高考数学复习第4讲导数的简单应用及定积分专题突破练理.docx

第4讲导数的简单应用及定积分1.(1)2018全国卷 设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x(2)2018全国卷 曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.命题角度曲线的切线问题关键一:函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率,即斜率k=f(x0),切线方程为y-f(x0)=k(x-x0),其中(x0,f(x0)为曲线y=f(x)上一点;关键二:关注切点的双重性,即切点既在切线上又在曲线上;(3)2016全国卷 若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.试做关键三:搞清楚是在某点处的切线还是过某点的切线.易错点:直线与曲线有一个公共点,不能说明直线与曲线相切,反之,直线是曲线的切线,也不能说明直线与曲线有一个公共点.2.(1)2017全国卷 若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为 ()A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1(2)2016全国卷 若函数f(x)=x-sin 2x+asin x在(-,+)单调递增,则a的取值范围是 ()A.-1,1B.-1,C.-,D.-1,-(3)2018全国卷 已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是.试做命题角度利用导数求函数的单调性或函数的极值与最值(1)f(x)在x=x0处取得极值的充要条件是f(x0)=0,且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同.(2)若f(x)在区间(a,b)内是单调函数,则f(x)在区间(a,b)内一定没有极值.(3)用导数求最值的步骤:求导令f(x)=0,求极值点将极值点与区间端点代入求最值.(4)易错点:在利用导数求函数极值时,很容易出现的错误是求出使导数等于0的点,而没有对这些点左右两侧导数的符号进行判断,误以为使导数等于0的点就是函数的极值点.3.2013全国卷 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是()A.x0R,f(x0)=0B.函数y=f(x)的图像是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-,x0)单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f(x0)=0试做命题角度解决三次函数图像和性质问题(1)解决三次函数图像和性质问题,关键一:根据导函数图像画出三次函数的大致图像;关键二:若三次函数y=f(x)的导函数为y=ax2+bx+c(a0),令ax2+bx+c=0,则当0时,函数y=f(x)无极值,当0时,函数y=f(x)有两个极值.(2)(特殊法)取特殊值,例如f(x)=x3+x2+x+1.小题1导数的几何意义与定积分1 (1)已知aR,设函数f(x)=ax-ln x的图像在点(1,f(1)处的切线为l,则l在y轴上的截距为()A.eB.1C.0D.-1(2)直线y=4x与曲线y=4x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为.听课笔记 【考场点拨】应用导数的几何意义解题时应注意:(1)f(x)与f(x0)的区别与联系,f(x0)表示函数f(x)在x=x0处的导数值,是一个常数;(2)函数在某点处的导数值就是对应曲线在该点处切线的斜率;(3)切点既在原函数的图像上也在切线上.【自我检测】1.() A.B.1C.2D.32.过曲线y=ex上一点P(x0,y0)作曲线的切线,若该切线在y轴上的截距小于0,则x0的取值范围是()A.(0,+)B.C.(1,+)D.(2,+)3.若直线y=kx+b是曲线y=ln x+1的切线,也是曲线y=ln(x+2)的切线,则实数b= .4.曲线y=ex+sin x在点(0,1)处的切线方程是 .小题2与导数有关的函数图像问题2 (1)函数f(x)=(x2-2x)ex的大致图像是()A B C D图M1-4-1(2)函数f(x)=ln x-x2的大致图像是 ()A B C D图M1-4-2 听课笔记 【考场点拨】利用导数判断函数的图像,主要是针对仅通过函数的定义域、值域、奇偶性等性质难以确定函数图像的情况下,通过对函数求导,分析函数的单调性、零点、极值等,充分展现函数图像的变化规律,达到判断函数图像的目的.