数据模型与决策第9章-模糊系统.ppt

9模糊系统 FuzzySystem 绪论 一 什么是模糊数学 二 模糊数学的产生与基本思想 三 模糊数学的发展 四 为什么研究模糊数学 用数学的眼光看世界 可把我们身边的现象划分为 1 确定性现象 如水加温到100oC就沸腾 这种现象的规律性靠经典数学去刻画 2 随机现象 如掷筛子 观看那一面向上 这种现象的规律性靠概率统计去刻画 3 模糊现象 如 今天天气很热 小伙子很帅 等等 此话准确吗 有多大的水分 靠模糊数学去刻画 1 什么是模糊系统 一个路人问一位智者 要走几小时才能到达某地 智者默不作答 等过路人走了一小段路以后 他才把那人叫回 答以时间 赞成说话要有根据回答十分精确反对说话要灵活处理路人又没问精确时间 1 1从 伊索寓言 的故事开始 3小时左右 模糊性日常生活中 早已运用自如科学分析中 理论却还未完善模糊理论模糊集 模糊逻辑 模糊数 历史20c60s 奠定理论基础L A Zadeh FuzzySet 1965 20c70s 广泛应用于控制领域荷兰 热水站 传统方法难以控制日本 地铁列车自动运转 自来水厂净化处理 秃子悖论 天下所有的人都是秃子 设某人头发根数为n 当n 1 即该人头上只有一根头发 显然该人一定是秃子 结论正确 若某人头发根数n k时为为秃子 归纳假设 那么当n k 1 即该人头上只比秃子多一根头发 当然该人亦为秃子 结论 天下所有的人都是秃子 注意 这个结论是由数学归纳法证明的 那么是归纳法不对还是现实就是如此 1 2从精确到模糊 精确答案确定 要么是 要么不是f A 0 1 他是学生 他不是学生 模糊答案不定 也许是 也许不是 也许介于之间 A U 0 1 他是成年人 他不是成年人 他大概是成年人 模糊概念 从属于该概念到不属于该概念之间无明显分界线 20岁左右 原集合 年龄 17 18 19 20 21 22 23 20岁左右 这个模糊集可以表示为 0 8 18 0 9 19 1 20 0 9 21 0 8 120 6 17 0 7 18 0 8 19 1 20 0 9 21 0 7 22 0 6 23 隶属度 0 1 集合元素 1 3将语言转化为模糊表示 老年 50岁以下不是老年70岁以上是老年年龄越大 被认为是老年的根据越充分 考虑年龄集U 0 100 A 年老 A也是一个年龄集 u 20 A 40呢 查德给出了 年老 集函数刻画 1 0 U 50 100 再如 B 年轻 也是U的一个子集 只是不同的年龄段隶属于这一集合的程度不一样 查德给出它的隶属函数 1 0 25 50 U B u 共同特点 模糊概念的外延不清楚 术语来源 Fuzzy 毛绒绒的 边界不清楚的 模糊 不分明 弗齐 弗晰 勿晰 模糊概念导致模糊现象 模糊数学就是用数学方法研究模糊现象 年轻 重 热 美 厚 薄 快 慢 大 小 高 低 长 短 贵 贱 强 弱 软 硬 阴天 多云 暴雨 清晨 礼品 2 模糊数学的产生与发展 2 1模糊数学的产生 1965年 L A Zadeh 扎德 发表了文章 模糊集 FuzzySets InformationandControl 8 338 353 事物的复杂性与精确性的矛盾是当代科学的一个基本矛盾 由此促使着模糊数学的产生和发展 模糊 并非坏事 在有些情况下它比精确更有意义 会带来更好的效果 如模糊描述人的特征 对人进行模糊综合评价 郑板桥讲 难得糊涂 实际上包含了难得模糊的哲理 2 2基本思想 用属于程度代替属于或不属于 某个人属于秃子的程度为0 8 另一个人属于秃子的程度为0 3等 任何事物的发展都有一个从量变到质变的过程 这个过程用经典数学很难描述 模糊数学的发明完成了这一使命 1 给数学 禁区 的各门学科 如社会 人文学科等提供新的语言和工具 2 使计算机能仿效人脑对复杂系统进行识别和判断 提高自动化水平 使电脑更 聪明 2 3模糊数学的发展 至今 数学的发展已经历三代 1 第一代数学 经典数学 研究和处理精确的必然现象 2 第二代数学 统计数学 研究和处理事物偶然性 随机性 3 第三代数学 模糊数学 研究和处理事物的模糊性 它们都是不确定数学 是精确 确定 数学的延伸和发展 FuzzyMaths 专门用来处理和研究模糊性事物的一种新的数学方法 1965年美国加州大学查德 L A Zadeh 教授发表 FuzzySets 