（电工理论与新技术专业论文）交流可控电抗器的磁场及其电感参数的数值分析.pdf

一塑坚奎兰堡主兰竺丝苎 a b s t r a c t t h i s p a p e r i n t r o d u c e st h ef u n d a m e n t a l t h e o r yo fc o m p l e m e n t a r yf e ma n dc o m b i n e s c o m p l e m e n t a r yf e m w i t he n e r g ym e t h o d st oc a l c u l a t ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l d ，e s p e c i a l l yt o c o m p u t e t h ee l e c t r o m a g n e t i c p a r a m e t e r so f t h ee l e c t r o m a g n e t i cd e v i c e s a t f i r s t ，a c c o r d i n gw i t ht h ef a n d a m e n t a lt h e o r yo fc o m p l e m e n t a r yv a r i a t i o n a lm e t h o d ，t h e c o m p l e m e n t a r yf e m i sc o n s t r u c t e db yt h ei n t r o d u c t i o no ft qt os a r i s f yt h ee q u a t i o no f v h = j s e c o n d l y , a f i n i t ee l e m e n t f o r m u l a t i o n ( d i r e c tm e t h o d ) i sd e v e l o p e d t oa n a l y s et h em a g n e t i c f i e l d si nc o n s t r a i n e de l e c t r i c a lc i r c u i t sb y c o m b i n i n g f i e l da n dc i r c u i te q u a t i o n s t h e n t h ec o m p l e m e n t a r yf e mb a s e do nt h ei n t r o d u c t i o no ft qi sv e r i f i e db yt h ec a s e s t u d y f i n a l l y , c o m b i n i n gt h ec o m p l e m e n t a r yf e m a n dd i r e c tm e t h o d ，a n a l y s et h ee l e c t r o m a g n e t i c f i e l da n d p a r a m e t e r o fc o n t r o l l a b l er e a c t o r t h eo b t a i n e dr e s u l t ss h o wt h a tt h e c o m p l e m e n t a r yf e mc a nb ea p p l i e d w i t h s a t i s f a c t o r ya c c u r a c y i nt h e c o m p u t a t i o no f p a r a m e t e r so fe l e c t r o m a g n e t i c d e v i c e s k e yw o r d s ：c o m p l e m e n t a r y v a r i a t i o n a lt h e o r y , c o m p l e m e n t a r yf e m ，c o n t r o l l a b l er e a c t o r 塑坚盔堂堡主兰垡笙塞 第一章绪论 l 1 电磁场数值分析的发展与现状 当今，计算机的迅速发展和计算技术的不断完善已使数值计算方法成为工程技术 领域中的一种主导的分析计算方法。由于工程电磁场问题的复杂性，应用于电磁场计 算的各种解析方法已经无法适应广泛工程问题分析求解的需要。电磁场数值计算正是 电磁场理论与工程应用相结合，在电气与信息工程学科中衍生发展的一门重要的应用 学科分支。实践表明为适应电磁装置和系统的发展需要，在完善各类电气产品的电磁 性能，设计并开发出新型电磁产品等方面，电磁场数值计算理论及其工程应用是一个 具有重要学术意义和学科前瞻性的应用研究课题与现实的研究方向。 电磁场数值分析在计算技术、计算数学的发展和工程实际需求日趋迫切的情况下， 业已取得了一系列的进展。