【自我检测】1.函数y=(其中e为自然对数的底数)的大致图像是()ABC D图M1-4-32.函数f(x)=xcos x的导函数f(x)在区间-,上的大致图像是() AB C D图M1-4-4小题3利用导数研究函数的单调性3 (1)已知f(x)=(x2+2ax)ln x-x2-2ax在(0,+)上是增函数,则实数a的取值范围是 ()A.1B.-1C.(0,1D.-1,0)(2)已知a=2.12.2,b=2.22.1,c=log2.22.1,则 ()A.cbaB.cabC.abcD.acb听课笔记 【考场点拨】利用导数研究函数单调性的关键:(1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域;(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认;(3)已知函数单调性求参数范围,要注意导数等于零的情况.【自我检测】1.函数f(x)=ln x-x的单调递增区间是 ()A.(-,1)B.(0,1)C.(0,+)D.(1,+)2.若函数f(x)=x3+ax2-9x+1在区间(-1,2)上是单调函数,则实数a的取值范围为 ()A.-a3B.-a3C.-3a-D.-3a-3.已知函数f(x)=xcos x-sin x-x3,则不等式f(2x+3)+f(1)b0时,f(x)在(-,0)上单调递减B.当ba0时,f(x)在(-,0)上单调递减C.当ab0时,f(x)在(0,+)上单调递增D.当ba0时,f(x)在(0,+)上单调递增小题4利用导数研究函数的极值、最值4 (1)设函数f(x)=x2-x+cos(1-x),则f(x)()A.仅有一个极小值B.仅有一个极大值C.有无数个极值D.没有极值(2)已知函数f(x)=e|x-1|,函数g(x)=ln x-x+a,若存在x1,x2使得f(x1)0,f(x)=,若f(x)的最小值为-1,则a=()A.B.C.eD.e23.若x=1是函数f(x)=(ex+a)ln x的极值点,则实数a=.第4讲导数的简单应用及定积分 典型真题研析1.(1)D(2)-3(3)1-ln 2解析 (1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x)对xR恒成立,可得a=1,则f(x)=x3+x,f(x)=3x2+1,所以f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.(2)y=(ax+1+a)ex,由曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2可得(1+a)e0=-2,解得a=-3.(3)曲线y=ln x+2的切线为y=x+ln x1+1(其中x1为切点横坐标),曲线y=ln(x+1)的切线为y=x+ln(x2+1)-(其中x2为切点横坐标).由题可知解得b=ln x1+1=1-ln 2.2.(1)A(2)C(3)-解析 (1)f(x)=x2+(a+2)x+a-1ex-1.因为x=-2是函数f(x)的极值点,所以f(-2)=0,所以4-2(a+2)+a-1=0,解得a=-1,此时f(x)=(x2+x-2)ex-1.由f(x)=0,解得x=-2或x=1,且当-2x1时,f(x)1时,f(x)0,故x=1为f(x)的极小值点,所以f(x)的极小值为f(1)=-1.(2)方法一:对函数f(x)求导得f(x)=1-cos 2x+acos x=-cos2x+acos x+,因为函数f(x)在R上单调递增,所以f(x)0,即-cos2x+acos x+0恒成立.设t=cos x-1,1,则g(t)=4t2-3at-50在-1,1上恒成立,所以有解得-a.方法二:取a=-1,则f(x)=x-sin 2x-sin x,f(x)=1-cos 2x-cos x,但f(0)=1-1=-0,不满足f(x)在(-,+)单调递增,排除A,B,D,故选C.(3)因为f(x+2)=2sin(x+2)+sin(2x+4)=f(x),所以2是函数f(x)的一个周期,不妨取区间0,2进行分析.f(x)=2cos x+2cos 2x=4cos2x+2cos x-2,令f(x)=0,解得cos x=或cos x=-1.当x在0,2上变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:xf(x)+0-0-0+f(x)极大值极小值可知函数f(x)在0,2上的极小值即为函数f(x)在定义域上的最小值,所以f(x)min=f=2sin+sin=-.3.C解析 x-时,f(x)0,又f(x)连续,x0R,f(x0)=0,A正确.