一文 标志其诞生 2 3模糊数学的发展 1975年之前 发展缓慢 1980以后发展迅速 1990 1999FuzzyBoom 杂志种类 1978年 Int J ofFuzzySetsandSystems 每年1卷共340页 99年8卷每卷480页 Int J ofApproximateReasoning Int J FuzzyMathematics Int J Uncertainty Fuzziness knowledge basedSystems IEEE系列杂志 主要杂志25种 涉及模糊内容20 000余种 国际会议 IFSA Int FuzzySystemsAssociation EUFIT NAFIP Fuzzy IEEE IPMU 模糊代数 模糊拓扑 模糊逻辑 模糊分析 模糊概率 模糊图论 模糊优化等模糊数学分支 涉及学科 分类 识别 评判 预测 控制 排序 选择 模糊产品 洗衣机 摄象机 照相机 电饭锅 空调 电梯 人工智能 控制 决策 专家系统 医学 土木 农业 气象 信息 经济 文学 音乐 国内状况 1976年 潘学海 弗齐集合论 计算机应用及应用数学 1980年 汪培庄 模糊数学简介 数学的实践与认识 1981年 模糊数学创刊 2 4为什么研究模糊数学 复杂性要求 Asthecomplexityofasystemincreases ourabilitytomakepreciseandyetsignificantstatementsaboutitsbehaviordiminishesuntilathresholdisreachedbeyondwhichthepreciseandsignificancebecomemutuallyexclusivecharacteristics 不相容原理 IncompatibilityPrinciple 人工智能的要求 取得精确数据不可能或很困难 没有必要获取精确数据 结语 模糊数学的产生不仅形成了一门崭新的数学学科 而且也形成了一种崭新的思维方法 它告诉我们存在亦真亦假的命题 从而打破了以二值逻辑为基础的传统思维 使得模糊推理成为严格的数学方法 随着模糊数学的发展 模糊理论和模糊技术将对于人类社会的进步发挥更大的作用 3 模糊子集及其表示方法 3 1模糊子集3 2隶属函数3 3模糊子集的表示3 4随机性与模糊性的区别3 5确定隶属函数的主要方法3 6模糊集合的截集 普通集合及其特征函数1 集合的基本概念论域 被讨论对象的全体叫做论域 对称全域 通常用大写字母U E X Y等来表示 元素 组成某一集合的单个对象就称为该集合的一个元素 通常用小写字母表示 子集 由同一集合中的部分元素组成一个新集合 称为原集合的一个子集 通常用大写字母表示 集合的表示方法 把集合中的全部元素列出 并用括事情把它们括起来表示集合的全域 2 集合的基本运算并集 交集 差集 补集 3 1模糊子集 模糊集合1 模糊集合 无明确边界的集合 2 模糊集合的特点 把原来普通集合对类属 性态的非此即彼的绝对属于或不属于的判定 转化为对类属 性态做从0互1不同程度的相对判定 3 1模糊子集 模糊子集 设给定论域U和一个资格函数把U中间每个元素x和区间 0 1 中的一个数 A x 结合起来 A x 表示x在A中的资格的等级 此处的A我们就说是U的一个模糊子集 3 2隶属函数 特征函数在经典集合论中 一个元素x和一个集合A之间的关系只能有x A或者x A这两种情况 集合可以通过其特征函数来刻划 每一个集合A都有一个特征函数A x 其定义如下 每一个集合A都有一个特征函数A x 其图形如图1所示 图1特征函数A x 图 例设论域U x1 140 x2 150 x3 160 x4 170 x5 180 x6 190 单位 cm 表示人的身高 那么U上的一个模糊集 高个子 A 的隶属函数A x 可定义为 也可用Zadeh表示法 还可用向量表示法 A 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 另外 还可以在U上建立一个 矮个子 中等个子 年轻人 中年人 等模糊子集 从上例可看出 1 一个有限论域可以有无限个模糊子集 而经典子集是有限的 2 一个模糊子集的隶属函数的确定方法是主观的 隶属函数是模糊数学中最重要的概念之一 