般说来，电磁场数值计算方法主要分为：积分法( 积分 方程法、边界积分法和边界元法等) 、微分法( 有限差分法、有限元法和网络图论法 等) 及微分积分相结合的方法( 或称之为组合法) 。 有限差分法是电磁场数值分析中应用最早的一种方法。为了获得足够精度的数值 解，有限差分法要求精细的网格剖分，但是这往往受制于计算机的内存容量。而且， 实践证明，在相同剖分情况下，有限元法的计算精度高于有限差分法；尤其当场域几 何特征很不规则时，有限差分法的适应性将远逊色于有限元法。 有限元的思想最早由c o u r a n t 于1 9 4 3 年提出。五十年代初期，有限元法最先应用 于复杂的航空结构件分析中。7 0 年代初，p es i l v e s t e r 等人把有限元法引入到电磁场 计算领域，并应用于电机工业，得出了电机电磁场问题的第一个通用非线性变分表述 以及相应的有限元法的构造。有限元法能有效地计算非线性的静态、瞬变及交流稳态 的电磁场等问题。三十年来，有限元法在电磁场数值分析领域中得到了越来越广泛的 应用。其突出特点在于：( 1 ) 场域离散化过程保持了明显的物理意义一基于物理的最 小作用原理；( 2 ) 解题能力强。这主要表现在：a 能够处理边界几何形状复杂，场域 中存在多种媒质的问题；b 对于第二和第三类边界条件不必作单独处理：c 能够自动 满足不同媒质分界面上的边界条件；d 离散点分布具有随意性；e 计算精度高：f 程 一塑堡丕堂婴主兰焦鲨塞 序通用性强( 3 ) 从数学上讲，有限元法拓宽了微分方程的求解方法，推动了泛函分 析、计算方法的发展。因此，自有限元法诞生以来，在各个学科与工程领域内，该方 法得到了极其广泛的重视和应用，并在方法本身内涵上，也得到了令人瞩目的延拓与 发展，产生了大量有价值的研究成果。 有限元法和有限差分法的共同点是用有限个自由度来近似描述一个连续体。这样， 在开域问题中，它要求把边值为零的边界延展至足够远处，致使计算场域很大，网格 的节点数随之急剧增加。积分方程法能较好地解决开域问题以及连续场的计算问题， 因为它只需对源区进行离散。对于线性问题，积分方程法具有较高的精度：但是，对 于非线性、多媒质问题，由于离散方程的系数矩阵是非对称的满阵，因此，与微分法 相比，其实际应用价值受到明显的限制。 由边界积分法改进形成的积分方程法，即边界积分的离散只涉及到铁区边界，从 而使未知数大为减少。此外，系数矩阵的形成吸取了有限元插值方法，减少了计算时 间，这对于线性或近似线性的情况，可达到相当高的计算精度。为了解决非线性问题， 1 9 7 8 年c wt r o w b r i d g e 等人提出了双标量磁位法，该方法是用两种标量位分别描述 不同场区内的磁场，取得了较好的计算效果。这种方法亦称为积分一微分方程法。 近年来，边界元法在工程计算中也得到了应用。它以边界积分法为基础，通过加 权余量法或格林定理变换，将场域问题转换到边界积分求解的数学模型，从而可以求 解无界域的电磁场问题。同样，对于线性问题，方法优点比较突出，但对于非线性问 题和多种媒质中场的问题，则方法应用难度将明显增大。 网络图论法是将网络图论应用到电磁场数值计算中，对场，直接从物理图象建立 代数方程组，因此，也可称为直接离散模型，它体现了“场”与“路”两种方法的结 合和两者在理论上的统一。该方法在恒定磁场、交流稳态涡流场等问题之中有所应用。 鉴于本文研究的课题是环绕一种新型电磁装置可控电抗器的应用原理与结构 设计进行的研究工作，其关键技术的一个重要方面在于通过电抗器磁场及其能量的数 值分析，求取电磁参数值。因此，本文择取有限元法类的算法，并专注于互补有限元 法在可控电抗器特性研究中的应用。 一一一塑坚奎堂堡主堂鱼丝奎 1 _ 一2 基于互补变分原理的有限元法的延拓与发展 在电磁场分析计算中，电磁能量与参数往往是人们感兴趣的分析研究对象。这是 因为，在很多电磁场问题中，需要确定系统的电磁参数，而这可直接由系统的电磁能 量求得，毋须依赖于场分布的解答。此时，直接从与系统能量状态相关的变分原理出 发来进行分析计算将带来很大的方便。互补变分法的研究与发展正是源于电磁场工程 问题中高精度求取电磁参数的需要，它在通过求取系统能量上下界值的同时，提供了 关于计算结果误差估计等方面的信息。这样，在一定精度的电磁参数的要求下，即 可大大减少计算工作量。本世纪6 0 至7 0 年代期间，以a m a r t h u r s 为代表的许多学 者，从数学上发展和概括了互补变分原理。a m a r t h u r s 给出了一个基于互补能量法 计算孤立导体电容的应用实例。其后，rh a m m o n d 和j p e n m a n 将互补变分原理进一 步引入电磁场的分析与计算的领域，形成了应用于电磁场计算的对偶能量法。在1 9 7 6 和19 7 8 年，他们合作发表了两篇论文，报道了这方面的研究成果。在总结研究成果 的基础上，1 9 8 1 年h a m m o n d 出版了专著 2 6 。