第十一章 曲线积分与曲面积分经典例题.doc

第十一章 曲线积分与曲面积分内容要点 一、引例 设有一曲线形构件所占的位置是面内的一段曲线（图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质性质1 设，为常数，则；性质2设由和两段光滑曲线组成(记为 )，则注： 若曲线可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称是分段光滑的，在以后的讨论中总假定是光滑的或分段光滑的.性质3 设在有，则 性质4（中值定理）设函数在光滑曲线上连续，则在上必存在一点，使 其中是曲线的长度. 三、第一类曲线积分的计算： (1.10)如果曲线的方程为 ，则 (1.11)如果曲线的方程为 ，则 (1.12)如果曲线的方程为 ，则例5（E03）计算 其中L为双纽线（图10-1-4）的弧.解 双纽线的极坐标方程为 用隐函数求导得 所以 内容要点 一、引例：设有一质点在面内从点沿光滑曲线弧移动到点,在移动过程中，这质点受到力 (2.1)的作用，其中，在上连续. 试计算在上述移动过程中变力所作的功. 二、 第二类曲线积分的定义与性质：平面上的第二类曲线积分在实际应用中常出现的形式是性质1 设L是有向曲线弧, 是与L方向相反的有向曲线弧，则；即第二类曲线积分与积分弧段的方向有关.性质2 如设由和两段光滑曲线组成，则. 三、第二类曲线积分的计算： . (2.9)如果曲线的方程为 起点为a, 终点为b，则如果曲线的方程为 起点为c, 终点为d，则内容要点一、格林公式定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数及在D上具有一阶连续偏导数，则有 (3.1)其中L是D的取正向的边界曲线. 若在格林公式(3.1)中，令 得，上式左端是闭区域D的面积的两倍，因此有 二、平面曲线积分与路径无关的定义与条件定理2 设开区域是一个单连通域，函数及在内具有一阶连续偏导数，则下列命题等价：（1） 曲线积分在内与路径无关；（2）表达式为某二元函数的全微分；（3）在内恒成立；（4）对内任一闭曲线，. 由定理的证明过程可见，若函数，满足定理的条件，则二元函数 (3.3)满足 ，我们称为表达式的原函数.或 例4 计算 其中是以为顶点的三角形闭区域.解 令则 应用格林公式,得例5（E03）计算其中L为一条无重点, 分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L的方向为逆时针方向.解 记所围成的闭区域为令则当时，有 (1) 当时，由格林公式知(2) 当时，作位于内圆周记由和所围成,应用格林公式，得故例6（E04）求椭圆，所围成图形的面积.解 所求面积例7 计算抛物线与轴所围成的面积.解 为直线曲线为 例10（E06）计算积分沿不通过坐标原点的路径.解 显然,当时，于是 例 12 验证: 在整个面内, 是某个函数的全微分, 并求出一个这样的函数.证2 利用原函数法求全微分函数由 其中是的待定函数.由此得又必须满足 所求函数为例13（E07）设函数在平面上具有一阶连续偏导数, 曲线积分与路径无关, 并且对任意t, 总有求解 由曲线积分与路径无关的条件知于是其中为待定函数.由题意可知两边对求导,得或所以例14（E08）设曲线积分与路径无关, 其中具有连续的导数, 且计算解 因积分与路径无关散 由 由知 故例15 选取使表达式 为某一函数的全微分, 并求出这个函数.解 若表达式全微分式,则即得例16（E09）求方程的通解.解 原方程是全微分方程,原方程的通解为例19求微分方程的通解.解 将题设方程改写为即将方程左端重新组合,有故题设方程的通解为 内容要点 一、 第一类曲面积分的概念与性质定义1 设曲面是光滑的, 函数在上有界, 把任意分成n小块(同时也表示第i小块曲面的面积),在上任取一点作乘积并作和 如果当各小块曲面的直径的最大值时, 这和式的极限存在, 则称此极限值为在上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为 其中称为被积函数，称为积分曲面.二、对面积的曲面积分的计算法 例4计算 其中为抛物面解 根据抛物面对称性,及函数关于坐标面对称,有例5 计算 其中是圆柱面平面及所围成的空间立体的表面.解 在面上得投影域于是 将投影到面上，得投影域 所以 例8 设有一颗地球同步轨道卫星, 距地面的高度为km，运行的角速度与地球自转的角速度相同. 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径km).解 取地心为坐标原点，地心到通讯卫星重心的连线为轴，建立如图坐标系.卫星覆盖的曲面是上半球面倍半顶角为的圆锥面所截得的部分. 的方程为它在面上的投影区域于是通讯卫星的覆盖面积为将代入上式得 由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为 由以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面.