模糊数学方法是在客观的基础上 特别强调主观的方法 3 2隶属函数 隶属函数设给定论域U U在闭区间 0 1 中的任一映射 A 3 2隶属函数 模糊数学是将二值逻辑 0 1 拓广到可取 0 1 闭区间上任意的无穷多个值的连续值逻辑 因此 也必须把特征函数作适当的拓广 这就是隶属函数 x 它满足 0 x 1 2 1 式也可以记作 x 0 1 一般情形下 其图形如图2所示 图2一般情形下的特征函数图 可确定U的一个模糊子集A A x 称为A的隶属函数 A xi 称为元素xi的隶属度 当 A xi 1时 则xi完全属于模糊集A 当 A xi 0则xi完全不属于模糊集A 3 3模糊子集的表示 例1已知论域为实数集R 设A是 比0大得多的所有实数 A就是论域R上的一个Fuzzy集 且 A R 0 1 x R关于A的隶属度为 0 x 0A x 1 1 100 x2 x 0 年轻 和 年老 是两个模糊概念 可用Fuzzy集来描述它们 取年龄论城U 0 200 设描述 年轻 和 年老 的这两个Fuzzy集分别为Y和O 年龄u属于Y及O的隶属度分别为 Y 23 l O 80 0 99 这意味着23岁属于 年轻 的程度为100 80岁属年老 的程度为99 模糊概念用数学语言来说就是模糊集合 模糊集合的基本思想是把经典集合中的绝对隶属关系灵活化 用特征函数的语言来讲就是 元素对 集合 的隶属度不再是局限于取0或1 而是可以取从0到1 的任一数值 模糊数学的几个概念 映射 在两个集合X Y之间 如果有一个法则f 使得对X中的每个元素x 在Y中都有唯一元素y与之对应 则称f是X到Y的映射 即 对每个x X都存在着唯一确定的元素y f x Y与之对应 3 4随机性与模糊性的区别 处理现实对象的数学模型确定性数学模型 确定性或固定性 对象间有必然联系 随机性数学模型 对象具有或然性或随机性模糊性数学模型 对象及其关系均具有模糊性 随机性与模糊性的区别随机性 指事件出现某种结果的机会 模糊性 指存在于现实中的不分明现象 模糊数学 研究模糊现象的定量处理方法 各种不确定因素可分为两类 1 随机性特征 关于对象在类属和性态方面的定义是完全确定的 但对象出现的条件方面是概率的 不确定的 和必然性相对 2 模糊性特征 表征对象在认识中分辨界限是不确定的 即对象在类属 性态方面的定义是不精确的 不明晰的 和精确性相对 图3随机性与模糊性的关系 3 5确定隶属函数的主要方法 分布统计求法典型函数法模糊统计法求 分布统计求法 利用统计试验计算隶属函数或隶属度的步骤 1 确定集合的因素2 选择参与实验者进行试验3 找出各因素数据中的最大值和最小值算出分组组距 计算数据落在各组中的数 根据次数分布情况确定较为适合的隶属度 典型函数方法 根据问题的性质 选用某些典型函数作为隶属函数 S函数 偏大型隶属函数 Z函数 偏小型隶属函数 Z u a b 1 S u a b H函数 中间型隶属函数 典型函数方法 模糊统计法求隶属函数模糊统计法的步骤 1 确定论域与因素集 2 要求参与实验者就论域中各给出的点是否属于因素集的各元素进行投票 3 统计投票结果 求出隶属函数 模糊统计方法 例如 设论域U 选定元素u0 U 然后考虑U的一个运动着边界可变的集合A 实际上是模糊集合 如 高个子 美丽 高产 等 每一次试验可以理解为让不同观点的人评论u0是否属于 高个子 美丽 高产 这样的集合A 于是u0属于A 的隶属频率为 n是试验次数 在实际中 当n足够大时 定义u0属于A 的隶属度为 例设论域U年龄 20 35 50 65 因素A 年青人 老年人 20个人参与投票 结果如表所示 表投票结果表 则有u20对 年青人 这一概念的隶属度 20 20 20 1u20对 老年人 这一概念的隶属度 20 0 20 0所以 20 1 0 同理可求出年龄论域中各点对于因素集的隶属度 35 0 8 0 50 0 1 0 9 65 0 0 95 3 6模糊集合的截集 在一个模糊集合中 隶属函数值大于某一水平值 的元素所组成的集合 叫做该模糊集的 水平集或称 截集 记作A 就是水平值 0 1 显然 水平集是普通集合 若写成一般表达式 即 关系 描写事物之间联系的数学模型之一就是关系 常用符号 X 来表示 模糊关系 是普遍关系的推广 普通关系只能描述元素间关系的有无 而模糊关系则描述元素之间关系的多少 