在该书中，h a m m o n d 通过电磁量与力 学量之间的比拟，应用了分析力学中的l a g r a n g e 能量泛函、h a m i l t o n 理论以及力学 中能量与互补能量的概念，导出了一些上下界能量泛函，计算了某些典型问题中的电 阻、电容和电感等参数。随后，他于1 9 8 3 年发表了将“对偶能量法”和有限元法相 结合的“对偶有限元法”的研究成果。差不多在同一时间j p e n m a n 也从互补变分原 理出发，发表了互补、互补一对偶能量有限元法的研究成果。应指出，事实上最早应 用上下界方法的是m a x w e l l ，他在1 8 8 1 年就提出了计算导电材料电阻上下界的一个简 单方法，导出了计算电阻值下界的一个法则，但对于电阻值的上界，还仅限于物理意 义上的阐述。 国内在这方面的研究工作起步于8 0 年代初，文献 1 8 】应用互补对偶能量法计算了 几何形状较复杂导体的电阻和电感，取得了良好的计算结果。文献 2 8 】应用互补有限 元法计算了y 1 6 0 m 1 2 型鼠笼转子的槽参数，文献【2 7 通过对有伤、无伤实心钢棒相 应参数的计算和对比，将互补变分法引入到涡流场的领域。文献 1 1 应用互补变分原 理的上下界方法计算了大型变压器的短路电抗，并改进了恒定磁场的丁一q 方法，求 得的短路电抗具有较高的精度。 应当指出，互补有限元法的应用还不仅仅局限于通过求取电磁能量来获得电磁参 一塑坚盔兰堡圭兰垡丝塞 数。众所周知，传统的有限元法在求得位函数的数值解后，必须通过位函数的微分计 算才能获得场量的数值解，这必然影响场量的数值计算精度( 一般要降低个数量 级) ，而且不能保证场量应有的连续性。这问题在涡流场的计算中显得更为突出。 如何有效地解决这个问题，其方法之一是回避使用位函数的微分运算，直接由有限元 法获得场量的数值解。华北电力大学的崔翔博士和重庆大学的黄键博士，应用互补变 分法，分别在静态电磁场与时谐电磁场的计算中解决了这个问题。 l 一3 可控电抗器及其应用研究的现状 并联电抗器是大容量、远距离输电的电力系统中必不可少的重要设备，目前世界 各国基本上都采用并联电抗器来补偿线路充电容量，抑制轻负荷时线路末端电压的升 高，并抑制操作过电压，从而对系统安全运行起着重要的作用。近年来，为了补偿大 城市地下输电电缆的充电容量，也已普遍采用了低电压并联电抗器的补偿方式。具体 说来，并联电抗器的功能：( 1 ) 以并联电抗器的感性能量补偿输电线路上的容性能量； ( 2 ) 保持电网电压不超出系统绝缘水平的要求；( 3 ) 防止与电网联接的发电机发生 自励磁现象；( 4 ) 限制由甩负荷操作或线对地故障所产生的过电压。 在并联电抗器需求量曰益扩展的近代电力系统中，近年来，工程界开始致力于以 电感量可以调节的可控电抗器来适应电网稳定运行的需求的新技术产品的研究与开 发。众所周知，含有铁心的电抗器的电感调节主要是通过改变铁心磁阻这样的方式来 实现。磁阻大、电感小，电抗器的电流大；反之，磁阻小、电感大，电抗器的电流小。 可见，通过改变电抗器的磁阻大小就可调节电抗器电感大小。改变电抗器磁阻一般有 两种两种方法：一是用附加磁通的方法调节磁路饱和程度。显然，铁心未饱和时磁阻 小，饱和后磁阻增大；另一是借助附加绕组产生反方向磁通用以改变铁心磁阻的方法。 第一种方法就是早已采用的直流控制结构，它是由直流激磁来磁化铁心柱，依靠 硅钢片铁心的饱和来减小电抗器的感抗和增大电抗器的工作电流，直至铁心柱到达饱 和极限值。这种基于铁心饱和的调节原理，使电抗器的电流波形畸变，产生较大的谐 波分量，往往超过电力部门的限定值。此外，这种结构存在着磁通的直流分量，导致 电抗器有很大的“惯性”( 改变电感的固有时间) 。同时，由于这种结构在运行中铁心 处于饱和状态，振动、噪音都较大。由于直流可控电抗器存在着上述多方面的缺点， 因此，长期以来没有得到推广和发展。 堑坚盔兰堡主兰堡笙墨 第二种方法是借助附加绕组( 控制绕组) 产生反方向磁通来改变铁心磁阻。因控 制绕组通过的电流为交流电流，所以这种结构又称为交流可控电抗器。交流可控电抗 器的反方向磁通靠调节控制绕组短路( 用二个并联但导通方向相反的双向可控硅予以 控制) 方式来实现。当控制绕组短路时，磁通将由铁心磁路中被挤到主绕组与控制绕 组之间的空间里。在此情况下，磁阻增加，电抗器的感抗减小，主绕组的电流则随之 增大。当双向可控硅全开通时，控制绕组中的电流达到最大，主绕组的电流也达到最 大，这种控制为交流等容量控制，相当于变压器副边绕组的短路运行。进一步分析表 明，在正常工作条件下，交流可控电抗器的铁心不会饱和，即电抗器本身不会产生谐 波，但是，可控硅在非全开通的情况下，电流会发生畸变，产生与控制角有关的谐波 分量。因此如何消除或降低这些谐波电流，一直是人们关注的热点。对此，俄罗斯圣彼 得堡工业大学阿列克山德洛夫院士提出了既能平滑调节电抗器功率，又能降低甚至消 除高次谐波电流的交流可控电抗器的新型控制结构。这就是如图1 1 所示的多绕组 方法。基于这种原理的新型可控电抗器的研究在俄罗斯受到了高度重视，并已获得了 某些应用。据报道，俄罗斯已生产出这类新技术成果的产品。但在其它国家尚未见到 这方面的报道。 