2018_2019学年高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理学案新人教A版.docx

21.1合情推理1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理2.了解合情推理在数学发现中的作用1归纳推理和类比推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)特征归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理类比推理是由特殊到特殊的推理2.合情推理含义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理过程1.归纳推理的特点（1）归纳推理是由几个已知的特殊对象，归纳出一般性的结论，该结论超越了前提所包含的范围.如著名的哥德巴赫猜想、费马猜想等.（2）由归纳推理得到的结论带有猜测的性质，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的，结论是否正确，需要经过逻辑证明和实践检验.因此，归纳推理不能作为数学证明的工具.（3）一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么得到的一般性结论也就越可靠. 2.类比推理的特点（1）类比推理是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，即以原有认识作基础，类比出新的结果.（2）由类比推理得到的结论也具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，类比推理同归纳推理一样也不能作为数学证明的工具.（3）如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠. 判断正误（正确的打“”，错误的打“”）（1）归纳推理是由一般到一般的推理过程.（）（2）归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确.（）（3）类比推理得到的结论可以作为定理应用.（）答案：（1）（2）（3） 某学生通过计算发现：21112能被12整除，321222能被22整除，431732能被32整除.由此猜想当nN*时，（n1）n1能被n2整除.该学生的推理是（）A.类比推理B.归纳推理C.演绎推理 D.上述都不正确解析：选B.该学生的推理是从个别到一般的推理，所以是归纳推理. 下列平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的为（）A.三角形 B.梯形C.平行四边形 D.矩形答案：C 各项都为正数的数列an中，a11，a23，a36，a410，猜想数列an的通项公式为.答案：an探究点1数与式的推理学生用书P45（1）给出下面的等式：19211，1293111，123941 111，1 2349511 111，12 34596111 111，猜想123 45697等于（）A.1 111 110B.1 111 111C.1 111 112 D.1 111 113（2）观察下列式子：11，1，12，则仿照上面的规律，可猜想此类不等式的一般形式为.【解析】（1）由几组数据观察可知，等号左边变化的依次为1和2，12和3，123和4，1 234和5，12 345和6，等号右边依次为2个1，3个1，4个1，5个1，6个1，因此猜测当等号左边为123 456和7时，对应等号右边为7个1.（2）观察式子可得规律：不等号的左侧是1，共（2n11）项的和；不等号的右侧是（nN*）.故猜想此类不等式的一般形式为1（nN*）.【答案】（1）B（2）1（nN*）由已知数、式进行归纳推理的步骤（1）要注意所给几个等式（或不等式）中项数和次数等方面的变化规律.（2）要注意所给几个等式（或不等式）中结构形式的特征.（3）提炼出等式（或不等式）的综合特点.（4）运用归纳推理得出一般结论. 已知：f（x），设f1（x）f（x），fn（x）fn1（fn1（x）（n1，且nN*），则f3（x），猜想fn（x）（nN*）.解析：因为f（x），所以f1（x）.又因为fn（x）fn1（fn1（x），所以f2（x）f1（f1（x），f3（x）f2（f2（x），f4（x）f3（f3（x），f5（x）f4（f4（x），所以根据前几项可以猜想fn（x）.答案：探究点2几何图形中的归纳推理学生用书P45（1）用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n（nN*）个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A.6n2 B.8n2C.6n2 D.8n2（2）如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有n（n1，nN*）个点，每个图形总的点数记为an，则a6，an（n1，nN*）.【解析】（1）观察易知第1个“金鱼”图需要火柴棒8根，而第2个“金鱼”图比第1个“金鱼”图多的部分需要火柴棒6根，第3个“金鱼”图比第2个“金鱼”图多的部分需要火柴棒6根，由此可猜测第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数比第（n1）个“金鱼”图需要火柴棒的根数多6，即各个“金鱼”图需要火柴棒的根数组成以8为首项，6为公差的等差数列an，易求得通项公式为an6n2（nN*）.