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姓名：身份证号：所在院校：年级：专业：线封密 大学生数学竞赛（非数学类）试卷及标准答案 考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分.题号一二三四五六七八总分满分205101510101515100得分注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记. 得分 评阅人 一、填空（每小题5分，共20分）. (1)计算= .(2)设在连续，且存在，则= .(3)若，则 .(4)已知的一个原函数为，则= .（1）. (2) 3 . (3) . (4). 得分 评阅人 二、（5分）计算，其中. 解：=+ - 2分=+ -4分= -5分. 得分评阅人 三、（10分）设，其中具有二阶导数，求.解：-3分-7分=-10分. 得分评阅人 四、（15分）已知，求的值.解：-3分令，所以-6分=-7分=，-9分由，故=，-12分即=0-13分亦即-14分所以 -15分. 得分评阅人姓名：身份证号：所在院校：年级：专业：线封密 五、（10分）求微分方程 满足条件 的特解. 解：原方程可化为-2分这是一阶线性非齐次方程，代入公式得-4分=-5分=-6分=.-7分所以原方程的通解是.-8分再由条件，有，即，-9分因此，所求的特解是.-10分.得分评阅人 六（10分）、若函数在内具有二阶导数，且，其中，证明：在内至少有一点，使。证：由于在内具有二阶导数，所以在上连续，在内可导，再根据题意，由罗尔定理知至少存在一点，使=0；-3分同理，在上对函数使用罗尔定理得至少存在一点，使=0；-6分姓名：身份证号：所在院校：年级：专业：线封密对于函数，由已知条件知在，上连续，在（，）内可导，且=0，由罗尔定理知至少存在一点（，），使，而，），故结论得证-10分. 得分评阅人 七、（15分）已知曲线和直线 ，围成平面图形. （1）求平面图形的面积；（2）求绕轴旋转所成立体的体积. 解：（1）-2分-4分 -5分（2）因为，-6分所以-9分=-11分=-13分= .-15分. 得分评阅人 八、（15分）设有连续的一阶偏导数，又函数 及分别由下列两式确定：和，求.解：， （1）-4分由两边对求导，得
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