铁心 l 卜 1 一原边绕组：2 、3 和4 为副边控制绕组 图1 1 交流可控电抗器多绕组结构的示意图 现在，国内对交流可控电抗器的研究工作也已起步，文献 1 0 1 中介绍了一种新型 可控电抗器的结构、工作原理及工作状态，并且推导了它的基本方程，在此基础上分 析了其基本特性。文献 9 介绍了高速响应可控电抗器的工作原理，推导了选择主要参 一塑坚奎兰堡主兰垡堡茎 数的计算公式，叙述了降低铁心损耗的方法，并且指出了这种新型装置广阔的使用 领域和发展前景。这种高速响应电抗器正是阿列克山德洛夫院士提出的多绕组方法 在工程产品上的具体实现。但是国内外的相关文献均未涉及可控电抗器电磁参数的 分析和计算。 1 4 本文的研究课题 本文的工作以浙江大学电磁场应用研究所的研究项目：“交流可控电抗器的应用 原理与结构设计研究”为背景，环绕该新技术产品的关键技术电感量平滑调节、 且谐波系数最小的研究目标，确立以计算机仿真研究为核心的“交流可控电抗器的 磁场及其电感参数的数值分析”研究课题，具体展开的研究工作如下： 、应用互补变分原理构造基于丁一q 方法的互补有限元法； 二、在副边调控的单绕组工况下，交流可控电抗器的电感参数和漏磁场分布的数值 分析 ( 】) 基于场路结合的分析方法，建立了在电压源激励下交流可控电抗器双边极 值问题的数学模型； ( 2 ) 应用丁一q 方法的互补有限元法分析了交流可控电抗器的磁场分布及其电 感参数的数值解。 三、在副边调控的多绕组工况下，交流可控电抗器的电感参数和漏磁场分布的数值 分析。 四、本文构造的方法在典型实例中的数值验证。 五、交流可控模拟电抗器的实测研究。 浙江大学硕士学位论文 第二章互补变分原理的数学基础 2 1 引言 互补变分法( 原理) 的基本思想是：根据给定的边值问题形成对应的正则方程， 再由正则方程返求与给定边值问题等价的原泛函与互补泛函问题，然后按泛函的极值 条件最终求得待求的未知函数。 变分原理之所以在众多的数学物理方法中占有重要的地位，是因为归纳起来它有 以下三个方面的作用：( 1 ) 可以把许多物理性质完全不同的场用相同的数学表达式给 出统一的描述；( 2 ) 可以导出新的应用数学理论；( 3 ) 可以提供有效的计算手段。变 分法发展的初期将边值问题与变分原理相结合就提出了关于极小值问题的变分方法， 力学中的有限元方法就是由此而发展形成的。借鉴力学中的有限元方法，pp - s i l v e s t e r 和mvk c h a r i 将电磁场问题与变分原理相结合，提出了电磁场极小值问题的变分 方法，即电磁场中的有限元方法。互补变分法的提出则是基于种互补的观点而建立 起来的，用互补泛函取极大值的方法求解象空间象函数的分布，从而可以得到与电磁 场边值问题相对应的双边极值泛函问题中的极大值问题。这样，由于所构造的对应于 同一边值问题解答的这二个泛函的极值解是同一个量，因而就有可能利用双边极值问 题两侧的近似解( 如取其算术平均值) ，迅速、有效地算出充分逼近真解的离散解。 为了完善双边极值泛函的构造，文献 2 9 提出了由边值问题的算子形式的正则方程出 发返求其泛函的普遍方法。现有的文献着重从理论研究的角度，对泛函进行了研究， 而并未给出便于在有限元计算中使用的变分问题。本文将针对有限元应用的实际需 要，给出相应的原变分问题与互补变分问题。 2 - - 2 算子方程 对于电磁学中的各种方程，以及它所对应的正则方程，都可用算子方程的形式方 便地给出描述。现将需用的符号和算子y f n 女n t ： 一位变量( 在具体问题中可代表标量或矢量) ； ! ! 堑盔堂堡主堂垡笙奎 “一象变量( 在具体问题中可代表标量或矢量) ； ( 位变量与象变量通过微积分运算可相互转换) h ( p ) 一原空间，( ) 一象空间，两者同属h i b e r t 空间： 丁：h ( p ) 映射为h ( u ) 的正算子； 丁：h ( u ) 映射为h ( w ) 的逆算子； 占；h ( 妒) 边界映射为h ( u ) 边界的正边界算子： 万：h ( u ) 边界映射为( 妒) 边界的逆边界算子。 ( ，) 表示原空间内积：( ，) 表示象空间内积。 ( ，) 。，表示原空间边界内积；( ，) 。，表示象空间边界内积。 下标。表示所研究空间的外边界。童得注意的是，以上算子皆为空间算子。 下面通过两个典型例子来说叨眦上各种符号的使用，并由此引出两个重要的内积 变换关系式。 例一：对于矢量恒等式： v ( g h ) = h v g + ( v 办) g 将其两边取体积分运算，并利用高斯散度公式可得 弦v 矿= i ( - v i ) g d v + m n ) g d s ( 2 - 1 ) 其中 “二i ) 嘏= 肛( 而) 峦 ( 2 2 ) 在以上二式中，现取如下定义： t = v ：t = 一v ： 盯= ；盯：。1 7 ： ( ，取) = 旧v ( g ，r 五) = 扫( - v g ) d v ( 2 - 3 ) ( a ，昭) a2l “( ”2 ) 据 ( g ，盯 ) = ig f ) 嬲 、 西 。 