4模糊关系与模糊矩阵 4 1模糊关系 例在医学上常用公式 体重B 公斤 身高A 厘米 100来表示标准体重 这就给出了身高 A 与体重 B 的普通关系 若A 140 150 160 170 180 B 40 50 60 70 80 身高与体重的普通关系如表所示 表身高与体重的普通关系 但人的胖瘦不同 对于非标准的情况 身高与体重的关系应该以接近标准的程度来描述 这就导致产生如表所示的模糊关系 它能更深刻 更完整地给出身高与体重的对应关系 表身高与体重的模糊关系 用A表示学生集合 A 徐X 张X 王X 用B表示语种集合 B 英 日 俄 法 若用成绩除以100折合成隶属度来描述掌握外语的程度 则由如表可以构造出一个在A B直积空间中存在的模糊关系 用它来表示小组成员 掌握外语程度 的模糊关系 表14 10掌握外语的程度 例设有一组同学 徐X 张X 王X 他们选修英 日 俄 法四种外语中的任几门 他们选修和结业成绩如下 徐X英语85徐X日语70徐X俄语75张X英语90王X英语70王X法语80 4 2模糊矩阵 1 矩阵矩阵可以用来表现关系 如果集合A有m个元素 集合B有n个元素 我们可以用矩阵R来表示由集合A到集合B的关系 r11r12 r1nR r21r22 r2n rm1rm2 rmn 其中rij 0或1 1 i m 1 j n 2 模糊矩阵当论域A B为有限集时 模糊关系可以用矩阵形式来表示 该矩阵元素rij仅在闭区间 0 1 中取值 即0 rij 1 此矩阵称为模糊矩阵 其中0 rij 1 1 i m 1 j n 模糊矩阵是研究模糊关系的重要工具 当它用来表示模糊关系时 其中rij表示集合A中第i个元素和集合B中第个j元素之间的关联程度 例中小组成员外语成员与外语学科的关联程度可以用如下矩阵形式表示它们之间的模糊关系 3 模糊关系矩阵的运算设和是A B中模糊关系 1 和的并 rij sij 2 和的交 rij sij 3 和的补 R 1 Rij S 1 Sij 其中 表示rij与sij相比较后取较小者 表示rij与sij相比较后取较大者 5 模糊集的运算5 1模糊子集基本运算的定义 补集 A 1 A 0 6 a 0 7 b 0 4 a 0 3 b并集 A B A B 0 7 a 0 3 b 0 4 a 0 6 b 0 7 a 0 6 b交集 A B A B 0 7 a 0 3 b 0 4 a 0 6 b 0 4 a 0 3 b 又矮又瘦 U 甲 乙 丙 丁 A 矮子 隶属函数 0 9 1 0 6 0 B 瘦子 隶属函数 0 8 0 2 0 9 1 找出C 又矮又瘦 C A B 0 9 0 8 1 0 2 0 6 0 9 0 1 0 8 0 2 0 6 0 甲和丙比较符合条件 5 2模糊子集基本运算的性质 等幂律A A A交换律A B B A结合律 A B C A B C 分配律A B C A B B C 德摩根律 A B A B 多因素评价较困难 因为要同时综合考虑的因素很多 而各因素重要程度又不同 使问题变得很复杂 如用经典数学方法来解决综合评价问题 就显得很困难 而模糊数学则为解决模糊综合评价问题提供了理论依据 从而找到了一种简便而有效的评价与决策方法 可通过模糊数学提供的方法进行运算 得出定量的综合评价结果 从而为正确决策提供依据 6 模糊综合评判方法 6 模糊综合评判方法 很多时候 人们不仅要从多种因素考虑 且一般只能用模糊语言描述 如显示器的舒适性 人员的政治立场坚定 某建设方案的社会影响等 评价者从诸因素出发 参照有关信息 根据其判断对复杂问题分别作出 大 中 小 高 中 低 优 良 可 劣 好 较好 一般 较差 差 等程度性的模糊评价 6 模糊综合评判方法 6 1模糊变换1 模糊向量对于一个有限模糊集合X可以表为 x1 x2 x3 xn xi是各元素相应的隶属度 xi 其中0 xi 1 i 1 2 n 对于只有一行的模糊矩阵又可以看成模糊向量 如 x1 x2 x3 xn 是一个模糊向量2 模糊变换现有一个模糊矩阵 rij 其中0 rij 1 Y称为模糊变换 模糊变换的结果为 式中的各分量 模糊变换 Yi xk rkj k 1 2 m y1 y2 ym 例 给出 0 2 0 5 0 3 Y1 0 2 0 2 0 5 0 0 3 0 2 0 2 0 0 2 0 2y2 0 2 0 7 0 5 