【七下HK数学】安徽省合肥市五十中学东校2023-2024学年七年级下学期期中数学试卷

-2024学年安徽省合肥市五十中学东校七年级（下）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共10小题，满分30分）1．（3分）已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（）A．82.3×10﹣8 B．8.23×10﹣7 C．823×10﹣9 D．0.823×10﹣62．（3分）下列各数是无理数的是（）A． B． C．1.010010001 D．π3．（3分）下列各式计算正确的是（）A． B． C． D．4．（3分）如果a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．1﹣a＜1﹣b B．﹣2a＞﹣2b C．a2＞b2 D．a﹣2＜b﹣25．（3分）下列运算正确的是（）A．（x2）3＝x5 B．x2•x4＝x8 C．x6÷x3＝x2 D．6．（3分）如果x2+mx+16是完全平方式，那么m的值是（）A．8 B．4 C．±4 D．±87．（3分）如果（x+a）（x+b）的积中不含x的一次项，那么a与b的关系是（）A．互为倒数 B．互为相反数 C．a＝b且b＝0 D．ab＝08．（3分）如图表示的是关于x的不等式﹣2x﹣a＞﹣1的解集，则a的值是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．39．（3分）某超市每千克4元的价格购进一批蔬菜，销售过程中有20%的蔬菜正常损耗，则超市售价定为不低于（）A．4.5 B．4.8 C．5 D．610．（3分）如图所示，以长方形ABCD的各边为直径向外作半圆得到一个新的图形，其周长为16π，同时此图形中四个半圆面积之和为44π，则S长方形ABCD是（）A．10 B．20 C．40 D．80二、填空题（每题3分，共5小题，满分15分）11．（3分）9的算术平方根是．12．（3分）数轴上点A表示，点B表示1，则线段AB的长度是．13．（3分）如果am＝4，an＝6，那么a2m﹣n＝．14．（3分）若（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35，则a2+b2＝．15．（3分）在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用[x]表示不超过x的最大整数，[2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3．则对于任意的实数x，[1+x]+[2﹣x]的值为．三、（本大题共两题，满分14分）16．（8分）（1）计算；（2）化简x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2．17．（6分）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上．四.（本大题共两题，满分12分）18．（6分）先化简，再求值（m+2）2+（m﹣1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）（m+1），其中m＝﹣3．19．（6分）已知某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣3，求a﹣b的值．五、（本大题共两题，满分17分）20．（9分）观察下列关于自然数的等式：4×22﹣32＝7①4×32﹣52＝11②4×42﹣72＝15③…根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：4×2﹣92＝；（2）请写出第1010个等式：；（3）写出第n个等式（n为正整数），并验证其正确性．21．（8分）某些等式可以根据几何图形的面积关系进行解释，例如，等式（2a+b）（a+b）2+3ab+b2就可以用图（1）的面积关系来解释：图（1）的面积为（2a+b）（a+b）2+3ab+b2，故（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2．（1）根据图（2）的面积关系可以解释的一个等式为；（2）已知等式（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，请你画出一个相应的几何图形；（3）请你设计一个几何图形，并解释：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．六、（本大题满分12分）22．（12分）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，最少资金是多少？（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种）参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共10小题，满分30分）1．