则由式( 2 - - 1 ) ( 2 3 ) 可得 浙江大学硕士学位论文 ( i ，殆) = ( g ，丁i ) + ( i ，a g ) 。 ( ，o g ) m g ，盯6 ) 。 例二：对于矢量恒等式： v ( i 吾) = 一g ( v i ) 一i ( v ；) 采取与例相同的运算步骤可得 f ( v ；) d 矿= 后( v i ) + l g ( 一；一h ) d s 而其中 l ，g + ( 一 h ) d s = k g ) d s 若定义： r = v ：丁+ = v x o - = n ：盯。= - - h 仁，丁i ) - 肌v - ；) d v ( ；，t i ) = 医- ( v 7 , ) d r 晦，盯；k = 肛( ；) 舔 ( g ，盯“) 。，2l g ( 叫姗) 搬 ( 2 4 ) f 2 5 1 r 2 6 1 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 则由式( 2 6 ) ( 2 8 ) 仍然司得 ( i ，丁；) = f ；，t 五) + ( i ，盯；) 。 ( 2 9 ) ( i ，盯虿) 。= ( ；，仃+ 礁 ( 2 1 0 ) 由式( 2 3 ) 可知t = v ，从而有t ：r g = v = 0 。这表明式( 2 4 ) 和式 ( 2 5 ) 所描述的数学问题对应于一个无旋场：而由式( 2 8 ) 可知t = v ，从而 有丁r ；：v v ；：0 。这表明式( 2 9 ) 和式( 2 1 0 ) 所描述的数学问题对应于 一个无散场。由此可知，无论是无旋场或无散场，其原函数和象函数之间的内积变 换关系，都可借助算子统一表示为 ( “，丁妒) = ( 妒，t u ) + ( “，盯妒) 。 ( 2 1l a ) ( “，口妒) 。= ( 妒，盯“) 。( 2 - i l b ) 应注意，式中的原函数妒可以对应于标量g 或矢量；，象函数“应当对应矢量。尽 一塑兰查兰堡主堂垡堡苎 管这里不宜从符号表示上对弘“加以区分，但是我们却能根据算子 ( 丁、丁+ 和盯、盯+ ) 所代表的具体内容识别出它们究竟是标量还是矢量，从而同样也能 确认内积的具体形式。式( 2 一l l a ) 和( 2 一l l b ) 这两个重要的关系式在以后的研 究中将多次用到。 对于一般的由第一类或二、三类边界条件构成的混合型边值问题，总可用算子 方程概括为： 7 圭丁妒一b o p c = 0 v ( 2 1 2 a ) 日 仃( 妒一妒日) = 0a k( 2 1 2 b ) 口土丁妒一盯“b + 妒= 0a ( 2 1 3 c ) 盘 式中t 、7 1 和口、仃+ 算符在前面已有说明；d ，b ，c ，为与待求函数妒无关的系数； a ku a 屹，a kn a = 空集；以下标b 标识的变量表示在边界上的给定值。例如， 在式( 2 1 2 a ) 中，令，：v ，t ：v ，d ：三，b ：0 ，c ：一p ，就可以得到静电场 的泊松方程v ：舻：一旦。 占 通常，对于不同学科领域中的物理模型，在数学上可以用统一的方程加以描述， 并把这一组方程称之为正则方程。对于上述边值问题( 2 一1 2 ) ，其对应的正则方程 为： 砌= 日“ v ( 2 1 3 口) 盯( 妒一妒 ) = oa k( 2 1 3 b ) 以及 t “= b o p + c 口u d l u8 + 8 妒= 0 v a 矿 ( 2 1 4 d ) ( 2 1 4 b ) 这是因为由式( 2 1 3 a ) 可得“：三砌，将其代入式( 2 1 4 a ) 和( 2 1 4 b ) ， a 即可得到( 2 - - 1 2 a ) 和( 2 1 2 c ) ，而式( 2 - - 1 3 b ) 就是式( 2 - - 1 2 b ) ，所以原边值 问题( 2 - - 1 2 ) 和正则方程( 2 - - 1 3 ) 、( 2 - - 1 4 ) 是完全等价的。 式( 2 1 3 ) 表示原函数到象函数的转换以及原函数的边界条件；式( 2 1 4 ) = = 二_ 型堕塑丝堂生 则表示象函数到原函数的转换以及象、原函数的混合边界条件。 2 3 泛函与互补泛函的形成 为了能由正则方程( 2 1 3 ) 、( 2 1 4 ) 获得我们所需的泛函与互补泛函的表达 式，首先，令泛函，( “，妒) 的一阶偏导数分别为： 。( “，妒) = ( r 妒一岷) r ，一 盯( 妒一妒。) 却。= 0 ，。( “，妒) = ( 丁w h 名) i ，+ 口( “日) + 妒 加，= 0 其中，w ( u ，妒) 的一阶偏导数分别为 r 2 一1 5 a 1 ( 2 1 5 b ) 阡：( “，妒) = 。“ r 2 1 6 日、 ( “p ) = 6 妒+ 。 ( 2 1 6 6 ) 可采用文献 2 9 所介绍的方法，由偏导数，。( “，妒) 、，。( “，妒) 求原泛函，( “，妒) 。 