强烈推荐初二动点问题解析与专题训练详尽.doc

初二动点问题解析1. 如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？ 分析：（1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ（2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE（3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可解答：解：（1）四边形PQCD平行为四边形PD=CQ24-t=3t解得：t=6即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形（2） 过D作DEBC于E则四边形ABED为矩形BE=AD=24cmEC=BC-BE=2cm四边形PQCD为等腰梯形QC-PD=2CE即3t-（24-t）=4解得：t=7（s）即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形（3）由题意知：QC-PD=EC时，四边形PQCD为直角梯形即3t-（24-t）=2 解得：t=6.5（s）即当t=6.5（s）时，四边形PQCD为直角梯形点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中（3） 如图，ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的外角平分线CF于点F，交ACB内角平分线CE于E（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想ABC的形状并证明你的结论分析：（1）根据CE平分ACB，MNBC，找到相等的角，即OEC=ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形（3）利用已知条件及正方形的性质解答解答：解：（1）CE平分ACB， ACE=BCE，MNBC，OEC=ECB，OEC=OCE，OE=OC，同理，OC=OF，OE=OF（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形如图AO=CO，EO=FO，四边形AECF为平行四边形，CE平分ACB，ACE= ACB，同理，ACF= ACG，ECF=ACE+ACF= （ACB+ACG）= 180=90，四边形AECF是矩形（3）ABC是直角三角形四边形AECF是正方形，ACEN，故AOM=90，MNBC，BCA=AOM，BCA=90，ABC是直角三角形点评：本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用1.如图，直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点NP、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动设点Q运动的时间为t秒（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（4）探究：t为何值时，PMC为等腰三角形分析：（1）依据题意易知四边形ABNQ是矩形NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解；ABQN，CMNCAB，CM：CA=CN：CB，（2）CB、CN已知，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM；四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；（3）可先根据QN平分ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值然后根据得出的t的值，求出MNC的面积，即可判断出MNC的面积是否为ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值综上所述可得出符合条件的t的值解答:解：（1）AQ=3-tCN=4-（3-t）=1+t 在RtABC中，AC2=AB2+BC2=32+42AC=5在RtMNC中，cosNCM= = ，CM= （2）由于四边形PCDQ构成平行四边形PC=QD，即4-t=t解得t=2（3）如果射线QN将ABC的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB即： （1+t）+1+t= （3+4+5）解得：t= （5分）而MN= NC= （1+t）SMNC= （1+t）2= （1+t）2当t= 时，SMNC=（1+t）2= 43不存在某一时刻t，使射线QN恰好将ABC的面积和周长同时平分（4）当MP=MC时（如图1）则有：NP=NC 即PC=2NC4-t=2（1+t）解得：t= 当CM=CP时（如图2）则有：（1+t）=4-t解得：t= 当PM=PC时（如图3）则有：在RtMNP中，PM2=MN2+PN2而MN= NC= （1+t）PN=NC-PC=（1+t）-（4-t）=2t-3 （1+t）2+（2t-3）2=（4-t）2解得：t1= ，t2=-1（舍去）当t= ，t= ，t= 时，PMC为等腰三角形点评：此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法2.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止已知在相同时间内，若BQ=xcm（x0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由分析：以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MCBC即x+3x20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+NDAD即2x+x220cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm所以可以根据这两种情况来求解x的值以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N的右侧时，AN=MC，BQ=PD所以可以根据这些条件列出方程关系式如果以P，Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+NDAD即2x+x220cm，BQ+MCBC即x+3x20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x0这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形解答：解：（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1= -1，x2=- -1（舍去）因为BQ+CM=x+3x=4（ -1）20，此时点Q与点M不重合所以x= -1符合题意当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5此时DN=x2=2520，不符合题意故点Q与点M不能重合所以所求x的值为 -1（2）由（1）知，点Q只能在点M的左侧，当点P在点N的左侧时，由20-（x+3x）=20-（2x+x2），解得x1=0（舍去），x2=2当x=2时四边形PQMN是平行四边形当点P在点N的右侧时，由20-（x+3x）=（2x+x2）-20，解得x1=-10（舍去），x2=4当x=4时四边形NQMP是平行四边形所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形（3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F由于2xx，所以点E一定在点P的左侧若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，即2x-x=x2-3x解得x1=0（舍去），x2=4由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形点评：本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点3.