通过平移变换,函数可以化为f(x)=x3+c,从而函数y=f(x)的图像是中心对称图形,B正确.若x0是f(x)的极小值点,可能还有极大值点x1,若x1x0,则f(x)在区间(x1,x0)单调递减,C错误.D正确.故答案为C.考点考法探究小题1例1(1)B(2)1解析 (1)由题意可知f(x)=a-,所以切线l的斜率为f(1)=a-1,又f(1)=a,即切点坐标为(1,a),所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1),令x=0,得y=1.故选B.(2)由得x=0或x=1,所以所求封闭图形的面积【自我检测】1.A解析 2.C解析 由y=ex,得y=ex,则切线斜率为,切线方程为y-y0=(x-x0).当x=0时,y=-x0+y0=-x0+=(1-x0)1,x0的取值范围是(1,+).3.ln 2解析 设直线y=kx+b与曲线y=ln x+1和曲线y=ln(x+2)的切点坐标分别为(x1,ln x1+1),(x2,ln(x2+2).直线y=kx+b是曲线y=ln x+1的切线,也是曲线y=ln(x+2)的切线,=,即x1-x2=2.又切线方程为y-(ln x1+1)=(x-x1)或y-ln(x2+2)=(x-x2),即为y=+ln x1或y=+ln x1,=0,则x1=2,b=ln 2.4.2x-y+1=0解析 y=ex+sin x,y=ex+cos x,y|x=0=e0+cos 0=2,曲线y=ex+sin x在点(0,1)处的切线方程是y-1=2x,即2x-y+1=0.小题2例2(1)B(2)A解析 (1)由f(x)=0,得x2-2x=0,即x=0或x=2,函数f(x)有两个零点,A,C不正确.f(x)=(x2-2)ex,由f(x)0,解得x或x-,由f(x)0,解得-x0),所以当0x0,当x2时,f(x)ln 1=0,故选A.【自我检测】1.B解析 y=,当x=0时,y=0,排除C,当x0时,y0,排除A.y=,当x0,当x3时,y1时,ln x0,要使f(x)0恒成立,则x+a0恒成立,x+a1+a,1+a0,解得a-1;当0x1时,ln x0,要使f(x)0恒成立,则x+a0恒成立,x+a0),则f(x)=,可得函数f(x)在(0,e)内单调递增,所以f(2.1)f(2.2),即,可化为2.12.22.22.1,即1ab,又c=log2.22.11,所以ca0,得0x1,函数f(x)=ln x-x的单调递增区间是(0,1),故选B.2.C解析 f(x)=x3+ax2-9x+1在区间(-1,2)上是单调函数,f(x)=3x2+2ax-9在区间(-1,2)上的函数值符号相同,又f(0)=-90时,f(x)0,函数f(x)在(0,+)上单调递减.又因为函数f(x)是奇函数且在R上连续,所以函数f(x)在(-,+)上单调递减.因为f(2x+3)+f(1)0,所以f(2x+3)-1,所以x-2.故选A.4.D解析 f(x)=(-ax3+3ax2-4b)e-x=-ae-x,当ba0),则h(x)=3x2-6x,所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,所以h(x)的最小值是h(2)=0,所以h(x)0,则f(x)0在(0,+)上恒成立,所以f(x)在(0,+)上单调递增,故选D.小题4例4(1)A(2)(2,+)解析 (1)由f(x)=x2-x+cos(1-x),得f(x)=x-1+sin(1-x).设g(x)=x-1+sin(1-x),则g(x)=1-cos(1-x)0,即g(x)为增函数,又g(1)=0,所以当x(-,1)时,g(x)0,即f(x)0,即f(x)0,则f(x)单调递增.所以函数f(x)仅有一个极小值,即为f(1).故选A.(2)存在x1,x2使得f(x1)g(x2)成立,可转化为f(x)min0).当x(0,1)时,g(x)0,函数g(x)单调递增;当x(1,+)时,g(x)1,解得a2,即实数a的取值范围是(2,+).【自我检测】1.D解析 函数f(x)=xln x+x2-ax+2恰有一个零点,方程xln x+x2-ax+2=0在(0,+)上有且只有一个实数根,即a=ln x+x+在(0,+)上有且只有一个实数根.令h(x)=ln x+x+,则h(x)=+1-=(x0).当0x1时,h(x)1时,h(x)0,则h(x)在(1,+)上单调递增.h(x)min=h(1)=3.由题意可知,a=h(x)min=3.故选D.2.A解析 由f(x)=,得f(x)=.令g(x)=ex+ax+a,则g(x)