先考虑最简单的对应于单个自变函数的泛函三( 妒) ，根据数学上的v a i n b e r g 理论， 己知泛函的一阶导数e ( 妒) ，可按下式返求原泛函： ( 妒) = j ( e ( 妒) ，妒) 础 再考虑本文涉及的两个自变函数情况，其泛函的两个偏导数见式( 2 - - 15 ) 和( 2 1 6 ) 。在文献 3 0 中，依据上述单个自变函数的分析，即由泛函的一阶导数返求泛 函的原理，通过采用试探法所获得的双自变函数的泛函为 m 川= ( 妒卅帅，嘶一矿j ( 邶妒) 犷( 仃妒) 。：( 2 - 1 7 a ) 或 m = ( 几，p ) 一帅+ ( “，叩成一( 口( “飞) ，妒) 毗+ ；( ”( 2 - 7 b ) 另一方面，根据文献 2 9 】，可知由泛函偏导数，。( “，p ) 、，。( “，p ) 求其泛函i ( u ，妒) 的公式 为 ，( “，妒) = f ，。( 蛾) ，“】+ ( ，。( 虬) ，妒) ( 2 - 1 8 ) 将式( 2 1 5 a ) 、( 2 1 5 b ) 代入，可得 一 堕坚查兰竺圭兰垡堡兰 ，( “，妒) = l ( “，t q j f 一睨( “f ，叫) ) 出 一f ( “，盯( 一p 。) ) 机d t + ( 妒，7 1 * a t - - ( 帆) 净 + ( 妒，盯+ 卅p e t 一仃“。) 。d t = ；( “，) + ；( 舻+ “) 一嘶，沪；( 叩，+ ( 叩) 籼+ ( 仃“+ 励，妒) 。，一( 盯+ 妒) 。， 由此i j 得 坳= ( n ，p ) 一嘞+ ( 叩) 矿( 盯u - - “b ) ，叭+ ；( 胁妒) 机( 2 - 1 9 。) 或 地纠= ( 飘旷( 唧) 山叫p 一) 矿；( 励，伊) 机一( 盯妒) 毗( 2 1 9 b ) 我们可以把( 2 - - 1 9 a ) 、( 2 1 9 b ) 分别与式( 2 - - 1 7 b ) 、( 2 - - 1 7 a ) 相比较，可知两 种方法的结果一致，所以式( 2 - - 1 8 ) 所表达的公式对两自变函数的这一类问题是 行之有效的。 同理，对于式( 2 - - 1 6 a ) 、( 2 - - 1 6 b ) 而言，运用式( 2 - - 1 8 ) 可得 ( “，妒) = ( u , a u t ) d t + ，6 + c ) 础 ：；( a “，“) + 委( 6 妒，妒) + ( 妒，c ) ( 2 - 2 0 ) 再将( “，舻) 分别代入式( 2 - - 1 9 a ) 、( 2 - - 1 9 b ) 得： ( “，妒) ：( 丁。，妒) 一i 1 ( 口。，。) 一( 妒一丢6 妒+ 、 。 2z + ( 盯( n - - “b ) ，p ) 。：+ ；( 励，妒) 挑 或 m 捌= ( 砌，小j ( 双小( 妒，j 16 妒+ c ) 一o ，嘶一) 舶 + 渤，y ) 毗一( 仃妒) 。：( 2 - 2 l b ) 这样就可以求得原泛函j ( “，妒) ，利用“p 关系，可以将原泛函转化成仅含一个自 变函数妒( 或u ) 的泛函j ( 妒) 或g ( “) 。由式( 2 1 3 a ) 知“= i 。t p ，把其代入式( 2 “ 口2 2 ( 0 ) ” 8( + 、j c i i 墼塑塑堕l 一2 1 b ) 得 一 = c 畦丁小；c 砌，知，( 1 岍c ) 一( 仃姒p 嘞，) 机 一( m e ；破 = ( 砌，去和) 一( 仍j ia 妒+ c ) 一o - b , ( c p - e a ) 机一( + ”j 励) 。( 2 - 2 2 ) 式( 2 2 2 ) 就是原泛函的表达式。 i 叫埋，田瓦l 2 一1 3 a ) 知7 p = a l g ，代入式( 2 - - 2 1 b ) 可得 g ( “) = ，0 ，妒( “) ) 却玑小；( 小( 16 妒+ c ) 帕，叩成。吨，叩h + 江。 一+ ( 1 。妒) 帕觋k + ( ；励) 。 + ( 丁：1 丁妒，妒) 十( 口吾1r 妒，妒) 。一( q b o + c ，一( 口去丁妒，p ) 。 又因为t 二丁p 一6 p f = 0 ，故有 o 卜扣+ ( 1 。妒) 嘶觋k + ( 炉知飞，+ ：却) 。、 对于6 0 的情况，利用式( 2 - - 1 4 a ) ，则式( 2 2 3 a ) 成为 g ( “) = 一( “，j 1 。“) + 1 2 三b ( c 一丁“) ，( c - t u ) ，( c - t u ) ) + ( “，叩) 机 + a ( u - u s ) + l b 妒) ， + ；励) 加， r 2 2 3 a 、 ( 2 2 3 b ) 式( 2 2 3 a ) 和( 2 2 3 b ) 就是互补泛函的表达式，取决于不同的研究对象，应选 择相应的互补泛函进行分析。具体说来，式( 2 - - 2 3 a ) 适合于静态电磁场的数值计 算，而式( 2 - - 2 3 b ) 适合于时谐电磁场的数值计算 2 4 能量泛函的双边极值问题 1 3 - i 忑j = 忑了= i 兰型型堂型 本节将讨论互补变分的双边不等式，先介绍几个概念。 