（3分）已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（）A．82.3×10﹣8 B．8.23×10﹣7 C．823×10﹣9 D．0.823×10﹣6【解答】解：0.000000823＝8.23×10﹣5，故选：B．2．（3分）下列各数是无理数的是（）A． B． C．1.010010001 D．π【解答】解：A、＝2，故该选项不符合题意；B、是分数，故该选项不符合题意；C、1.010010001，故该选项不符合题意；D、π是无理数．故选：D．3．（3分）下列各式计算正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、＝6，故此选项不符合题意；B、±＝±4，故此选项符合题意；C、＝＝5，故此选项不符合题意；D、没有意义，故此选项不符合题意；故选：B．4．（3分）如果a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．1﹣a＜1﹣b B．﹣2a＞﹣2b C．a2＞b2 D．a﹣2＜b﹣2【解答】解：A．∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴1﹣a＜1﹣b，故本选项符合题意；B．∵a＞b，∴﹣5a＜﹣2b，故本选项不符合题意；C．不妨设a＝1，∵72＜（﹣2）3，故本选项不符合题意；D．∵a＞b，∴a﹣2＞b﹣2，故本选项不符合题意．故选：A．5．（3分）下列运算正确的是（）A．（x2）3＝x5 B．x2•x4＝x8 C．x6÷x3＝x2 D．【解答】解：A选项，原式＝x6，故该选项不符合题意；B选项，原式＝x6，故该选项不符合题意；C选项，原式＝x4，故该选项不符合题意；D选项，原式＝2；故选：D．6．（3分）如果x2+mx+16是完全平方式，那么m的值是（）A．8 B．4 C．±4 D．±8【解答】解：∵x2±8x+16＝（x±7）2，x2+mx+16是完全平方式，∴m＝±6；故选：D．7．（3分）如果（x+a）（x+b）的积中不含x的一次项，那么a与b的关系是（）A．互为倒数 B．互为相反数 C．a＝b且b＝0 D．ab＝0【解答】解：原式＝x2+（a+b）x+ab，由结果中不含x的一次项，得到a+b＝0，则a，b一定互为相反数，故选：B．8．（3分）如图表示的是关于x的不等式﹣2x﹣a＞﹣1的解集，则a的值是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．3【解答】解：∵﹣2x﹣a＞﹣1，∴﹣5x＞a﹣1，则x＜，由数轴知x＜﹣1，∴＝﹣1，解得a＝3，故选：D．9．（3分）某超市每千克4元的价格购进一批蔬菜，销售过程中有20%的蔬菜正常损耗，则超市售价定为不低于（）A．4.5 B．4.8 C．5 D．6【解答】解：设超市售价定为x元，由题意得：（1﹣20%）x≥4，解得：x≥8，故选：C．10．（3分）如图所示，以长方形ABCD的各边为直径向外作半圆得到一个新的图形其周长为16π，同时此图形中四个半圆面积之和为44π，则S长方形ABCD是（）A．10 B．20 C．40 D．80【解答】解：设AB＝a，BC＝b，由题意得：πa+πb＝16π，π×＝44π．∴a+b＝16，a2+b4＝176．∵（a+b）2＝a2+b6+2ab．∴256＝176+2ab．∴ab＝40．∴S长方形ABCD＝40．故选：C．二、填空题（每题3分，共5小题，满分15分）11．（3分）9的算术平方根是3．【解答】解：∵32＝6，∴9的算术平方根是3，故答案为：3．12．（3分）数轴上点A表示，点B表示1，则线段AB的长度是1+．【解答】解：∵点A表示，点B表示1，∴线段AB的长度是：|4+|＝1+，故答案为：1+．13．（3分）如果am＝4，an＝6，那么a2m﹣n＝．【解答】解：a2m﹣n＝＝＝．故答案为：．14．（3分）若（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝35，则a2+b2＝6．【解答】解：（a2+b2+3）（a2+b2﹣2）＝35，设a2+b2＝x，则原方程化为：（x+4）（x﹣1）＝35，x2﹣5＝35，x2＝36，x＝±6，∵不论a、b为何值，a8+b2不能为负数，∴a2+b2＝﹣6舍去，即a2+b2＝6．故答案为：6．15．（3分）在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用[x]表示不超过x的最大整数，[2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3．则对于任意的实数x，[1+x]+[2﹣x]的值为1或2．