0 4 0 3 0 3 0 2 0 4 0 3 0 4y3 0 2 0 1 0 5 0 5 0 3 0 4 0 1 0 5 0 3 0 5y4 0 2 0 0 5 0 1 0 3 0 1 0 0 1 0 1 0 1 3 归一化处理 式中各分量的计算如下 由于中各元素之和 即 1 为了保证处理后 1 需要进行归一化处理 其方法是取Y i 故有 经归一化后的模糊变换结果为 Y i 0 2 1 2 0 167Y i 0 4 1 2 0 333Y i 0 5 1 2 0 417Y i 0 1 1 2 0 083 1 确定评价指标集合论域U U u1 u2 um m为指标项目数 2 确定评语集合论域V V v1 v2 vn n为评语等级数 3 确定权重分配模糊向量 a1 a2 am m为指标项目数 4 进行实际评判 形成评判模糊矩阵R r11r12 r1n r21r22 r2n rm1rm2 rmn 6 2模糊综合评判的步骤 5 进行模糊变换 6 得到归一化后的模糊变换结果 7 根据最大隶属度法 对 做出评价判断 其中 b1 b2 bm b1 b2 bm 6 2模糊综合评判的步骤 6 3模糊综合评判应用实例之一 网络课程评价例我们对于某学校的校园网络一期建设情况进行评判 设包括三个因素 即硬件建设 软件建设 人员培训 用论域U表示为 U 硬件建设 u1 软件建设 u2 人员培训 u3 而评语论域V表示为 V 很好 v1 较好 v2 可以 v3 不好 v4 亦即分为四个等级 并用百分比或小数表示 现邀请一些专门人员进行评价 若用人数的百分比来表示评价结果如表14 13所示 表评价结果 现在假定根据实际需要 在对校园网络一期建设做出要求时 主要是硬件建设 0 5 其次是人员培训 0 3 对软件建设要求稍低 0 2 这就构成一个由三个权数分配构成的一行模糊向量 0 5 0 2 0 3 现要做出综合评判 必须进行模糊变换 0 50 40 10 0 5 0 2 0 3 0 40 30 20 100 10 30 6 0 5 0 4 0 3 0 3 为了明确地显示综合评判的结果 还需做归一化处理 归一化后的模糊变换结果为 0 33 0 27 0 20 0 20 此结果表示 对该学校的校园网一期建设情况而言 将硬件建设 软件建设 人员培训同时考虑的结果 根据最大隶属度法 该校园网建设仍然是 很好 占最大比重 0 33 某同学想购买一台电脑 他关心电脑的以下几个指标 运算功能 数值 图形等 存储容量 内 外存 运行速度 CPU 主板等 外设配置 网卡 调制调解器 多媒体部件等 价格 于是请同宿舍同学一起去买电脑 为了数学处理简单 先令 6 4模糊综合评判应用实例之二 电脑评价 评语集 其中 很受欢迎 较受欢迎 不太受欢迎 不受欢迎 任选几台电脑 请同学和购买者对各因素进行评价 若对于运算功能有20 的人认为是 很受欢迎 50 的人认为 较受欢迎 30 的人认为 不太受欢迎 没有人认为 不受欢迎 则的单因素评价向量为 同理 对存储容量 运行速度 外设配置和价格 分别作出单因素评价 得 组合成评判矩阵 据调查 近来用户对微机的要求是 工作速度快 外设配置较齐全 价格便宜 而对运算和存储量则要求不高 于是得各因素的权重分配向量 作模糊变换 存储容量 运行速度 外设配置 价格 运算功能 若进一步将结果归一化得 结果表明 用户对这种微机表现为 最受欢迎 的程度为0 32 较受欢迎 和 不太受欢迎 的程度为0 27 不受欢迎 的程度为0 14 按最大隶属原则 结论是 很受欢迎 8 5多级模糊综合评价 举例 战略导弹效能的多级模糊综合评价问题 8 5多级模糊综合评价 评语等级分为5级 好 较好 一般 较差 差 假设已得到以下中间结果 可靠性 维修性 安全性 适应性 有效性的四个方面的权向量为 则有效性的模糊综合评价结果为 8 5多级模糊综合评价 假设已得到以下中间结果 威力 有效性 机动能力 有效性的四个方面的权向量为 则总体性能的模糊综合评价结果为 A 0 2 0 3 0 4 0 1 1 假设对电视机的评价因素U 图像u1 声音u2 价格u3 评语集合V 很好v1 较好v2 可以v3 不好v4 现请专家10人对三种电视机进行评价 结果如下 设某类顾客主要关心图像 价格 对音质不太关心 即试对以上三种电视机进行模糊综合评价 作业 9模糊聚类分析