一 定义2 - - 4 - - 1 ：若泛函f ( 妒) 在所讨论范围内存在任意的自变函数奶、p ，且对于 满足条件0 兄 1 的所有五部有不等式： f ( 九妒i + ( 1 一 ) 妒! ) z f ( m 】) + ( 1 - z ) f ( m 2 ) r ? - 2 , 1 ) 成立，则称f ( 妒) 在所讨论的范围内为对应于自变函数妒的凸泛函。 定义2 - - 4 - - 2 ：如果一f ( 妒) 对妫凸泛函，则，( 妒) 就对妒为凹泛函。关于单自变函 数的凸、凹泛函如图2 - - 1 所示。 j l ，( 妒) 卜。 ，( 纠 厂 0p 0 ( a ) 凸泛函 ( b ) 凹泛函 图2 1 凸泛函与凹泛函的示意图 对于两个自变函数的泛函有： 定义2 4 3 若泛函f ( “，力在所讨论的范围内有任意的自变函数 “、“：和妒，且对于满足0 丑1 的所有丑，都有不等式 ，( 五甜l 十( 1 一五) 2 ，妒) a f ( “i ，p ) 十( 1 一五) ，( “2 ，p ) ( 2 2 5 ) 成立，则称f ( “，妒) 在所讨论的范围内为对应于“的凸泛函。 根据定义2 - - 4 - - 3 ，也可定义在所讨论范围内对够的凸泛函。 显然，相应于定义2 4 - - 2 ，也可定义泛函f ( “，妒) 分别为对“和p 的凹泛函。 在上一节中，已经导出泛函，( “，妒) 和缈( “，妒) 的表达式( 2 1 9 ) 和( 2 - - 2 0 ) 。在 l ( u ，纠的凸凹性营v - w ( u ，p ) 的凸凹性 详细证明可参考文献 2 0 。通过考察泛函( “，妒) 的凸凹性，就能够得到泛函，口) 的凸凹性。文献【2 0 中，还证明了在日o , b o ，z0 的条件下，( “，妒) 是一个对“为 凹泛函，对妒为凸泛函的标准凸凹泛函。由此可以证明( 详细证明可参考文献2 0 1 ) ， 下述互补变分原理中的双边不等式： 设q ，2 ( “一，妒】) ：，。( “，吼) = o ，q ，= ( “：，妒：) ：，。 ，妒：) ：0 ，当，m ，妒) 对p 为凸 泛函和对“为凹泛函，而( “。，) 为边值问题 式( 2 1 2 ) 的解，即q 。：q n q ， q o = ( “o ，妒o ) ：，。( “o ，妒o ) = o ：，。( “o ，芷o ) = 0 时，业、有 g ( “2 ) 2 i ( u ! ，( o o ( “2 ) ) l ( u 。，妒。) i ( u o ( 妒，) ，妒1 ) = ，( 妒) f 2 2 6 ) g ( “) 和，( 妒) 分别就是互补泛函和原泛函。当两个自变函数“，妒为式( 2 1 2 ) 的准确解时 泛函( u ，妒) 的值始终夹在互补泛函和原泛函的值之间。可以指出，当利用互补变分 原理求解电磁场量时，在上述双边不等式中，其右边的不等式正是我们通常以位函 数为待求量，求其真解的近似值的依据，这对应于由位函数描述的极小值问题。该 式左边的不等式，正是基于互补变分原理导得的相应的极大值问题。因此，式( 2 2 6 ) 描述了对应于静态电磁场问题的双边极值问题。 2 5 变分问题与边值问题的等价性 式( 2 2 6 ) 所示的双边不等式关系表明，准确的泛函值，( “。，) 夹在两个单自 变函数的泛函，( 纪) 、g ( u ：) 值之间。为了便于有限元计算，在由式( 2 1 2 ) 给定的 边值问题中，我们需要取出部分边界条件作为强加条件，以构造出相应的原变分问 题与互补变分问题如下： 1 ) 原变分问题：对应于位函数妒的泛函，( 妒) 的极小值问题 浙江大学硕士学位论文 坳卜c 地去m 一1 岍c ) 一o , 0 * u b - - ) 。 甜( 妒) = 0 o - ( _ 5 0 一妒b ) = 0a k 2 ) 互补变分问题：对应于象函数“的泛函g ( “) 的极大值问题 ) 一气1 鲫) + ( 1 。p ) m m ) 矿( 。飞) + ；励) 。、 硒f “、= 0 仃( 9 一妒b ) = 0 o v r 回让明原艾分j 口j 题、且补父分j 口j 题与 丑值i 口j 题【虱( 2 1 2 ) j 即，寺彤r 住。 1 ) 原变分问题与边值问题的等价性。 取一阶变分得 甜( p ) = ( 聊，：砌) 一( 却，6 妒+ c ) 一( 却，盯“。一励) 。： 利用式( 2 1 i a ) 、( 2 - - 1 l b ) 可以得知上式中的 ( 脚，：1 丁妒) = ( 却i 1 丁p ) + ( 盯咖) 。 = ( 却，丁一1 a ，p ) + ( 盯“，却) 机+ ( 盯“，却) 。： 、 、 l 、 2 于是有 影( 妒) = ( 却，丁去印一6 p c ) + ( 却，盯“) 机+ ( 却，盯砸一“e ) + 励) 帆 榍椐蛮分方程，即欧拉条件甜渤1 ：0 和加，上的边界条件得 丁! 丁p 一6 妒一c = o d o - ( o 一妒口) = 0 盯+ ! r 妒一叮“b ：p ：0 a v o r , a 显而易见，这就是待求的边值问题 式( 2 1 2 a ) ( 2 1 2 c ) 。 