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第三章圆锥曲线与方程 双曲线的简单性质 3 2 1 让我们一起研究 标准方程为 的双曲线的性质 2 1 对称性 F2 F1 O x y 双曲线关于y轴对称 3 F2 F1 O x y 双曲线关于x轴对称 4 A2 A1 F2 F1 O x y 双曲线关于原点对称 5 F2 F1 O x y 1 对称性 双曲线关于y轴 x轴 原点对称 为什么 6 F2 F1 O A1 A2 x y 2 范围 横坐标的范围 从而 x a或x a 由式子知 x a或x a 所以 7 3 顶点 O B2 B1 A1 A2 x y 可得x a 从而 A1 a 0 A2 a 0 也把B1 0 b B2 0 b 画在y轴上 在中令y 0 为双曲线的顶点 8 3 顶点 O B2 B1 A1 A2 x y 线段A1A2叫双曲线的实轴 线段B1B2叫双曲线的虚轴 长为2a 长为2b 9 4 离心率 上面双曲线的形状有什么变化 怎样刻画它们的扁平程度 O A1 A2 y 10 4 离心率 双曲线的焦距与长轴长的比称为双曲线的离心率 用e表示 即 O A1 A2 y e变大 双曲线的形状会怎样变化 11 5 渐近线 O B2 B1 A1 A2 x y 红色虚框的两条对角线 为双曲线的渐近线 a b 其方程为 12 一般结论 双曲线的渐近线为 13 练习1 计算下列双曲线的渐近线 你能发现什么规律吗 14 15 2019 12 27 16 关于x轴 y轴 原点对称 a 0 a 0 0 a 0 a 17 例1 求双曲线的实半轴长 虚半轴长 焦点坐标 离心率 渐近线方程 解 把方程化为标准方程 可得 实半轴长a 4 虚半轴长b 3 半焦距c 焦点坐标是 0 5 0 5 离心率 渐近线方程 18 练习1 求下面双曲线的范围 顶点坐标 焦点坐标 实轴长 虚轴长 焦距 离心率 渐近线方程 9x2 y2 81 焦点坐标是 顶点坐标是 3 0 3 0 0 9 0 9 实轴长2a 6 虚轴长2b 18 焦距2c 离心率e 渐近线方程 19 练习2 求适合下列条件的双曲线的标准方程 1 实轴在x轴上 离心率e b 2 3 过点 1 3 和双曲线有共同的渐近线 2 过点 3 4 且虚轴长为实轴长的2倍 20 1 实轴在x轴上 离心率e b 2 2 过点 3 4 且虚轴长为实轴长的2倍 或 21 3 过点 1 3 和双曲线有共同的渐近线 22 例2 双曲线型冷却塔的外形 是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面 它的最小半径为12m 上口半径为13m 下口半径为25m 高为55m 试选择适当的坐标系 求出此双曲线的方程 精确到1m B 12 B A C 13 A C 25 解 如图 建立直角坐标系xoy 使小圆的直径AA 在x轴上 圆心与原点重合 23 设双曲线的方程为 令C的坐标为 13 y 则B的坐标为 25 y 55 将B C坐标代入方程得 B 12 B A C 13 A C 25 由方程 得 负值舍去 24 B 12 B A C 13 A C 25 代入方程 得 化简得 用计算器解得b 25 所以所求双曲线的方程为 25 例3 点M x y 到定点F 5 0 的距离和它到定直线l 的距离的比是常数 求点M的轨迹 解 设d是点M到直线l的距离 根据题意 M F H d l 所求轨迹就是集合 26 M F H d l 由此得 将