实数的进一步性质 4 1数系理论发展简史 有趣的现象实数理论简史引入实数的方法数系理论 5 有趣的现象 数的使用几乎与人类的历史一样长 有人通过观察推断 动物有数感 在人类文明史中 数的概念是逐步扩展开来的 然而数的严格意义上的理论直到在十九世纪后半叶才完成 虽然欧几里德几何原本中已经讨论了可公度比和无公度比 但没有定义什么叫无公度比的相等建立数系理论为了完善数学分析理论建立数系理论是要保证数学的真实性 非欧几何的出现 几何失去了其真实性 数学在哲学意义上的真实性应当建立在算术基础上 Gauss1817 6 实数理论 是指以有理数系为基础建立实数理论以往的直观想法 有理数的极限 然而必须先存在才能谈极限WilliamR Hamilton 1833 1835提出无理数的第一个处理 以时间作为实数的基础 提出用将有理数分成两类的方法定义无理数Weierstrass 1857 M ray 1869 Dedekind 1872 Cantor 1873 来源于KlineIVP46 47 7 引入实数的方法 Weierstrass 有自然数出发定义正有理数 然后用无穷多个有理数集合定义实数Dedekind 有理数分割Canter 有理数基本列等价类 8 数系理论 欧几里德的 几何原本 中的比例理论以及讨论了现在有理数中的相关结果 但是在比例线段的术语下讨论的 Muller1855 一般算术 和Grassmann1861 算术 中有讨论 但是讲得不清楚Peano1889 算术原理新方法 引入Peano公理系统解决了这个问题 他用了许多符号 和N0表示自然数集 9 2定义实数遇到的困难 如何从有限小数过渡到无限小数基本想法都是利用有理数序列逼近 极限 这就有两个问题引入序列和极限等相关的概念即便如此 也要先定义清楚作为极限的实数虽然知道实数的众多性质 如何写出一个逻辑上正确 清晰和不难接受的实数理论仍然有待努力 10 3我们如何定义实数 与中学实数定义衔接 用十进小数定义实数系 然后建立相关的性质建立实数的序建立实数的完备性利用有理数的运算和实数的完备性定义实数的运算 11 4有理数系的性质 自然数系及其运算有理数系的建立有理数的运算性质有理数的序性质和稠密性质有理数的不完备性 12 自然数系及其运算 已经完成了逻辑地引入自然数系N 0 1 2 的过程 上一章引入的 加法运算就是数数 乘法运算就是一类特殊数数的方法 减法 对小的数加多少的到大的数除法 分组带余除法 确定组数和余数归纳法是论证工具 13 有理数系Q的建立 有理数可以看成是由为了在自然数系中加 减 乘和除封闭而得到的最小集合自然数到有理数的逻辑扩展 由自然数及其笛卡尔积建立整数使得加 减 乘封闭 由整数及其笛卡尔积建立有理数使得加 减 乘和除封闭自然数到有理数的直观扩展 引入负数和所有正整数份数 14 有理数的运算性质 加法和乘法满足交换律 a b b a a b b a与结合律 a b c a b c a b c a b c乘法与加法之间满足分配律 a b c a b a c0是加法零元 a a 0 a1是乘法单位元 a a 1 a每个数a有负数 a a a 0每个非零数a有倒数1 a a 1 a 1 15 有理数序的三歧性和稠密性 有理数序的三歧性 a b Q 则ab中有且仅有一种情形成立序与加法和乘法的关系 a b c Q a b a c b c a b c Q且c 0 a b a c b c记号 a b表示ab或a b有理数的稠密性 a b Q a b c Q a c b 16 有理数的不完备性 上界 设A Q A 若 b Q使得 a A a b 就称b为A的一个上界 并且说A是有上界的上确界 设A Q A b Q叫做A的上确界 如果 1 b是A的上界 2 cc上确界的惟一性序的完备性 任何有上界的集合都有上确界有理数的不完备性 存在有理数有上界而没有上确界的非空子集 例如 a Q a 0 a 2 2 习题 17 5实数定义 实数的十进小数定义有理数的十进小数表示实数的序 18 实数的十进小数定义 实数的十进小数定义 实数集合R定义为 x N Z n 0 x n 0 9 k 0 n k x n 0 x k 叫作x的第k位小数 记作xk x也写成 x x 0 x1x2 记 x 0 x1x2 叫作x的小数部分 n 0 sn x x 0 x1x2 xn叫作x的n位小数 舍值 近似 也记s0 x x 19 有理数的十进小数表示 如果a Z 自然地对应x x 0 a k 0 x k 0 a Q 如果a有十进小数表示 a p 0 a1 an 对应的x x 0 p 0 k n x k ak k n x k 0 称之为有限小数 用Qf表示R中所有有限小数的集合 R中的其他数叫无限小数 a Q 其十进小数是无限的 则其十进小数是循环小数 有引入有理数十进小数方式 其十进小数不会有9循环 习题 如此a