【解答】解：设|x|的小数部分为b，则x＞0时，x＜0时，当x＜﹣2时，1+x＜0，则[2+x]＝1+x﹣1+b＝x+b，[8﹣x]＝1﹣x﹣b，∴[1+x]+[7﹣x]＝x+b+1﹣x﹣b＝1；当x＝﹣5时，1+x＝0，∴[6+x]+[1﹣x]＝0+2＝2；当﹣1＜x＜8时，则0＜1+x＜8，∴[1+x]+[1﹣x]＝3+1＝1；当x＝5时，1+x＝1，∴[5+x]+[1﹣x]＝1+8＝2；当0＜x＜7时，1＜1+x＜4，∴[1+x]+[1﹣x]＝7+0＝1；当x＝6时，1+x＝2，∴[2+x]+[1﹣x]＝2+2＝2；当x＞1时，4+x＞2，则[1+x]＝1+x﹣b，[1﹣x]＝1﹣x﹣（2﹣b）＝﹣x+b，∴[1+x]+[1﹣x]＝1+x﹣b﹣x+b＝1；由上可得，[1+x]+[2﹣x]的值为1或2，故答案为：1或2．三、（本大题共两题，满分14分）16．（8分）（1）计算；（2）化简x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2．【解答】解：（1）原式＝﹣7﹣2＝﹣；（2）原式＝x3﹣4x8+x2＝﹣2x8．17．（6分）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上．【解答】解：解不等式2（x+2）＞2，得：x＞1，解不等式，3x≤x+2，在同一条数轴上表示不等式组的解集，如下，则不等式组的解集为1＜x≤3．四.（本大题共两题，满分12分）18．（6分）先化简，再求值（m+2）2+（m﹣1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）（m+1），其中m＝﹣3．【解答】解：原式＝m2+4m+8+2m2﹣8m﹣m+1﹣（m2﹣4）＝m2+4m+4+2m2﹣5m﹣m+1﹣m2+7＝2m2+m+8，当m＝﹣3时，原式＝2×（﹣7）2﹣3+7＝21．19．（6分）已知某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣3，求a﹣b的值．【解答】解：∵正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，∴（a﹣5）+（2a+15）＝0，解得：a＝﹣5，∵b的立方根是﹣3，∴b＝﹣27，∴a﹣b＝﹣4﹣（﹣27）＝23．五、（本大题共两题，满分17分）20．（9分）观察下列关于自然数的等式：4×22﹣32＝7①4×32﹣52＝11②4×42﹣72＝15③…根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：4×52﹣92＝19；（2）请写出第1010个等式：4×10112﹣20212＝4043；（3）写出第n个等式（n为正整数），并验证其正确性．【解答】解：（1）因为4×25﹣32＝2；4×38﹣52＝11；4×42﹣52＝15；…，观察各部分的变化规律可知，第n个等式可表示为：4（n+8）2﹣（2n+8）2＝4n+8（n为正整数），当n＝4时，4×32﹣93＝19，即第四个等式为4×54﹣92＝19．故答案为：5，19．（2）由（1）知，当n＝1010时，4×10112﹣20216＝4043，即第1010个等式为：4×10112﹣20214＝4043．故答案为：4×10112﹣20217＝4043．（3）由（1）知，第n个等式可表示为：4（n+1）6﹣（2n+1）3＝4n+3（n为正整数）．证明如下：左边＝2（n2+2n+3）﹣（4n2+3n+1）＝4n2+8n+4﹣3n2﹣4n﹣5＝4n+3＝右边，故此等式成立．21．（8分）某些等式可以根据几何图形的面积关系进行解释，例如，等式（2a+b）（a+b）2+3ab+b2就可以用图（1）的面积关系来解释：图（1）的面积为（2a+b）（a+b）2+3ab+b2，故（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2．（1）根据图（2）的面积关系可以解释的一个等式为（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）已知等式（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，请你画出一个相应的几何图形；（3）请你设计一个几何图形，并解释：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．【解答】解：（1）在图2中，大正方形的边长为a+b2，组成大正方形的5个部分的面积和为a2+2ab+b7，所以有（a+b）2＝a2+7ab+b2，故答案为：（a+b）2＝a6+2ab+b2；（2）如图5所示：整体大长方形的长为x+p，宽为x+q，组成长方形的4个部分的面积和为x2+（p+q）x+pq，因此有（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，（3）如图4，把边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形后，拼成一个长为a+b，因此可以验证（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b6．六、（本大题满分12分）22．（12分）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机