（2）依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a636315.由n2，3，4，5，6的图形特点归纳得an3n3（n1，nN*）.【答案】（1）C（2）153n3归纳推理在图形中的应用策略 1.把1，3，6，10，15，21，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形（如图所示）.则第七个三角形数是（）A.27B.28C.29 D.30解析：选B.把1，3，6，10，15，21，依次记为a1，a2，则可以得到a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，a6a56，所以a7a67，即a7a6728.2.图（1）是棱长为1的小正方体，图（2）（3）是由这样的小正方体摆放而成的.按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层、第2层、第3层将第n层的小正方体的个数记为Sn.解答下列问题：（1）按照要求填表：n1234Sn136（2）S10；（3）Sn（nN*）.解析：第1层：1个；第2层：3个，即（12）个；第3层：6个，即（123）个；第4层：10个，即（1234）个；，由此猜想，第n层的小正方体的个数为上一层的小正方体的个数加上n，所以Sn123n（nN*），S1055.答案：（1）10（2）55（3）探究点3类比推理及其应用学生用书P46（1）若Sn是等差数列an的前n项和，则有S2n1（2n1）an，类似地，若Tn是等比数列bn的前n项积，则有T2n1.（2）如图，在RtABC中，C90.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2a2b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.【解】（1）T2n1b1b2b3b2n1b.故填b.（2）如题图，在RtABC中，C90.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2a2b2.类似地，如图所示，在四面体PDEF中，PDFPDEEDF90.设S1，S2，S3和S分别表示PDF，PDE，EDF和PEF的面积，相应于直角三角形的两条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S2SSS. 若本例（2）中“由勾股定理，得c2a2b2”换成“cos2Acos2B1”，则在空间中，给出四面体性质的猜想.解：如图，在RtABC中，cos2Acos2B1.于是把结论类比到四面体PABC中，我们猜想，四面体PABC中，若三个侧面PAB，PBC，PCA两两互相垂直，且分别与底面所成的角为，则cos2cos2cos21.类比推理的一般步骤 1.下面使用类比推理正确的是（）A.“若a3b3，则ab”类推出“若a0b0，则ab”B.“若（ab）cacbc”类推出“（ab）cacbc”C.“若（ab）cacbc”类推出“（c0）”D.“（ab）nanbn”类推出“（ab）nanbn”解析：选C.A错，因为类比的结论a可以不等于b；B错，类比的结论不满足分配律；C正确；D错，乘法类比成加法是不成立的.2.已知ABC的边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，用SABC表示ABC的面积，则SABCr（abc）.类比这一结论有：若三棱锥ABCD的内切球半径为R，则三棱锥的体积VABCD.解析：内切圆半径r内切球半径R，三角形的周长：abc三棱锥各面的面积和：SABCSACDSBCDSABD，三角形面积公式系数 三棱锥体积公式系数.所以类比得三棱锥体积VABCDR（SABCSACDSBCDSABD）.答案：R（SABCSACDSBCDSABD）1.观察数列1，5，14，30，x，则x的值为（）A.22B.33C.44 D.55解析：选D.观察归纳得出，从第2项起，每一项都等于它的前一项与它本身项数的平方的和，即anan1n2，所以x305255.2.将奇数1，3，5，7，9，11，进行如下分组：1，3，5，7，9，11，试观察每组内各数之和，则第n组内各数的和等于（）A.n2 B.n3C.n4 D.n（n1）解析：选B.每组内各数的和分别为1，23，33，显然B正确.3.命题“在平行四边形ABCD中，”，据此，运用类比推理在平行六面体ABCDABCD中可得出结论.解析：根据类比推理的原则，平行四边形类比为平行六面体，对角线类比为体对角线，可类比成，故结论为.答案：4.下面是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“连线”表示化学键，按图中结构，知第n个图有个原子，有个化学键.解析：第1，2，3个图形中，原子的个数依次为6，64，642，所以第n个图形有64（n1）4n2个原子.第1，2，3个图形中，化学键的个数依次为6，65，652，所以第n个图形中化学键的个数为65（n1）5n1.答案：4n25n1 知识结构深化拓展 A基础达标1.给出下列三个类比结论：类比axayaxy，则有axayaxy；类比loga（xy）logaxlogay，则有sin（）sin sin ；类比（ab）ca（bc），则有（xy）zx（yz）.