p 0 a1 an 自然对应x x 0 p k 0 x k ak注意这里用到整数部分而可能引起的与中学十进小数表示的差异 20 实数的序 实数序的定义 x y R x0时 kx注 当x y是有限小数时 与有理数中的序一致实数的序具有三歧性 x y R 则xy中有且仅有一种情形成立证明 任取x y R 若x y 由整数序的三歧性 不会有xy成立 若x y 则 n N x n y n 有归纳法 可设n是满足这一性质的最小自然数 因而由实数序的定义和整数序的三歧性可得有且仅有xy中的一个成立 21 6实数的完备性 实数集的上界和上确界实数的完备性实数完备性的推论常用记号和名词 22 实数集的上界和上确界 上界 设A R A 若 b R使得 a A a b 就称b为A的一个上界 并且说A是上有界的上确界 设A R A b R叫做A的上确界 如果 1 b是A的上界 2 cc事实1 确界的惟一性事实2 整数子集具有完备性 并且上确界在所讨论的集合中 23 实数的完备性 I R的非空有上界的子集必有上确界 证明 设A R非空且有上界 取定A的一个上界z 下面归纳地构造A的上确界b 1 考虑整数集合A0 x 0 x A 则x 0 z 0 由整数序的完备性 A0有在其中的上确界b0 即存在x A x 0 b0 很自然地 b0 R 若b0是A的上界 取b b0就得到了上确界 否则考虑整数集A0 x 1 x A x b0 且A0有上界9 24 实数的完备性 II 2 然后重复上面的步骤做下去 在第k步得到b0 0 b1 bk满足下列性质 x A x 0 b0 x A满足x 0 b0 h 0 k 1 Ah x h 1 x A x b0 0 b1 bh h 1 k 1 bh 1是Ah的上确界并且 x A满足x n bn n 0 h若b0 0 b1 bk是A的上界 令b b0 0 b1 bk 就得到了上确界 否则考虑整数集Ak x k 1 x A x b0 0 b1 bk 其有上界9 设bk 1为Ak的上确界 则 x A满足x h bh h 1 k 1 由归纳法就得到 25 实数的完备性 III 3 下列两种可能性之一必成立 1 A有有限小数上确界b b0 0 b1 bn 2 得到b N Z b 0 b0 Z k 0 b k bk 0 9 有无限多个bk 0 满足 x A x 0 b0 x A满足x 0 b0 h N Ah x h 1 x A x b0 0 b1 bh h N bh 1是Ah的上确界并且 x A满足x n bn n 0 h下面证明 由b可以构造出A的上确界 26 实数的完备性 IV 4 考虑两种情形 1 存在k 0 n k bk 9 如果k 1 bk 11 取b b0 0 b1 bk 1 1 为简单这里仅给出k 1时的证明 k 1情形的证明留作习题 由 x A x 0 b0c 0 则x c 如果c 0 b0 由 m 0 c m c 因此b是A的上确界 2019 12 27 27 28 实数的完备性 V 6 假设 2 成立 则b R 令b b 首先说明b是上界 用反证法 若b不是A的上界 则 x A x b 这就存在k 0 jb k bk 这与bk的取法矛盾 证明b是A的上确界 任取c R cc 这就得到b是A的上确界 这样实数的完备性就建立了 29 实数完备性的推论 实数集的下界和下确界 设A R A 若 b R使得 a A a b 就称b为A的一个下界 并且说A是下有界的设b R是A R的下界 如果 c b a A a c 就称b为A的下确界推论1 R的非空有下界的子集必有下确界 推论2 R的非空子集的上确界和下确界是惟一的 即至多只有一个 上述两个推论的证明留作习题 30 常用记号和名词 集合A的上 下确界分别记为supA和infA 有时也分别叫作A的最小上界和最大下界如果supA A 称supA为A的最大数 记supA为maxA 类似地 当infA A时 称之为A的最小数 记为minA 当集合A没有上界时 记supA 或 也说A的上确界是正无穷 类似地 若集合A无下界 记infA 说A的下确界是负无穷如果A上下都有界 就说A是有界的 否则就说A无界 31 上确界的简单性质 设A B是R的非空子集 则1 若A B 则supA supB 2 若 x A y B满足x y 则supA supB 特别若A xa a I 和B ya a I 满足xa ya 则supA supB 3 x R x sup sn x n N 32 7实数的运算性质 加法定义负元和减法实数的符号和绝对值乘法定义倒数和除法 33 加法定义 定义 设x y R 定义x与y的和为x y sup sn x sn y n N 这个定义是有意义的 集合 sn x sn y n N 且有上界 x y 2 当x y Q为有限小数时 上述加法与有理数的加法一致 34 负元和减法 负元 设x R 