内容要点二、第二类曲面积分的概念与性质 定义1 设为光滑的有向曲面, 其上任一点处的单位法向量 又设其中函数在上有界, 则函数 则上的第一类曲面积分 (5.5)称为函数在有向曲面上的第二类曲面积分. 三、第二类曲面积分的计算法设光滑曲面：，与平行于轴的直线至多交于一点，它在面上的投影区域为, 则. (5.9)上式右端取“+”号或“-”号要根据是锐角还是钝角而定.内容要点 一、高斯公式定理1设空间闭区域由分片光滑的闭曲面围成，函数、在上具有一阶连续偏导数，则有公式 (6.1)这里是的整个边界曲面的外侧, 是上点处的法向量的方向余弦. (6.1)式称为高斯公式.若曲面与平行于坐标轴的直线的交点多余两个，可用光滑曲面将有界闭区域分割成若干个小区域，使得围成每个小区域的闭曲面满足定理的条件，从而高斯公式仍是成立的.此外，根据两类曲面积分之间的关系，高斯公式也可表为 二、通量与散度一般地，设有向量场,其中函数、有一阶连续偏导数，是场内的一片有向曲面，是曲面的单位法向量. 则沿曲面的第二类曲面积分称为向量场通过曲面流向指定侧的通量. 而称为向量场的散度，记为，即. (6.5)例4（E04）证明: 若为包围有界域的光滑曲面, 则其中为函数沿曲面的外法线方向的方向导数，,在上具有一阶和二阶连续偏导数，符号称为拉普拉斯算子. 这个公式称为格林第一公式.证 因为，其中是在点处的外法线的方向余弦，于是将上式右端移至左端即得所要证明的等式.例5（E05）求向量场的流量(1) 穿过圆锥的底(向上);(2) 穿过此圆锥的侧表面（向外）.解 设及分别为此圆锥的面，侧面及全表面，则穿过全表面向外的流量(1) 穿过底面向上的流量(2) 穿过侧表面向外的流量内容要点一、斯托克斯公式定理1 设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手规则，函数在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式 (7.1)公式(7.1)称为斯托克斯公式.为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式：利用两类曲面积分之间的关系，斯托克斯公式也可写成 二、空间曲线积分与路径无关的条件三、环流量与旋度设向量场则沿场中某一封闭的有向曲线C上的曲线积分称为向量场沿曲线C按所取方向的环流量. 而向量函数 称为向量场的旋度，记为，即旋度也可以写成如下便于记忆的形式：. 四、向量微分算子：例2 计算曲线积分 其中是平面截立方体：的表面所得的接痕，从轴的正向看法，取逆时针方向.解 取为题设平面的上侧被所围成部分，则该平面的法向量即原式例3（E02）计算 式中是此曲线是顺着如下方向前进的: 由它所包围在球面上的最小区域保持在左方.解 由斯托克斯公式，有原式(利用对称性)例5（E03）设 求gradu； div(gradu)；rot(gradu).解 因为有二阶连续导数,故二阶混合偏导数与求导次序无关,故注：一般地，如果是一单值函数，我们称向量场=gradu 为势量场或保守场，而称为场的势函数.例6（E04）设一刚体以等角速度绕定轴旋转，求刚体内任意一点的线速度的旋度.解 取定轴为轴，点的内径则点的线速度于是即速度场的旋等于角速度的 2 倍.内容要点点函数积分的概念点函数积分的性质点函数积分的分类及其关系一、点函数积分的概念定义1 设为有界闭区域, 函数为上的有界点函数. 将形体任意分成n个子闭区域其中表示第i个子闭区域, 也表示它的度量, 在上任取一点, 作乘积并作和 如果当各子闭区域的直径中的最大值趋近于零时, 这和式的极限存在, 则称此极限为点函数在上的积分, 记为, 即其中称为积分区域, 称为被积函数, P称为积分变量, 称为被积表达式, 称为的度量微元.点函数积分具有如下物理意义: 设一物体占有有界闭区域, 其密度为则该物体的质量特别地, 当时, 有如果点函数在有界闭区域上连续, 则在上可积.二、点函数积分的性质设在有界闭区域上都可积, 则有性质1 性质2 性质3 其中且与无公共内点.性质4 若 则性质5 若 则特别地, 有性质6 若在积分区域上的最大值为M, 最小值为m, 则性质7 (中值定理)若在有界闭区域上连续, 则至少有一点使得其中称为函数在上的平均值.三、点函数积分的分类及其关系1.若这时则 (1)这是一元函数在区间上的定积分. 当时, 是区间长.2.右且L是一平面曲线, 这时于是 (2)当时, 是曲线的弧长. (2)式称为第一类平面曲线积分.3.若且是空间曲线, 这时则 (3)当时, 是曲线的弧长. (3)式称为第一类空间曲线积分.2、3的特殊情形是曲线为直线段, 而直线段上的点函数积分本质上是一元函数的定积分,这说明可用一次定积分计算, 因此用了一次积分号.4.若且D是平面区域, 这时 则 (4)(4)式称为二重积分. 当时, 是平