2 ) 互补变分问题与边值问题的等价性。 取一阶变分得 ( 2 2 7 a ) ( 2 2 7 b ) ( 2 2 7 c ) ( 2 2 8 a ) ( 2 2 8 b ) ( 2 2 8 c ) 堑坚苎兰堂垡笙壅 掰( “) = 一( 5 u , a u ) + ( 面卿e ) 机+ ( 炉面) 。， = 一( 函，a “) + ( 缸，盯( p 。妒) ) 机，+ ( 妒盯+ c m ) 7 d v 2 根据变分方程，即欧拉条件掰( “) = o 和a 上的边界条件，即得证 r 土r p 一6 口一c = o 叮( 妒一妒b ) = 0 6 t p 一口w ：8 ：o 口 矿 a 矿 a 应该指出，在证明原变分问题与边值问题的等价性中，必须始终保持下述方程 的恒成立： r 妒= 口“y 仃( p 一妒日) = 0a 而在证明互补变分问题与边值问题的等价性中，则必须始终保持下述方程的恒成 寺 t + i , i = b o + c 盯“一盯“b + 妒= 0 v a 以上所构造的原变分问题与互补变分问题可应用于静态电磁场的计算，而泛函j ( q 0 和g ( “) 就构成了等价于边值问题的泛函的双边极值问题。 堕三查塑兰竺丝苎 第三章互补变分原理在电磁场中的应用 3 1 问题的提出 在电气装置的工程设计中，往往通过经验公式或实测方法得出其电磁参数，但 是所得结果精度不高，而且费时、费力，更难以满足优化设计的需求。 由前分析可知，通过互补变分原理可以得到与电磁场边值问题等价的泛函的双 边极值问题，而在电磁场问题中，泛函的极值对应于电磁系统的能量。这样通过求 取泛函的极值就可以得到电磁系统能量的上下界值，而通过电磁能量即可方便地算 出电磁设备的参数，并得到相应参数值的上下界，从而得以可靠地评价所得近似解 的精确度。同时，若对上下界值进行加权平均处理，则可获取精度远高于上下界值 的极为令人满意的近似解。 3 2 静态电磁场中互补变分问题及其求解格式 一静电场问题 静电场的边值问题可描述为： v ( 一v 妒) 一p = 0 v ( 3 1 口) ( p p 口) = 0a k( 3 1 6 ) h ( 一v p ) 一d 目 = 0a ( 3 一l c ) 式中a 一为第一类边界；a 巧为第二类边界：妒为待求的电位函数；为第一类边 界上的已知电位值；d 一为第二类边界上的电位移已知值：p 为已知场源分柿函数。 电位仍电场强度e 和电位移d 三者之间的关系为 一1 一 e = 一v 妒= 二d( 3 2 ) 占 将式( 3 1 ) 与算子方程( 2 1 2 ) 相对照，可得如下的相应关系： 堑三奎型兰焦丝苎 丁= 一v ，7 1 = v ， 口= 一1 ，b = 0 ，c = p 疗= 0 6 一 _ 一 o - = 门 矿= 一疗，“= d ，妒= 口 根据第二章中式( 2 3 3 ) 和式( 2 3 4 ) ，可得静电场中的变分问题与互补变分问 题如下： ( 1 ) 原变分问颢 ，( 妒) 。 一v p ，；s ( 一v p ) 一( 妒，p ) 一( p ，一i 西e ) 。 甜( 妒) = 0v n ( 妒一妒b ) = 0a k ( 2 ) 互补变分问题 一一1 一 一 g ( d ) = 一( d ，亡d ) 一( p 口，n d 2 ) 机 z s 6 g ( d ) = 0v vd 2 = pv n d = d b a ( 3 3 a ) ( 3 3 b ) f 3 3 c 1 f 3 4 a ) ( 3 4 b 1 ( 3 4 c ) ( 3 4 d ) 应强调指出，对应于待求电位函数妒的泛函，( 妒) ，在a k 上必须强制p 为给定的电 位函数妒。；而对于待求场量五所构造的泛函g ( 五) ，在a k 上必须强制五：一7 ，即为 给定的电位移法向分量。 二恒定电流场问题 恒定电流场问题与静电场问题有着完全类似的数学描述形式，因此，只要将静 电场问题中的电位移矢量d 置换为电流密度矢量了，介电常数置换为电导率y ， 且令电荷密度p = 0 ，即可得到相应于恒定电流场的分析结果。 三恒定磁场问题 恒定磁场边值问题可描述为： v 。【土( v 。j ) 卜一j ：0 “ ( 彳一爿口) = 0 一 f 一日日) = 0 v a 矿 a ( 3 5 a ) f 3 5 扪 f 3 5 c ) 式中，a u 为第类边界；a 为第二类边界；j 为待求的向量磁位函数；j 。为第 一塑垩奎兰璺圭堂堡丝兰 一类边界上的已知磁位值；日。为第二类边界上的磁场强度的给定值；了为己知激 磁源分布。 向量磁位j 、磁场强度耳和磁感应强度量三者问的关系为 b = v a = 卢h ( 3 6 1 将式( 3 5 ) 与算子方程( 2 - - 1 2 ) 相对照，可知有如下对应关系： 7 1 = v x ，t = v _ 甜= ，6 = 0 ，c = 了，= 0 仃= n x ，盯= 一n x ，“= 日，妒= a 由原变分问题求解位函数爿的分析过程，在文献 1 8 、【2 0 中已作详细介绍，本 文不再赘述。下面给出由互 变分问题求解场量的分析过程。 根据式( 2 - 2