若x为有限小数 即存在k x k 0 而 n k x n 0 负元 x定义为 k 0时 x 0 x 0 x n 0k 0时 x 0 x 0 1 x k 10 x k n 1 k 1 x n 9 x n n k x n 0 即k 0时 x x k 0时 x x 1 0 9 x1 9 xk 1 10 xk 若x为无穷小数 负元 x定义为 x 0 x 0 1 n 0 x n 9 x n 定义 设x y R 定义x与y的差x y为x y 命题1 x R x x x x 0 35 实数的符号和绝对值 符号函数sgn x R 若x 0 sgn x 1 若x 0 sgn x 1 sgn 0 0 绝对值函数 x R 如果x 0 x的绝对值 x x 否则 x x定义 1 x x 1 x 1 x x 1 x 0 x x 0 0命题 1 x xsgn x x sgn x 2 x x sgn x x sgn x sn x A A 若 b R 36 乘法定义 非负实数的乘法 x y R x 0 y 0 定义x与y的乘积为 xy x y sup sn x sn y n N 这个定义是有意义的 集合 sn x sn y n N 且有上界 x 1 y 1 一般情形 xy x y sgn x sgn y x y 当x y Q为有限小数时 上述乘法与有理数的乘法一致 37 倒数和除法 倒数 对于x R x 0 当x 0时 x的倒数定义为 1 x sup sn 1 sn x 10 n n N 当x 0时 x的倒数为 1 x 1 x 除法 对于x y R y 0 定义x与y的商为x y x 1 y 命题2 x R x 0 x 1 x 1 38 实数的运算性质 加法和乘法满足交换律 a b b a a b b a与结合律 a b c a b c a b c a b c乘法与加法之间满足分配律 a b c a b a c0是加法零元 a a 0 a1是乘法单位元 a a 1 a每个数a有负数 a a a 0每个非零数a有倒数1 a a 1 a 1 39 实数序的三歧性和稠密性 实数序的三歧性 a b R 则ab中有且仅有一种情形成立序与加法和乘法的关系 a b c R a b a c b c a b c R且c 0 a b a c b c记号 a b表示ab或a b实数的稠密性 a b R a b c R Q d Q a c d b 40 实数的运算性质的证明 系统的证明留作讨论班的内容 作为同学有余力时研究的一个问题实数运算性质的证明 附录 实数序性质的证明 附录 41 习题三 I 1 证明 a Q a 0 a 2 2 是Q中的有上界的非空集合 但在Q中没有上确界 2 设x y R 证明 sn x sn y n N 且有上界 x y 2 3 证明 x R x x x x 0 4 证明实数的稠密性 a b R a b c R Q d Q a c d b 5 证明有上界的非空整数子集有在其中的上确界 42 习题三 II 6 设x R x 0 证明 x 1 x 1 7 证明确界的惟一性 上确界是最小上界和下确界是最大下界 8 设A B是R的非空子集 证明 1 若A B 则supA supB 2 若x A y B满足x y 则supA supB 特别若A xa a I 和B ya a I 满足xa ya 则supA supB 43 习题三 III 3 infA sup A supA inf A 其中 A x x A 4 inf xa a I inf ya a I inf xa ya a I sup xa ya a I sup xa a I sup ya a I 9 x R x sup sn x n N 10 证明 a b R 如果a b与a b同时成立 则a b 11 给出循环小数的定义 证明 循环小数自然地等于一个有理数 反之亦然 44 8记号和实数的进一步性质 确界的e刻划记号实数集的分离性闭区间套收缩闭区间套 45 确界的e刻划 上确界 b R为集合A的上确界当且仅当 e 0 x A 使得x b e 下确界 a R为集合A的下确界当且仅当 e 0 x A 使得x0 x A 使得x M 无下界 非空集合A无下界当且仅当 M 0 x A 使得x M 46 记号 区间 a b R aa a x R x a R a x R x a a 邻域 a R a e a e x R x a e 称为a的e邻域 简称邻域 空心邻域 a R a e a e a x R 0 x a e 称为a的e空心邻域 简称空心邻域 47 实数集的分离性 命题1 设A B R非空 如果 a A b B 都有a b 则 c满足 a A b B a c b 证明 取定b B 由 a A a b可知A有上界 由完备性 c supA R 在利用B的每个点都是A的上界和c是A的最小上界 就有 b B c b 48 闭区间套 闭区间