其中结论正确的个数是（）A.0 B.1C.2 D.3解析：选C.根据指数的运算法则知axayaxy，故正确；根据三角函数的运算法则知：sin（）sin sin ，不正确；根据乘法结合律知：（xy）zx（yz），正确.2.观察：（x2）2x，（x4）4x3，（cos x）sin x，由归纳推理可得：若定义域在R上的函数f（x）满足f（x）f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（x）等于（）A.f（x） B.f（x）C.g（x） D.g（x）解析：选D.通过观察可归纳推理出一般结论：若f（x）为偶函数，则导函数g（x）为奇函数.故选D.3.已知数列：1，aa2，a2a3a4，a3a4a5a6，则该数列的第k（kN*）项为（）A.akak1a2kB.ak1aka2k1C.ak1aka2kD.ak1aka2k2解析：选D.由已知数列的前4项归纳可得，该数列的第k项是从以1为首项，a为公比的等比数列的第k项ak1开始的连续k项的和，故该数列的第k项为ak1aka2k2.4.观察下列各式：112，23432，3456752，4567891072，可以得出的一般结论是（）A.n（n1）（n2）（3n2）n2B.n（n1）（n2）（3n2）（2n1）2C.n（n1）（n2）（3n1）n2D.n（n1）（n2）（3n1）（2n1）2解析：选B.可以发现：第一个式子的第一个数是1，第二个式子的第一个数是2，故第n个式子的第一个数是n；第一个式子中有1个数相加，第二个式子中有3个数相加，故第n个式子中有2n1个数相加；第一个式子的结果是1的平方，第二个式子的结果是3的平方，故第n个式子应该是2n1的平方，故可以得到n（n1）（n2）（3n2）（2n1）2.5.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算的，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种，如图，当表示一个多位数时，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，遇零则置空.例如6 613用算筹表示就是，则8 335用算筹可表示为（）A. B.C. D.解析：选B.由题意，知8 335用算筹可表示为.6.我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是.解析：平面图形与立体图形的类比：周长表面积，正方形正方体，面积体积，矩形长方体，圆球.答案：表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大7.根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有个点.解析：观察图形的变化规律可得：图（2）从中心点向两边各增加1个点，图（3）从中心点向三边各增加2个点，图（4）从中心点向四边各增加3个点，如此，第n个图从中心点向n边各增加（n1）个点，易得答案：1n（n1）n2n1.答案：n2n18.将全体正整数排成一个三角形数阵（如图）：按照以上排列的规律，第n（n3，nN*）行从左向右的第3个数为.解析：前（n1）行共有正整数12（n1）（个），因此第n行第3个数是全体正整数中第个，即为.答案：9.如图所示为m行m1列的士兵方阵（mN*，m2）.（1）写出一个数列，用它表示当m分别是2，3，4，5，时，方阵中士兵的人数；（2）若把（1）中的数列记为an，归纳该数列的通项公式；（3）求a10，并说明a10表示的实际意义；（4）已知an9 900，问：an是数列的第几项？解：（1）当m2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m3，4，5，时的士兵人数分别为12，20，30，故所求数列为6，12，20，30，.（2）因为a123，a234，a345，所以猜想an（n1）（n2），nN*.（3）a101112132，a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.（4）令（n1）（n2）9 900，解得n98，即an是数列的第98项，此时方阵为99行100列.10.观察下列两个等式：sin210cos240sin 10cos 40；sin26cos236sin 6cos 36.由上面两个等式的结构特征，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想.解：由知若两角差为30，则它们的相关形式的函数运算式的值均为.猜想：sin2cos2（30）sin cos（30）.下面进行证明：左边sin cos（30）sin （cos cos 30sin sin 30）cos 2cos 2sin 2sin 2右边.故sin2cos2（30）sin cos（30）.B能力提升11.如图，椭圆的中心在坐标原点，F为其左焦点，当时，椭圆的离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”可得“黄金双曲线”的离心率为（）A. B.C.1 D.1解析：选A.设双曲线方程为1（a0，b0）.F（c，0），B（0，b），A（a，0），则（c，b），（a，b）.因为，所以acb20.又b2c2a2，所以c2aca20，即e2e10，解得e.又e1，所以e.故选A.12.如图，直角坐标系中每个单元格的边长为1，由下往上的6个