如图，在梯形ABCD中，ADBC，B=90，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开始，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（1）当t为何值时，四边形MNCD是平行四边形？（2）当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？分析：（1）根据平行四边形的性质，对边相等，求得t值；（2）根据等腰梯形的性质，下底减去上底等于12，求解即可解答：解：（1）MDNC，当MD=NC，即15-t=2t，t=5时，四边形MNCD是平行四边形；（2）作DEBC，垂足为E，则CE=21-15=6，当CN-MD=12时，即2t-（15-t）=12，t=9时，四边形MNCD是等腰梯形点评：考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容4.如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，C=90，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t（s）（1）设BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系；（2）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？分析：（1）若过点P作PMBC于M，则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：s= PMQB=96-6t；（2）本题应分三种情况进行讨论，若PQ=BQ，在RtPQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间t求出；若BP=BQ，在RtPMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间t求出；若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间t求出解答：解：（1）过点P作PMBC于M，则四边形PDCM为矩形PM=DC=12，QB=16-t，s= QBPM= （16-t）12=96-6t（0t ）（2）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况： 若PQ=BQ，在RtPMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得 ； 若BP=BQ，在RtPMB中，PB2=（16-2t）2+122，由PB2=BQ2得（16-2t）2+122=（16-t）2，此方程无解，BPPQ若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得 ，t2=16（不合题意，舍去）综上所述，当 或 时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象5.直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线OBA运动（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t（秒），OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当S= 485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标分析：（1）分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标；（2）因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q由O到A的时间是8秒，点P的速度是2，从而可求出，当P在线段OB上运动（或0t3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2，当P在线段BA上运动（或3t8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PDOA于点D，由相似三角形的性质，得 PD=48-6t5，利用S= 12OQPD，即可求出答案；（3）令S= 485，求出t的值，进而求出OD、PD，即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标解答：解：（1）y=0，x=0，求得A（8，0）B（0，6），（2）OA=8，OB=6，AB=10点Q由O到A的时间是 81=8（秒），点P的速度是 6+108=2（单位长度/秒）当P在线段OB上运动（或Ot3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2当P在线段BA上运动（或3t8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，如图，做PDOA于点D，由 PDBO=APAB，得PD= 48-6t5S= 12OQPD=- 35t2+245t（3）当S= 485时， 4851236点P在AB上当S= 485时，- 35t2+245t= 485t=4PD= 48-645= 245，AD=16-24=8AD= 82-(245)2= 325OD=8- 325= 85P（ 85， 245）M1（ 285， 245），M2（- 125， 245），M3（ 125，- 245）点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象动点问题专题训练1、如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动AQCDBP若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？（2）若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？2、直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止点沿线段运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线运动（1）直接写出两点的坐标；（2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式；xAOQPBy（3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=2x8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作P.