高考数学复习专题七选考系列第2讲不等式选讲练习.docx

第2讲不等式选讲高考定位本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的最值及求含参数的绝对值不等式中的参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.真 题 感 悟1.(2018全国卷)设函数f(x)|2x1|x1|.(1)画出yf(x)的图象；(2)当x0，)时，f(x)axb，求ab的最小值.解(1)f(x)yf(x)的图象如图所示.(2)由(1)知，yf(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a3且b2时，f(x)axb在0，)成立，因此ab的最小值为5.2.(2017全国卷)已知函数f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1，1，求a的取值范围.解(1)当a1时，f(x)x2x4，g(x)|x1|x1|当x1时，f(x)g(x)x2x42x，解之得1x.当1x1时，f(x)g(x)(x2)(x1)0，则1x1.当x1时，f(x)g(x)x23x40，解得1x4，又x0)型不等式的解法(1)|axb|ccaxbc.(2)|axb|caxbc或axbc.3.|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义直观求解.(2)利用零点分段法求解.(3)构造函数，利用函数的图象求解.4.基本不等式定理1：设a，bR，则a2b22ab.当且仅当ab时，等号成立.定理2：如果a，b为正数，则，当且仅当ab时，等号成立.定理3：如果a，b，c为正数，则，当且仅当abc时，等号成立.定理4：(一般形式的算术几何平均不等式)如果a1，a2，an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立.热点一绝对值不等式的解法【例1】 (2018衡水中学质检)已知函数f(x)|2x2|x3|.(1)求不等式f(x)3x2的解集；(2)若不等式f(x)a的解集包含2，3，求实数a的取值范围.解(1)依题意得|2x2|x3|3x2，当x3时，原不等式可化为22xx33x2，解得x，故x1时，原不等式可化为2x2x33x2，无解.综上所述，不等式f(x)3x2的解集为.(2)依题意，|2x2|x3|a在2，3上恒成立，则3x1a在2，3上恒成立.又因为g(x)3x1在2，3上为增函数，所以有321a，解得a0，b0，且a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.探究提高1.证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法和反证法，其中比较法和综合法是基础，综合法证明的关键是找到证明的切入点.2.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法.【训练2】 (2018济南调研)已知函数f(x)|x1|.(1)解不等式f(x)f(2x5)x9；(2)若a0，b0，且2，证明：f(xa)f(xb)，并求f(xa)f(xb)时，a，b的值.解(1)f(x)f(2x5)|x1|2x4|x9，当x2时，不等式为4x12，解得x3，故x3，当2x0，b0).又2，所以ab(ab)2，当且仅当，即b2a时“”成立；由可得综上所述，f(xa)f(xb)，当f(xa)f(xb)时，a，b3.热点三绝对值不等式恒成立(存在)问题【例3】 (2017全国卷)已知函数f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范围.解(1)f(x)|x1|x2|由f(x)1可得当x1时显然不满足题意；当1x2时，2x11，解得x1，则1x2；当x2时，f(x)31恒成立，x2.综上知f(x)1的解集为x|x1.(2)不等式f(x)x2xm等价于f(x)x2xm，令g(x)f(x)x2x，则g(x)m解集非空只需要g(x)maxm.由(1)知g(x)当x1时，g(x)maxg(1)3115；当1x|3a1|成立，求实数a的取值范围.解f(x)|2x3|12x|(2x3)(12x)|4.画出f(x)的图象，如图所示：f(x)max4.若存在xR，使得f(x)|3a1|成立.|3a1|4，解之得1acd，则；(2)是|ab|，只需证明()2()2，也就是证明ab2cd2，只需证明，即证abcd.由于abcd，因此.(2)必要性：若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)得.充分性：若，则()2()2，ab2cd2.abcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|是|ab|cd|的充要条件.3.(2018南宁联考)已知函数f(x)|x1|.(1)求不等式f(x)32|x|的解集；(2)若函数g(x)f(x)|x3|的最小值为m，正数a，b满足abm，求证：4.(1)解当x1时，x132x，解得x，故x；当0x1的解集；(2)若x(0，1)时不等式f(x)x成立，求a的取值范围.解(1)当a1时，f(x)|x1|x1|，即f(x)则当x1时，f(x)21恒成立，所以x1；当1x1，所以x1；当x1时，f(x)21的解集为.(2)当x(0，1)时|x1|ax1|x成立等价于当x(0，1)时|ax1|0，|ax1|1的解集为，所以1，故0a2.综上，a的取值范围为(0，2.5.(2016全国卷)已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集.(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.(1)解f(x)当x时，由f(x)2得2x1，所以1x；当x时，f(x)2恒成立.当x时，由f(x)2得2x2，解得x1，所以x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1.(2)证明由(1)知，a，b(1，1)，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0，所以(ab)2(1ab)2，因此|ab|4的解集；(2)求f(a)的最小值.解(1)当a1时，不等式f(x)4，即f(x)4，当x4，无解；当x1，0)(0，1时，得f(x)4，即|x|，解得x0或0x1时，得f(x)24，无解；综上不等式f(x)4的解集为.(2)f(a)，当a1时，f(a)2|a|2，当1a1且a0时，f(a)2，综上知，f(a)的最小值为2.7.已知定义在R上的函数f(x)|xm|x|，mN*，若存在实数x使得f(x)1，f()f()6，求证：.(1)解因为|xm|x|xmx|m|，要使|xm|x|2有解，则|m|2，解得2m1，f()f()21216，4，()，当且仅当，即，时“”成立，故.8.(2018江南十校联考)已知函数f(x)|xa|2x1|，aR.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)设关于x的不等式f(x)2x1的解集为P，且P，求a的取值范围.解(1)当a1时，f(x)|xa|2x1|x1|2x1|，f(x)1|x1|2x1|1，所以或或即或或解得x1或1x或x.所以原不等式的解集为.(