（1）连结PA，若PA=PB，试判断P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？ 4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H （1）求直线AC的解析式； （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位秒的速度向终点C匀速运动，设PMB的面积为S（S0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当 t为何值时，MPB与BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值 ACBPQED图165在RtABC中，C=90，AC = 3，AB = 5点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止设点P、Q运动的时间是t秒（t0）（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ；（2）在点P从C向A运动的过程中，求APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值 6如图，在中，点是的中点，过点的直线从与重合的位置开始，绕点作逆时针旋转，交OECBDAlOCBA（备用图）边于点过点作交直线于点，设直线的旋转角为（1）当 度时，四边形是等腰梯形，此时的长为 ；当 度时，四边形是直角梯形，此时的长为 ；（2）当时，判断四边形是否为菱形，并说明理由ADCBMN7如图，在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为秒（1）求的长（2）当时，求的值（3）试探究：为何值时，为等腰三角形8如图1，在等腰梯形中，是的中点，过点作交于点，.（1）求点到的距离；（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.当点在线段上时（如图2），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；当点在线段上时（如图3），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.ADEBFC图4（备用）ADEBFC图5（备用）ADEBFC图1图2ADEBFCPNM图3ADEBFCPNM（第25题）9如图，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4）， 点C在第一象限动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿ABCD匀速运动， 同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动， 设运动的时间为t秒(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在（1）中当t为何值时，OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿ABCD匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由1数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由ADFCGEB图1ADFCGEB图2ADFCGEB图311已知一个直角三角形纸片，其中如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点，与边交于点xyBOA（）若折叠后使点与点重合，求点的坐标；xyBOA（）若折叠后点落在边上的点为，设，试写出关于的函数解析式，并确定的取值范围；（）若折叠后点落在边上的点为，且使，求此时点的坐标 xyBOA12图（1）ABCDEFMN问题解决如图（1），将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，重合），压平后得到折痕当时，求的值类比归纳在图（1）中，若则的值等于 ；若则的值等于 ；若（为整数），则的值等于 （用含的式子表示）联系拓广图（2）NABCDEFM 如图（2），将矩形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点重合），压平后得到折痕设则的值等于 （用含的式子表示）1解：（1）秒，厘米，厘米，点为的中点，厘米又厘米，厘米，又， ，又，则，点，点运动的时间秒，厘米/秒（2）设经过秒后点与点第一次相遇，由题意，得，解得秒点共运动了厘米，点、点在边上相遇，经过秒点与点第一次在边上相遇2解（1）A（8，0）B（0，6）（2）点由到的时间是（秒）点的速度是（单位/秒）当在线段上运动（或0）时， 当在线段上运动（或）时，,如图，作于点，由，得， （3）3解：（1）P与x轴相切. 直线y=2x8与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，8），OA=4，OB=8.由题意，OP=k，PB=PA=8+k.在RtAOP中，k2+42=(8+k)2，k=3，OP等于P的半径，P与x轴相切.（2）设P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P在线段OB上时,作PECD于E.PCD为正三角形，DE=CD=，PD=3， PE=.AOB=PEB=90， ABO=PBE，AOBPEB，.当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,8)，k=8，当k=8或k=8时，以P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形. 同理，四边形也是平行四边形在与中分6分7分类比归纳（或）； 10分联系拓广12分解：（1）1，； （2）作QFAC于点F，如图3， AQ = CP= t，由AQFABC， 得 ACBPQED图4，即（3）能 当DEQB时，如图4 DEPQ，PQQB，四边形QBED是直角梯形 此时AQP=90ACBPQED图5AC(E)BPQD图6GAC(E)BPQD图7G由APQABC，得，即 解得 如图5，当PQBC时，DEBC，四边形QBED是直角梯形此时APQ =90由AQPABC，得 ，即 解得（4）或点P由C向A运动，DE经过点C连接QC，作QGBC于点G，如图6，由，得，解得点P由A向C运动，DE经过点C，如图7，】解（1）30，1；60，1.5； （2）当=900时，四边形EDBC是菱形. =ACB=900，BC/ED.ADCBMN CE/AB, 四边形EDBC是平行四边形. 在RtABC中，ACB=900，B=600,BC=2,A=300.AB=4,AC=2.AO= . 在RtAOD中，A=300，AD=2.BD=2.BD=BC.又四边形EDBC是平行四边形，四边形EDBC是菱形 7解：（1）如图，过、分别作于，于，则四边形是矩形 在中， 在中，由勾股定理得， （图）ADCBKH